Matematika
Re: Matematika
@skrat:
Gre za razvoj po vrstici ali stolpcu. Prikladno je vzet kaksno tako vrstico, ki ima samo en neniceln element, tako da nimas cele vsote po stolpcu ampak le en clen (ali dva, ce ne najdes kaksne moznosti za en clen). Pred tem lahko seveda tudi matriko predelas z odstevanjem vrstic, da pridelas vec nicel. Strategijo kako poenostavit izracun determinante si pac izberes sam. Prvi primer, ki si ga zapisal, je razvoj po drugem stolpcu: minus enka z diagonale stoji spredaj, preostanek ostane v determinanti. Ostalo so nicle. Drugi primer pa ne vem kaj naj bi bil. Tista dvojka mi ni jasna. Si hotel razvit po tretji ali cetrti vrstici? To lahko naredis, ampak moras pazit ker nimas samo enega clena.
@andreja:
Samo direktno zapisi izjavo:
\(p(x)=(x^2+x-1)(x+c)+(-x+2)\)
kjer je (x+c) nastavek za neznani rezultat deljenja. Razpises:
\(x^3+ax^2+bx+3=x^3+x^2-x+cx^2+cx-c-x+2\)
S primerjavo po clenih dobis enacbe
a=1+c
b=c-2
3=-c+2
Zadnja enacba ti pove c=-1, od koder sledi b=-3, a=0.
Gre za razvoj po vrstici ali stolpcu. Prikladno je vzet kaksno tako vrstico, ki ima samo en neniceln element, tako da nimas cele vsote po stolpcu ampak le en clen (ali dva, ce ne najdes kaksne moznosti za en clen). Pred tem lahko seveda tudi matriko predelas z odstevanjem vrstic, da pridelas vec nicel. Strategijo kako poenostavit izracun determinante si pac izberes sam. Prvi primer, ki si ga zapisal, je razvoj po drugem stolpcu: minus enka z diagonale stoji spredaj, preostanek ostane v determinanti. Ostalo so nicle. Drugi primer pa ne vem kaj naj bi bil. Tista dvojka mi ni jasna. Si hotel razvit po tretji ali cetrti vrstici? To lahko naredis, ampak moras pazit ker nimas samo enega clena.
@andreja:
Samo direktno zapisi izjavo:
\(p(x)=(x^2+x-1)(x+c)+(-x+2)\)
kjer je (x+c) nastavek za neznani rezultat deljenja. Razpises:
\(x^3+ax^2+bx+3=x^3+x^2-x+cx^2+cx-c-x+2\)
S primerjavo po clenih dobis enacbe
a=1+c
b=c-2
3=-c+2
Zadnja enacba ti pove c=-1, od koder sledi b=-3, a=0.
-
- Prispevkov: 274
- Pridružen: 6.5.2012 9:54
Re: Matematika
izracunaj a in b, tako da bo 5 dvakratna nicla p(x)=x^3+ax^2-45x+20b+55
Re: Matematika
To je isto. p(x) je ocitno deljiv z (x-5)^2, torej ga nastavis kot (x-5)^2*(x+c).
Re: Matematika
Ja tocno tako kot prej. Zmnozis in primerjas clen po clen.
Re: Matematika
Aha, tista dvojka ti ne more biti jasna ker je ostalo narobe napisano. Ubistvu sem prvi vrsti prištel zadnjo, s tem dobim v zadnjem stoplcu same ničle z izjemo zadnjega elementa po katerem razvijem determinanto. Oprosti za napako.Aniviller napisal/-a:@skrat:
Gre za razvoj po vrstici ali stolpcu. Prikladno je vzet kaksno tako vrstico, ki ima samo en neniceln element, tako da nimas cele vsote po stolpcu ampak le en clen (ali dva, ce ne najdes kaksne moznosti za en clen). Pred tem lahko seveda tudi matriko predelas z odstevanjem vrstic, da pridelas vec nicel. Strategijo kako poenostavit izracun determinante si pac izberes sam. Prvi primer, ki si ga zapisal, je razvoj po drugem stolpcu: minus enka z diagonale stoji spredaj, preostanek ostane v determinanti. Ostalo so nicle. Drugi primer pa ne vem kaj naj bi bil. Tista dvojka mi ni jasna. Si hotel razvit po tretji ali cetrti vrstici? To lahko naredis, ampak moras pazit ker nimas samo enega clena.
Hočeš rečt, da -1 pride za vsako menjavo vrstice ali stolpca, ampak ker gre za sodo število menjav nimajo pomena, pride pa tretja -1 ki je posledica razvoja determinante?Aniviller napisal/-a:To ze, ampak pozabil si na minus enko, ki si jo prenasal okoli. Tista (-1) ne pride od menjave vrstic in stolpcev, ampak od same vsebine matrike.
Re: Matematika
Ja, potem bi tudi drugi nacin enako dobro deloval. Sodo stevilo menjav pomeni, da od tega ne pride faktor -1. Tista minus enka bi te verjetno manj motila, ce bi tam stala kaksna druga stevilka:
\(\begin{vmatrix}2-\lambda&0&1&1\\1&x&0&0\\1&0&-1&0\\0&0&1&-1\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}2-\lambda&1&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{vmatrix}\)
Zdaj ne mores po nakljucju pomesat z minus enko od permutacij. Namesto menjav si raje predstavljaj "sahovnico", ki ti jasno pove, katere predznake ima razvoj po dolocenem elementu. Torej, namesto, da se ukvarjas s stetjem menjav vrstic in stolpcev, enostavno zapisi clen in poglej ali si na "crnem" ali "belem" polju in temu primerno pripisi dodaten minus. To je vizualno dosti lazje naredit, in tezje se je zmotit: takoj vidis, da cleni, ki pripadajo diagonalnim elementom (in njihovim prirejenim poddeterminantam) nimajo minusa. Recimo ce bi razvijal po zadnji VRSTICI, bi dobil
\({\bf (-1)}\cdot 1\cdot\begin{vmatrix}2-\lambda &0&1\\1&-1&0\\1&0&0\end{vmatrix}+
{\bf (+1)}\cdot (-1)\cdot\begin{vmatrix}2-\lambda &0&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{vmatrix}\)
kjer sem odebelil prispevke sahovnice, ostalo so pa produkti elementov in njihovih poddeterminant.
\(\begin{vmatrix}2-\lambda&0&1&1\\1&x&0&0\\1&0&-1&0\\0&0&1&-1\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}2-\lambda&1&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{vmatrix}\)
Zdaj ne mores po nakljucju pomesat z minus enko od permutacij. Namesto menjav si raje predstavljaj "sahovnico", ki ti jasno pove, katere predznake ima razvoj po dolocenem elementu. Torej, namesto, da se ukvarjas s stetjem menjav vrstic in stolpcev, enostavno zapisi clen in poglej ali si na "crnem" ali "belem" polju in temu primerno pripisi dodaten minus. To je vizualno dosti lazje naredit, in tezje se je zmotit: takoj vidis, da cleni, ki pripadajo diagonalnim elementom (in njihovim prirejenim poddeterminantam) nimajo minusa. Recimo ce bi razvijal po zadnji VRSTICI, bi dobil
\({\bf (-1)}\cdot 1\cdot\begin{vmatrix}2-\lambda &0&1\\1&-1&0\\1&0&0\end{vmatrix}+
{\bf (+1)}\cdot (-1)\cdot\begin{vmatrix}2-\lambda &0&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{vmatrix}\)
kjer sem odebelil prispevke sahovnice, ostalo so pa produkti elementov in njihovih poddeterminant.
Re: Matematika
Uf, odlično! Hvala za nazorno razlago!
Drugo vprašanje:
V matriki \(A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}
2i & ?& ?\\
2i& -i & ?\\
1& -2 &-2i
\end{bmatrix}\) moram neznana mesta dopolniti tako, da bo A unitarna. Zaupal so nam, da je enakovreden pogoj za unitarnost tak, da so stolpci matrike a ortonormirani. Razumem.
Ne razumem pa zakaj je treba potem pri skalarnem produktu vzet konjugirano vrednost? Recimo za prva dva stolpca: \(<(2i,2i,1),(x,-i,-2)>=2i\overline{x}+2i^{2}-2=0\) (zadnji enačaj sledi z pogoja, da želimo ortogonalnost vektorjev)
Drugo vprašanje:
V matriki \(A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}
2i & ?& ?\\
2i& -i & ?\\
1& -2 &-2i
\end{bmatrix}\) moram neznana mesta dopolniti tako, da bo A unitarna. Zaupal so nam, da je enakovreden pogoj za unitarnost tak, da so stolpci matrike a ortonormirani. Razumem.
Ne razumem pa zakaj je treba potem pri skalarnem produktu vzet konjugirano vrednost? Recimo za prva dva stolpca: \(<(2i,2i,1),(x,-i,-2)>=2i\overline{x}+2i^{2}-2=0\) (zadnji enačaj sledi z pogoja, da želimo ortogonalnost vektorjev)
Re: Matematika
Definicija skalarnega produkta v kompleksnem je taka, da je ena komponenta konjugirano kompleksna. Sicer kvadrat vektorja ne bi bil pozitivno realno stevilo (norma!).
Re: Matematika
Povezava med skalarnim produktom in kosinusnim izrekom - kakšna je ta povezava, kaj je tu pomembno?
Re: Matematika
Pove ti, da je skalarni produkt sorazmeren s kosinusom kota med vektorjema, od koder sledi, da je skalarni produkt 0 za pravokotne vektorje, za vzporedne vektorje pa je enak produktu dolzin, s predznakom minus ce kazeta v nasprotnih smereh. Skalarni produkt je tudi najbolj direkten nacin za dobit kot iz vektorjev brez kaksnih grdih geometrijskih manipulacij.
Re: Matematika
Za katere vrednosti a ima \(A=\begin{bmatrix}
2 & a\\
-1&1
\end{bmatrix}\) realne lastne vrednosti?
2 & a\\
-1&1
\end{bmatrix}\) realne lastne vrednosti?
Re: Matematika
Ja poracunaj. Karakteristicni polinom je
\((2-\lambda)(1-\lambda)+a=0\)
\(\lambda^2-3\lambda+2+a=0\)
Diskriminanta:
\(9-4(2+a)\geq 0\)
\(1\geq 4a\)
\(a\leq \frac14\)
\((2-\lambda)(1-\lambda)+a=0\)
\(\lambda^2-3\lambda+2+a=0\)
Diskriminanta:
\(9-4(2+a)\geq 0\)
\(1\geq 4a\)
\(a\leq \frac14\)
Re: Matematika
Reši z uporabo kramerjevih formul:
\(2x+y+z=3\)
\(-4x-2y+z=0\)
\(2x+2y+z=2\)
Kakor je meni znano, je potemtakem \(A=\begin{bmatrix}
2 & -4& 2\\
1& -2& 2\\
1& 1 & 1
\end{bmatrix}\) in \(detA=-6\). Za vsako neznanko posebej je treba izračunat izraz \(x_{i}=\frac{detA_{i}}{detA}\), kjer je \(detA_{i}\) determinanta matrike v kateri i-ti stolpec zamenjamo z vektorjem \(b=\begin{bmatrix}
3\\
0\\
2
\end{bmatrix}\).
Za x zamenjamo prvi stolpec in bi morala bit vsaj pomoje rešitev \(\frac{20}{6}\) toda v rešitvah je 1. Tudi ostale neznanke dobim čisto drugačne. zakaj?
\(2x+y+z=3\)
\(-4x-2y+z=0\)
\(2x+2y+z=2\)
Kakor je meni znano, je potemtakem \(A=\begin{bmatrix}
2 & -4& 2\\
1& -2& 2\\
1& 1 & 1
\end{bmatrix}\) in \(detA=-6\). Za vsako neznanko posebej je treba izračunat izraz \(x_{i}=\frac{detA_{i}}{detA}\), kjer je \(detA_{i}\) determinanta matrike v kateri i-ti stolpec zamenjamo z vektorjem \(b=\begin{bmatrix}
3\\
0\\
2
\end{bmatrix}\).
Za x zamenjamo prvi stolpec in bi morala bit vsaj pomoje rešitev \(\frac{20}{6}\) toda v rešitvah je 1. Tudi ostale neznanke dobim čisto drugačne. zakaj?