Matematika
Re: Matematika
mene pa zanima, kako veš, da enačba: xy=4 predstavlja enačbo hiperbole?
Re: Matematika
Splosna stozernica (recimo da ni premaknjena iz izhodisca) ima obliko
\(Ax^2+2Bxy+Cy^2=1\)
Ce ni zarotirana (B=0 pomeni da je poravnana na koordinatne osi), potem ves po predznakih A in C katera stozernica je to. Zasuk eliminiras z menjavo spremenljivk. Tukaj ne vem koliko si podkovan v linearni algebri. Formalno pospravis A,B,C v matriko, poisces lastne vrednosti in lastne vektorje in lastni vektorji ti povedo lastni koordinatni sistem, lastne vrednosti pa ustrezne predfaktorje, od katerih je odvisno katera stozernica je.
Ce ti to ne pove nic, pa tole:
\(xy=\frac{1}{4}((x+y)^2-(x-y)^2)\)
S tem lahko svojo enacbo prepises v
\((x+y)^2-(x-y)^2=16\)
Zdaj je po nasprotnih predznakih jasno da je hiperbola. x+y in x-y pa povesta, da sta osi hiperbole v smereh (1,1) in (1,-1).
\(Ax^2+2Bxy+Cy^2=1\)
Ce ni zarotirana (B=0 pomeni da je poravnana na koordinatne osi), potem ves po predznakih A in C katera stozernica je to. Zasuk eliminiras z menjavo spremenljivk. Tukaj ne vem koliko si podkovan v linearni algebri. Formalno pospravis A,B,C v matriko, poisces lastne vrednosti in lastne vektorje in lastni vektorji ti povedo lastni koordinatni sistem, lastne vrednosti pa ustrezne predfaktorje, od katerih je odvisno katera stozernica je.
Ce ti to ne pove nic, pa tole:
\(xy=\frac{1}{4}((x+y)^2-(x-y)^2)\)
S tem lahko svojo enacbo prepises v
\((x+y)^2-(x-y)^2=16\)
Zdaj je po nasprotnih predznakih jasno da je hiperbola. x+y in x-y pa povesta, da sta osi hiperbole v smereh (1,1) in (1,-1).
Re: Matematika
Najlepša hvala za odgovor 
Imam še en problem:
Vem da naj bi bila rešitev 1, vendar nikjer ne najdem postopka, kako do tega rezultata
Imam še en problem:
Vem da naj bi bila rešitev 1, vendar nikjer ne najdem postopka, kako do tega rezultata
Re: Matematika
Malo prepoznavas vzorce. Sinus se da izpostavit v prvem delu. Potem ta del lahko razbijes na razliko kvadratov:
\(\frac{\sin x(\sin^2 x-\cos^2 x)}{\sin x+\cos x}+\cos x(\sin x+\cos x)\)
\(=\frac{\sin x(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}+\cos x(\sin x+\cos x)\)
\(=\sin x(\sin x-\cos x)+\cos x(\sin x+\cos x)\)
zdaj ni vec dalec do rezultata.
\(\frac{\sin x(\sin^2 x-\cos^2 x)}{\sin x+\cos x}+\cos x(\sin x+\cos x)\)
\(=\frac{\sin x(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}+\cos x(\sin x+\cos x)\)
\(=\sin x(\sin x-\cos x)+\cos x(\sin x+\cos x)\)
zdaj ni vec dalec do rezultata.
Re: Matematika
Mene zanima, kako se dobi točna linearna asimtota tega: koren(x^3/x-1)
Re: Matematika
Sklepam da si pozabil oklepaje v imenovalcu?
To da gre kot y=x+B se vidi takoj, ker je pri velikih x enka v imenovalcu zanemarljiva in vodilni clen dobis takoj. Konstantni clen poisces z limito razlike z vodilnim clenom:
\(\lim_{x\to \infty}\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}-x=\)
\(\lim_{x\to \infty}x(\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1)=\) //racionaliziras
\(\lim_{x\to \infty}x\frac{(\frac{x}{x-1}-1)}{(\sqrt{\frac{x}{x-1}}+1)}=\) //imenovalec je dobro dolocen
\(\frac{1}{2}\lim_{x\to \infty}x(\frac{x-x+1}{x-1})=\frac{1}{2}\)
Vse skupaj lahko torej zapises kot
\(\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}\asymp x+\frac{1}{2}\)
Ce imas polinom visje stopnje, gres lahko postopoma v vec korakih. Recimo da imas neko stvar ki bo sla kot x^2+3x+2: dobis x^2, odstejes, vidis da gre preostanek kot 3x, odstejes se to, na koncu normalno limitiras.
Drug nacin je, da se posluzis razvoja v vrsto. Izpostavis najvisjo potencno odvisnost (v tem primeru x) in ostalo razvijes po 1/x, ki je majhna stvar.
\(\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}=x\sqrt{\frac{x}{x-1}}=x\left(\sqrt\frac{1}{1-1/x}\right)\) //u=1/x in nadaljujes
\(=x\left(1+\frac{1}{2}u+\frac{3}{8}u^2+\cdots\right)\)
V limiti prezivijo samo tisti cleni ki skupaj z izpostavljenim delom dobijo nenegativno potenco - ostali so prispevki oblike 1/x^n ki gredo proti nic.
\(\displaystyle\mathop{\to}_{x= \infty} x\left(1+\frac{1}{2}\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{2}\)
To da gre kot y=x+B se vidi takoj, ker je pri velikih x enka v imenovalcu zanemarljiva in vodilni clen dobis takoj. Konstantni clen poisces z limito razlike z vodilnim clenom:
\(\lim_{x\to \infty}\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}-x=\)
\(\lim_{x\to \infty}x(\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1)=\) //racionaliziras
\(\lim_{x\to \infty}x\frac{(\frac{x}{x-1}-1)}{(\sqrt{\frac{x}{x-1}}+1)}=\) //imenovalec je dobro dolocen
\(\frac{1}{2}\lim_{x\to \infty}x(\frac{x-x+1}{x-1})=\frac{1}{2}\)
Vse skupaj lahko torej zapises kot
\(\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}\asymp x+\frac{1}{2}\)
Ce imas polinom visje stopnje, gres lahko postopoma v vec korakih. Recimo da imas neko stvar ki bo sla kot x^2+3x+2: dobis x^2, odstejes, vidis da gre preostanek kot 3x, odstejes se to, na koncu normalno limitiras.
Drug nacin je, da se posluzis razvoja v vrsto. Izpostavis najvisjo potencno odvisnost (v tem primeru x) in ostalo razvijes po 1/x, ki je majhna stvar.
\(\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}=x\sqrt{\frac{x}{x-1}}=x\left(\sqrt\frac{1}{1-1/x}\right)\) //u=1/x in nadaljujes
\(=x\left(1+\frac{1}{2}u+\frac{3}{8}u^2+\cdots\right)\)
V limiti prezivijo samo tisti cleni ki skupaj z izpostavljenim delom dobijo nenegativno potenco - ostali so prispevki oblike 1/x^n ki gredo proti nic.
\(\displaystyle\mathop{\to}_{x= \infty} x\left(1+\frac{1}{2}\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{2}\)
Re: Matematika
Zdravo! Mi prosim nekdo pove, če je mogoče pri teh limitah nekako tako kot spodaj pravi postopek?
1) lim (x-> - neskončno) [1 - sin x] / [x*cos x] =
= lim (x-> neskončno) [1 - sin(-x)] / [(-x)*cos(-x)] =
= lim (x-> neskončno) [1 + sin x] / [(-x)*cosx] =
= ... ?
2) lim (x-> neskončno) [1 + x] / [sin x + cos x] = ...?
HVALA vnaprej
1) lim (x-> - neskončno) [1 - sin x] / [x*cos x] =
= lim (x-> neskončno) [1 - sin(-x)] / [(-x)*cos(-x)] =
= lim (x-> neskončno) [1 + sin x] / [(-x)*cosx] =
= ... ?
2) lim (x-> neskončno) [1 + x] / [sin x + cos x] = ...?
HVALA vnaprej
Re: Matematika
Prvo limito lahko zapises takole:
\(\lim_{x\to{-\infty}}\frac{1}{x}\frac{1-\sin x}{\cos x}\)
Prvi del gre proti 0. Drugi je problematicen ker ima kosinus nicle in ce te nicle povzrocijo pole, to nikoli ne bo konvergiralo. Ta del mora torej biti omejen. Moznosti so samo ali je cela limita 0 ali pa sploh ne obstaja (ce imas periodicne pole).
Nicle zgornjega dela bodo tam, kjer je sinus enak 1. To je pri pi/2+2*pi*n. Spodnji del ma nicle pri pi/2+pi*n. Nicel je torej prevec in se ne bodo pokrajsale. Torej limite ni.
Podobno velja za drugo limito.
\(\lim_{x\to{-\infty}}\frac{1}{x}\frac{1-\sin x}{\cos x}\)
Prvi del gre proti 0. Drugi je problematicen ker ima kosinus nicle in ce te nicle povzrocijo pole, to nikoli ne bo konvergiralo. Ta del mora torej biti omejen. Moznosti so samo ali je cela limita 0 ali pa sploh ne obstaja (ce imas periodicne pole).
Nicle zgornjega dela bodo tam, kjer je sinus enak 1. To je pri pi/2+2*pi*n. Spodnji del ma nicle pri pi/2+pi*n. Nicel je torej prevec in se ne bodo pokrajsale. Torej limite ni.
Podobno velja za drugo limito.
Re: Matematika
Aja lahko bi jz še rešitev že prej prlepla zravn.. rešitev naj bi bla pri prvi "0", pri drugi pa "ne obstaja".
Pa telih dveh se ne znam lotit: http://file.si/public/view/195865 Mi lahko pomagate, prosim?
Pa telih dveh se ne znam lotit: http://file.si/public/view/195865 Mi lahko pomagate, prosim?
Re: Matematika
Nobena od limit ne obstaja. Napaka v rešitvah.
\(f(x)=\frac{1}{4}\textnormal{ln}\frac{1+x}{1-x}-\frac{1}{2}\textnormal{arctg }x=\frac{1}{4}\textnormal{ln}(1+x)-\frac{1}{4}\textnormal{ln}(1-x)-\frac{1}{2}\textnormal{arctg }x\)
\(f'(x)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+x}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}=\frac{2}{4(1+x)(1-x)}-\frac{1}{2(1+x^2)}=\) \(\frac{1}{2(1-x^2)}-\frac{1}{2(1+x^2)}=\frac{2x^2}{2(1-x^2)(1+x^2)}=\frac{x^2}{1-x^4}\)
\(f(x)=\frac{1}{4}\textnormal{ln}\frac{1+x}{1-x}-\frac{1}{2}\textnormal{arctg }x=\frac{1}{4}\textnormal{ln}(1+x)-\frac{1}{4}\textnormal{ln}(1-x)-\frac{1}{2}\textnormal{arctg }x\)
\(f'(x)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+x}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}=\frac{2}{4(1+x)(1-x)}-\frac{1}{2(1+x^2)}=\) \(\frac{1}{2(1-x^2)}-\frac{1}{2(1+x^2)}=\frac{2x^2}{2(1-x^2)(1+x^2)}=\frac{x^2}{1-x^4}\)
Zadnjič spremenil Zajc, dne 15.8.2011 10:58, skupaj popravljeno 3 krat.
Re: Matematika
Zanima me, če je kakšen na tem forumu, ki bi znal rešiti nalogo na spodnji povezavi.
http://www.shrani.si/f/3O/2z/dPsbi1x/img044.jpg
Če bi znal kdo to rešit bi bil zelo hvaležen.
hvala že v naprej
http://www.shrani.si/f/3O/2z/dPsbi1x/img044.jpg
Če bi znal kdo to rešit bi bil zelo hvaležen.
hvala že v naprej
Re: Matematika
Lep pozdrav!
Prosim če bi mi lahko nekdo razložil, kako rešim tole:
√(x2 + 1) + 2x − 1 > 0
To mam pod poglavjem naravnih števil, kjer so same naloge z absolutnimi vrednostmi.
Hvala
Prosim če bi mi lahko nekdo razložil, kako rešim tole:
√(x2 + 1) + 2x − 1 > 0
To mam pod poglavjem naravnih števil, kjer so same naloge z absolutnimi vrednostmi.
Hvala
Re: Matematika
Nesi stvari ki niso pod korenom na drugo stran. Potem imas dve varianti: ce je desna stran pozitivna, lahko normalno kvadriras. Ce je negativna, potem je itak res.
Re: Matematika
Hvala.
Zdaj pa še mam eno nalogo, ce mi kdo pomaga
Prvi lok cikloide
x = t − sin t, y = 1 − cos t, v intervalu [0, 2 (pi)]
zarotiramo okoli x osi. Izraˇcunaj povrˇsino dobljene vrtenine.
Hvala
Zdaj pa še mam eno nalogo, ce mi kdo pomaga
Prvi lok cikloide
x = t − sin t, y = 1 − cos t, v intervalu [0, 2 (pi)]
zarotiramo okoli x osi. Izraˇcunaj povrˇsino dobljene vrtenine.
Hvala
Re: Matematika
Povrsina vrtenine okrog x osi v eksplicitni obliki je
\(2\pi\int_a^b y(x)\sqrt{1+y'(x)^2}\,{\rm d}x\)
Ce vstavis parametrizacijo, pride
\(2\pi\int_{t_a}^{t_b} y(t)\sqrt{1+(y'(t)/x'(t))^2}x'(t)\,{\rm d}t\)
\(=2\pi\int_{t_a}^{t_b} y(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,{\rm d}t\)
To lahko tudi na novo izpeljes: 2*pi*polmer je obseg, dolzina diferencialnega segmenta krivulje je pa po pitagori \(\sqrt{dx^2+dy^2}\).
\(2\pi\int_a^b y(x)\sqrt{1+y'(x)^2}\,{\rm d}x\)
Ce vstavis parametrizacijo, pride
\(2\pi\int_{t_a}^{t_b} y(t)\sqrt{1+(y'(t)/x'(t))^2}x'(t)\,{\rm d}t\)
\(=2\pi\int_{t_a}^{t_b} y(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,{\rm d}t\)
To lahko tudi na novo izpeljes: 2*pi*polmer je obseg, dolzina diferencialnega segmenta krivulje je pa po pitagori \(\sqrt{dx^2+dy^2}\).