Matematika

[shrink]

V zvezi z nalogo kotov v trikotniku je sicer skratova rešitev dovolj dobra, ampak verjetno je sestavljalec zahteval rešitev, ki se ogne odštevanju kotov izračunanih z določeno natančnostjo.

Torej: izhodišče (kot je že skrat omenil) je vsota kotov v trikotniku, ki je vselej enaka 180°:

\(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\)

oz.

\(\cos(\alpha+\beta+\gamma)=-1\)

Na levi strani je treba uporabiti zvezo za kosinus vsote kotov:

\(\cos\gamma(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)-\sin\gamma(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)=-1\)

Manjkajoče sinuse izračunamo preko:

\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt5/5\)

\(\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=3\sqrt{10}/10\)

Ko to (skupaj z znanimi kosinusi) upoštevamo, pridemo do:

\(\sqrt{50}/10\cos\gamma+\sqrt{50}/10\sin\gamma=1\)

oz.

\(\cos\gamma+\sin\gamma=10/\sqrt{50}\)

Po kvadriranju pa do:

\(\underbrace{\cos^2\gamma+\sin^2\gamma}_{1}+\underbrace{2\sin\gamma\cos\gamma}_{\sin2\gamma}=100/50\)

in končno do:

\(\sin2\gamma=1 \Rightarrow 2\gamma=90^\circ \Rightarrow \gamma=45^\circ\)

[andreja995]

Najlepša hvala.

Prosila bi, če mi lahko prosim pomagate pri naslednjem primeru:
naloga pravi, da je potrebno narisati graf s raztegi in premiki: y=sin(3x-π/4)
Ne vem kaj naj naredim, ko je potrebno narisati graf: y=sin3x, kam premaknem prvi graf (y=sinx)

[shrink]

Najlepša hvala.

Prosila bi, če mi lahko prosim pomagate pri naslednjem primeru:
naloga pravi, da je potrebno narisati graf s raztegi in premiki: y=sin(3x-π/4)
Ne vem kaj naj naredim, ko je potrebno narisati graf: y=sin3x, kam premaknem prvi graf (y=sinx)

http://am.fmf.uni-lj.si/graf_kotn_f_pr_ ... index.html

[andreja995]

Prosila bi, če mi lahko pomagate razčleniti tale izraz: 2xcos99°xsin66°+sin33°

[Motore]

Razčleniš tako, da boš imela same kotne funkcije z istim kotom. Vzameš recimo za \(x = 33^\circ\), nakar dobiš sledeč izraz: \(2\ cos(3x) \sin(2x) + \sin x\). Zdaj samo uporabiš izreke za trojne in dvojne kote: \(\cos(3x) = \cos^3x - 3\sin^2x \cos x\) in \(\sin(2x) = 2\sin x\cos x\) ter razviješ in pokrajšaš če se kje da.

[andreja995]

Ali mi lahko prosim pomagate še pri naslednjih dveh primerih:
Naloga pravi faktoriziraj izraz:
-(cota x cotb -1)/(cota x cot b +1)
-(1 + sinx) / (1 - sinx)

[Aniviller]

Prvi:
No, trapastih kontangensov se znebi.
\(\frac{\frac{\cos a}{\sin a}\frac{\cos b}{\sin b}-1}{\frac{\cos a}{\sin a}\frac{\cos b}{\sin b}+1}\)
odpravi dvojne ulomke
\(\frac{\cos a \cos b-\sin a \sin b}{\cos a \cos b+\sin a \sin b}\)
Prepoznas formulo za adicijski izrek:
\(\frac{\cos(a+b)}{\cos(a-b)}\)

Drugi:
Lahko faktoriziras kar po kaksnih formulah. Lahko pa kamor te vodi pot: ker nimas kaksnih kvadratov, bo treba it na polovicne kote. Na splosno se kvadratne clene (sin^2, sin*cos,...) da lepo pretvarjat, samostojni pa niso tako uporabni.
\(\frac{1+2\sin \frac{x}2\cos \frac{x}2}{1-2\sin \frac{x}2\cos \frac{x}2}\)
Enko lahko pises pa kot vsoto kvadratov sinusa in kosinusa:
\(\frac{\sin^2\frac{x}2+\cos^2\frac{x}2+2\sin \frac{x}2\cos \frac{x}2}{\sin^2\frac{x}2+\cos^2\frac{x}2-2\sin \frac{x}2\cos \frac{x}2}\)
No zdaj na obeh straneh prepoznas kvadrat dvoclenika in dobis
\(\frac{(\sin \frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2})^2}{(\sin \frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2})^2}\)
Razliko in vsoto pa lahko faktoriziras po znanih formulah.

Alternativa bi bila, da s premikom za pi/2 pretvoris na zacetku iz sinusov na kosinuse - s kosinusom namrec takoj prepoznas 1+cos in 1-cos kot formule polovicnih kotov.

[andreja995]

Prvi:
No, trapastih kontangensov se znebi.
\(\frac{\frac{\cos a}{\sin a}\frac{\cos b}{\sin b}-1}{\frac{\cos a}{\sin a}\frac{\cos b}{\sin b}+1}\)
odpravi dvojne ulomke
\(\frac{\cos a \cos b-\sin a \sin b}{\cos a \cos b+\sin a \sin b}\)
Prepoznas formulo za adicijski izrek:
\(\frac{\cos(a+b)}{\cos(a-b)}\)

Drugi:
Lahko faktoriziras kar po kaksnih formulah. Lahko pa kamor te vodi pot: ker nimas kaksnih kvadratov, bo treba it na polovicne kote. Na splosno se kvadratne clene (sin^2, sin*cos,...) da lepo pretvarjat, samostojni pa niso tako uporabni.
\(\frac{1+2\sin \frac{x}2\cos \frac{x}2}{1-2\sin \frac{x}2\cos \frac{x}2}\)
Enko lahko pises pa kot vsoto kvadratov sinusa in kosinusa:
\(\frac{\sin^2\frac{x}2+\cos^2\frac{x}2+2\sin \frac{x}2\cos \frac{x}2}{\sin^2\frac{x}2+\cos^2\frac{x}2-2\sin \frac{x}2\cos \frac{x}2}\)
No zdaj na obeh straneh prepoznas kvadrat dvoclenika in dobis
\(\frac{(\sin \frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2})^2}{(\sin \frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2})^2}\)
Razliko in vsoto pa lahko faktoriziras po znanih formulah.

Alternativa bi bila, da s premikom za pi/2 pretvoris na zacetku iz sinusov na kosinuse - s kosinusom namrec takoj prepoznas 1+cos in 1-cos kot formule polovicnih kotov.

Najlepša hvala za pomoč. Ali mi lahko prosim napišete formulo za faktoriziranje, saj je ne najdem nikjer. Rešitev naj bi bila tan[2*](45+x/2)

[Aniviller]

Resitev za vse vecne case:
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tr ... identities
v tem primeru poglavje
"Product-to-sum and sum-to-product identities"
ce ti manjkajo sinus+kosinus formule, pac uporabi cos(x)=sin(pi/2-x) in uporabi eno izmed obstojecih formul (kot v tem primeru).

[andreja995]

Ne vem, kako naj razrešim (sinx/2+cosx/2)[2*] / (sinx/2 -cosx/2)[2*].

[Aniviller]

Kot navedeno.
\(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=\sin\frac{x}{2}+\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})\)
Formula za vsoto dveh sinusov:
\(=2\sin\frac{x/2+(\pi/2-x/2)}{2}\cos\frac{x/2-(\pi/2-x/2)}{2}\)
\(=2\sin\frac{\pi}{4}\cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})\)
Imenovalec na podoben nacin da
\(2\cos\frac{\pi}{4}\sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})\)
Osnovni izraz je bil kvocient tega na kvadrat, torej
\(\left(\frac{2\sin\frac{\pi}{4}\cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})}{2\cos\frac{\pi}{4}\sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})}\right)^2\)
\(=\cot^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})\)
kar lahko ce hoces pretvoris tudi na tangens s pomocjo \(\cot x =\tan (\pi/2-x)\).

[andreja995]

Izraz je potrebno faktorizirati:
(cos[*2]x -1/4) / tan60 -tan x
Ne vem kaj naj naredim s tem cos[*2]

Hvala za pomoč.

[andreja995]

Prosila bi, če mi lahko pomagate faktorizirati še naslednji izraz:

sinx+siny-sinz, če je x+y+z=180°

Ne vem, kako si naj pomagam s tem, da je x+y+z=180°

[shrink]

Prosila bi, če mi lahko pomagate faktorizirati še naslednji izraz:

sinx+siny-sinz, če je x+y+z=180°

Ne vem, kako si naj pomagam s tem, da je x+y+z=180°

Ta pogoj bo prišel v poštev po faktorizaciji. Faktoriziraš pa z znanimi zvezami (iz vsote/razlike v produkt).

[andreja995]

Prosila bi, če mi lahko pomagate faktorizirati še naslednji izraz:

sinx+siny-sinz, če je x+y+z=180°

Ne vem, kako si naj pomagam s tem, da je x+y+z=180°

Ta pogoj bo prišel v poštev po faktorizaciji. Faktoriziraš pa z znanimi zvezami (iz vsote/razlike v produkt).

Kako pa naj uporabim faktorizacijo pri treh členih?