Matematika

[Aniviller]

Ja, interpolacijski polinom najmanjše možne stopnje za dano število točk je unikaten (stopnja = število točk-1), po osnovnem izreku algebre.

Je pa tale algoritem v tej obliki bolj za računanje v specifični točki. Če hočeš koeficiente, rabiš kak drug algoritem (recimo deljene diference ali rahlo predelan tale algoritem).

[DirectX11]

Ja ravno to me je presenetilo, da točke točno ležijo na krivulji.

Kako bi pa dobil iz tega algoritma koeficiente polinoma? Za Newtonovo metodo deljenih diferenc sem videl primer, vendar je namen uporabiti ta algoritem.

Hvala.

[Dynamo]

Da še jaz nekaj vprašam.
Z uporabo Stokesovega izreka določite, ki ga opravi sila na poti \(\Gamma\) če
\(\vec{F}=(y-z,z-x,x-y)\) in \(\Gamma\) pozitivno orientiran rob trikotnika, ki ga odreže ravnina \(\frac{x}{a}+\frac{x}{b}+\frac{z}{c}=1\) v prvem oktantu.

Takole sem poskusil, ampak nimam rešitev in nisem prepričan v svoj rezultat:

\(\int_{\Gamma } \vec {F} d \vec {r}=\int\int rot\vec {F} dS\) kjer je \(rot\vec{F}=(-2,-2,-2)\).

Parametrizacija pa upam da: \(x=t\) za \(t\in \left [ 0,a \right ]\) in \(y=u\) za \(u\in \left [ 0,b \right ]\). Potemtakem je \(z=c(1-\frac{t}{a}-\frac{u}{b}\).

Vektorsi produkt \(r_u \times r_t=(-\frac{c}{a},-\frac{c}{b},-1)\) in integral \(\int\int rot\vec {F} dS=\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}(\frac{2c}{a}+\frac{2c}{b}+2)dudt=2(cb+ca+ab)\)

Ali se pač motim?

[DirectX11]

Iščem že 5 ur po spletu kako dobiti koeficente polinoma za Aitkenovo metodo. Newillova metoda, ki je nadgradnja Aitkenove, pa tudi ne da koeficente.

[Aniviller]

Samo na hitro, točnega počasnega odgovora iz glave ne bi vedel: kot vidiš, gre za rekurzivno zvezo, kjer notri v formuli povsod stoji "x" v katerem polinom računaš. Tako da če bi to simbolično računal, bi dobil polinom. Če vse te člene (x-nekaj_konstantnega) zamenjaš s seznamom koeficientov [1, -nekaj_konstantnega], in vsa množenja in seštevanja pretvoriš v množenja in seštevanja polinomov po koeficientih, si že tam. Je pa to rahlo štorasto v tej obliki...

[Aniviller]

Da še jaz nekaj vprašam.
Z uporabo Stokesovega izreka določite, ki ga opravi sila na poti \(\Gamma\) če
\(\vec{F}=(y-z,z-x,x-y)\) in \(\Gamma\) pozitivno orientiran rob trikotnika, ki ga odreže ravnina \(\frac{x}{a}+\frac{x}{b}+\frac{z}{c}=1\) v prvem oktantu.

Takole sem poskusil, ampak nimam rešitev in nisem prepričan v svoj rezultat:

\(\int_{\Gamma } \vec {F} d \vec {r}=\int\int rot\vec {F} dS\) kjer je \(rot\vec{F}=(-2,-2,-2)\).

Parametrizacija pa upam da: \(x=t\) za \(t\in \left [ 0,a \right ]\) in \(y=u\) za \(u\in \left [ 0,b \right ]\). Potemtakem je \(z=c(1-\frac{t}{a}-\frac{u}{b}\).

Vektorsi produkt \(r_u \times r_t=(-\frac{c}{a},-\frac{c}{b},-1)\) in integral \(\int\int rot\vec {F} dS=\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}(\frac{2c}{a}+\frac{2c}{b}+2)dudt=2(cb+ca+ab)\)

Ali se pač motim?

No, ker je rotor konstanten, greš lahko brez integracije (no saj ni dosti krajši postopek). Rezultat bo kar (normala trikotnika)*(rotor)*ploščina oziroma (usmerjena ploščina trikotnika)*(rotor). Trikotnik ima oglišča A=(a,0,0), B=(0,b,0), C=(0,0,c), in iz tega dobiš usmerjeno ploščino kot
\(\vec{S}=\frac{1}{2}(B-A)\times(C-A)=\frac12 (bc,ac,ab)\)
Rezultat je torej
\(\vec{S}\cdot {\rm rot\,}\vec{F}=-(bc+ac+ab)\)
Za predznak še preveri naknadno, kam kaže normala trikotnika (grafično), iz tega, da je stvar orientirana pozitivno. Jaz mislim, da je moja prav, ampak v 3D je dvoumno kaj je pozitivna orientacija. Polovičko imaš odveč, ker imaš trikotnik narobe parametriziran. Ti integriraš po štirikotniku, kar ni ok. Za trikotnik se navadi, da je vedno konveksna linearna kombinacija oglišč, v stilu r=A*t+B*u+C*w, pri čemer je t+u+w=1. Iz tega vidiš, da (v normiranih koordinatah med 0 in 1) integrali po trikotnikih tečejo v mejah
\(\int_0^1\int_0^{1-t}{\rm d}u\,{\rm d}t\)
in če greš po tetraedru slučajno, še 0 do 1-t-u po tretji koordinati.

[Dynamo]

Najlepša hvala za hiter odgovor.

Vendar pa nisem povsem razumel kako bi se torej glasila parametrizacija trikotnika... Recimo ta primer, ko rotor ni več konstanten, če imamo vektorsko polje \(\vec{F}=(z^2,x^2,y^2)\) in integriramo po robu sferičnega trikontika v prvem oktantu sfere \(x^2+y^2+z^2=R^2\)

[Aniviller]

Sferični trikotnik bi šel s sfernimi koti, to je čisto druga stvar.

Trikotnik parametriziraš kot
\(\vec{r}=At+Bu+Cw,\qquad t+u+w=1,\qquad 0\leq t,u,w\leq 1\)
In potem, ko si izbereš vrstni red, dobiš meje. Recimo, če je zunanji integral po t, bo ta jasno moral teči od 0 do 1 (po celem območju):
\(\int_0^1 (\ldots) {\rm d}t\)
Znotraj tega integrala je zdaj t smatran za konstanto, in dobiš pravzaprav
\(u+w=1-t\)
in zaradi pozitivnosti u-ja in w-ja, noben ne more več preseči 1-t, ker bi v nasprotnem primeru moral drugi izmed para biti negativen. Torej ostane
\(\int_0^1 \int_0^{1-t}(\ldots){\rm d}u\, {\rm d}t\)
w=1-t-u je s tem določen in ne nastopa kot tekoča spremenljivka v integralu. Znotraj tega integrala ti torej nastopa parametrizacija kraja
\(\vec{r}=(A-C)t+(B-C)u+C\)
kar si lahko misliš, da je enostavno parametrizacija s središčem v C in baznima vektorjema A-C in B-C. To pride samo od sebe, je pa lepše začet iz tiste simetrične parametrizacije s tremi enakovrednimi točkami.

Najlažje si to predstavljaš v 2D, posebej za ta primer, ko je vse poravnano na koordinatne osi. Najprej seveda z menjavo spremenljivk x/a, y/b in z/c odpraviš brezvezne konstante. Podobno, kot si že izrazil, recimo izraziš z=1-x-y (oziroma tvoj prejšnji z=c(1-t/a-u/b)). Integriraš torej po projekciji trikotnika na xy ravnino. Ta trikotnik je enostavno odsek pod premico y=1-x, in po odseku pod premico integriraš tako, da greš po vseh x (0 do 1), ampak za vsak x greš po y le od 0 do premice 1-x.

[Dynamo]

Super. Najlepša hvala za razlago!

Imam pa še par vprašanj:

- Če računamo pretok \(\vec{F}=(x+y,y+z,x+z)\) skozi plašč valja \(x^2+y^2=1\). Ali lahko to naredimo klasično v smislu \(\int\int_{valj}\vec{F}d\vec{S}\) oz. bolj me zanima, ali lahko to isto naredimo z gaussovim izrekom, če valj zapremo. Zapremo v smislu, da velja: \(\int\int_{O}dS+\int\int_{P}dS=\int\int\int_{celo telo}dV\)?

- Kdaj se uporabi Gaussov zakon? Kdaj Stokes? In kdaj green? Na uč, ni bistvene razlike med njimi...

Naloga:
Izračunaj delo vzdolž krivulje, ki je dobimo kot presek sfere \(x^2+y^2+z^2=a^2\) in valja \(x^2+y^2=ax\) vektorskega polja \(\vec{F}=(y^2,z^2,x^2)\).
Poskus parametrizacije: \(x=ar\cos\phi\) in \(y=ar\sin\phi\).

r gre očitno od 0 do 1, medtem ko ne vem mej kota. Če ga postavim od 0 do pi/2 so mejne vrednosti za x okej, medtem ko za y niso, namreč y(pi/2)=ar namesto 0.... ? Kako za vraga?

[Aniviller]

- Kdaj se uporabi Gaussov zakon? Kdaj Stokes? In kdaj green? Na uč, ni bistvene razlike med njimi...

Hehe. Ja, gre za različne oblike istega splošnega zakona, ki ga lahko pišeš v jeziku diferencialnih form kot
\(\oint_{\partial \Omega}\omega=\int_{\Omega}{\rm d}\omega\)
integral forme po robu območja je enak integralu zunanjega odvoda po notranjosti območja. Glede na dimenzionalnost prostora \(\Omega\) in tip forme \(\omega\) imaš več oblik: za 3D vektor na robu 3D volumna imaš Gaussov izrek:
Pretok vektorja = integral divergence vektorja
Za 3D vektor na robu 2D ploskve imaš Stokesov izrek:
Cirkulacija vektorja = integral rotorja vektorja
Za 2D vektor in ploskve v ravnini, dobiš Greenovo formulo (lahko si tudi misliš Stokesa, s tem da ima rotor fiksno smer, pravokotno na ravnino)
Za 1D skalar na 1D realni osi dobiš osnovni teorem diferencialnega računa:
Razlika skalarne funkcije na mejah (robovi območja) = integral odvoda skalarne funkcije

In še marsikaj takega lahko sestaviš, tvoja forma ni nujno vektor, lahko je tudi tenzor višjega reda... prostor je lahko tudi več kot 3D... stvar je zelo splošna.

Rob kateregakoli objekta je vedno sklenjen, zato je rob roba vedno prazna množica, in to je sorodno z dejstvom, da je divergenca rotorja enaka 0.

Naloga:
Izračunaj delo vzdolž krivulje, ki je dobimo kot presek sfere \(x^2+y^2+z^2=a^2\) in valja \(x^2+y^2=ax\) vektorskega polja \(\vec{F}=(y^2,z^2,x^2)\).
Poskus parametrizacije: \(x=ar\cos\phi\) in \(y=ar\sin\phi\).

r gre očitno od 0 do 1, medtem ko ne vem mej kota. Če ga postavim od 0 do pi/2 so mejne vrednosti za x okej, medtem ko za y niso, namreč y(pi/2)=ar namesto 0.... ? Kako za vraga?

A takle ekscentričen valj imaš? Huh. Ta naloga je ekstremno čudna. Valj lahko prepišeš kot
\((x-a/2)^2+y^2=(a/2)^4\)
To je valj, ki zareže točno skozi središče krogle in seže ravno do roba krogle. Presek je neke vrste "osmica", ki v točki (a,0,0) prekriža sama sebe. Integral po tej sklenjeni krivulji bo enak integralu rotorju po ploskvici. Objeta ploskev je zato iz dveh delov, in ker krivulja križa sama sebe, je orientacija spodnje ploskvice ravno obratna kot pri zgornji.

Rotor polja je \(\nabla\times \vec{F}=-2(z,x,y)\). Integral je najlažje izvest po površini krogle znotraj cilindra, normala na kroglo (na zgornji strani ploskve) je \((x,y,z)/a\), na spodnji pa isto z minusom (ker krivulja križa sama sebe in obrne smer cirkulacije). Na zgornji polovici integriraš
\(-\frac{2}{a}(xz+xy+yz)\)
na spodnji pa
\(\frac{2}{a}(xz+xy+yz)\)
Parametriziraš lahko po krogcu (tloris cilindra), torej v cilindričnih koordinatah
\(\int_{0}^{2\pi}\int_0^{a/2}[...] r{\,\rm d}r{\,\rm d}\phi\)
pri tem pa je \(x=\frac{a}{2}+r\cos\phi\), \(y=r\sin\phi\) in \(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\), karkoli že to pride.

Po sferičnih so tokrat meje rahlo zoprne (ker je valj tisti, ki reže), ampak je izvedljivo. V mejah so neki kosinusi.

[Dynamo]

Evo takoj vprašanje zakaj zadnji integral od 0 do 2pi. Sa, je moje območje samo pri pozitivnih x...?

In najlepša hvala za zelo pedagoško razlago!

[Aniviller]

Parametriziral sem po celem krogu - cilindrične koordinate sem centriral glede na središče cilindra, premik x=a/2+... potem poskrbi za to, da integriraš po pravem krogu. Če hočeš, da je krog cel, moraš opisat polni kot.

Druga varianta je integracija po sferičnih koordinatah, in te bi bile pa res nepremaknjene. Tam je meje težje nastavit. Parametrizacija gre kot ponavadi
\(x=a\cos\phi\sin\theta\)
\(y=a\sin\phi\sin\theta\)
\(z=a\cos\theta\)
Meja je
\(x^2+y^2=ax\)
kar postane
\(a^2\sin^2\theta=a^2\cos\phi\sin\theta\)
\(\sin\theta=\cos\phi\)
oziroma
\(\theta=\frac{\pi}{2}-|\phi|\)
Če si predstavljaš, da stvar gledaš iz severnega pola (in torej spet vidiš krog), bo ta stvarca zgornja meja po kotu theta. Spodnja meja je seveda 0, saj se krog dotika središča. Po kotu \(\phi\) greš pa zdaj samo od -pi/2 do pi/2. Absolutno vrednost sem uporabil zato, ker brez nje nadaljuješ po osmici na spodnjo stran ploskve in šele po 2pi prideš nazaj. Na ta način bi res lahko pravzaprav integriral v eni potezi obe strani osmice, in bi \(\phi\) tekel od 0 do 2pi (pri čemer bi bili koti negativni in podobno). To je vseeno dokaj preveč komplicirano in nevarno, da gre kje kaj narobe, zato je pametno integrirat lepo po zgornji ploščici, po možnosti del od -pi/2 do 0 posebej, ker moraš predznak obrnit (no, stvar je dovolj simetrična, da se ti bo itak stokrat vse pokrajšalo na koncu, ampak če hočeš integrirat, pač integriraš za vajo).

Integral bi se torej glasil
\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\pi/2-|\phi|}[...]\sin\theta\,{\rm d }\theta\,{\rm d}\phi\)

[iedc23]

BI znal kdo to rešit?

[Aniviller]

Ah, a ni to samo fancy beseda za izvajanje iteracije Mogoče moraš še dokazat, da je preslikava skrčitev, ampak to je to.

[Dynamo]

izračunajte integral \(\int_S xydxdy+yzdxdz+xzdxdy\) s pomočjo gaussovega izreka.

gaussov izrek pravi da je \(\int\int_{\Sigma}\vec{F}d\vec{r}=\int\int\int div\vec{F}dV\). Kako iz zgornje enačbe razberem enačbo za F?

Območje je pa sfera z radijem 1.