1.
a)Seveda, zvezna in omejena funkcija konvergentnega zaporedja vrne novo konvergentno zaporedje.
b)Ce je a=0, potem je limita funkcijskega zaporedja f(x)=0. Definicija enakomerne konvergence govori o tem, koliksna je najvecja razlika trenutne funkcije od limitne funkcije, in v tem primeru je ta razlika kar max(abs(fn(x)-f(x)))=max(fn(x)) in to ne gre proti nic, ampak je vedno enako pi/2, saj za vsak a>0 velja
\(\lim_{x\to\infty}\arctan ax=\frac{\pi}{2}\).
c) Lahko po definiciji spet. Ampak mene srbi da bi poskusil z adicijskim za tangens:
\(\arctan a_n x-\arctan ax=\arctan\frac{(a_n-a) x}{1+a_n a x^2}\)
Za enakomerno konvergenco testiras da gre maksimum tega proti nic, ko gre n v neskoncnost.
Ker je arctan monotona funkcija, lahko isces kar maksimum tistega notri (max po x). In to lahko naredis celo z odvodom:
\(\frac{a_n-a}{1+a_n a x^2}-\frac{2(a_n-a)x^2 a_n a}{(1+a_n a x^2)^2}=0\)
\((a_n-a)(1+a_n a x^2)=2 (a_n-a) x^2 a_n a\)
\(x^2=\frac{1}{a a_n}\)
Ce je a=0, pol je maksimum razlike do skonvergirane funkcije v neskoncnosti, kjer zavzame vrednost pi/2 in torej ne pade proti nic.
Ce a>0, potem to vstavis nazaj in dobis, da je maksimalni odmik od skonvergirane funkcije
\(\arctan \frac12\frac{a_n-a}{\sqrt{a a_n}}\)
In to gre pa ocitno proti 0, ko gre a_n proti a.
2a)
Nekaj je hudo narobe, kako ti je ratalo dobit x v resitvi, ce pa ze formula za konvergencni polmer vsebuje samo predfaktorje pri potencah? Probaj se enkrat
b) Na krajiscu konvergence potencne vrste imas lahko bodisi popolno divergenco, pogojno konvergenco, ali mogoce celo absolutno konvergence. Lahko sprobas obe krajisci.
3) Razbij na razliko logaritmov in na obeh uporabi znano vrsto za ln(1+x), s tem da je x zdaj nekaj drugega.
