Matematika
Re: Matematika
Popolnoma enako. Vse faktorje dopolnis do najblizje potence, deljive s 3.
Re: Matematika
Še ena naloga : Pokaži da je vsota petih zaporednih naravnih števil sestavljeno število.
Re: Matematika
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2)
Re: Matematika
Kakšna je forumla za vsoto kvadratnih členov Fibonaccijevega zaporedja?
Če bi našu spletno stran kamor lahko napišem formulo, bi jo, ampak je ne zato bom poskusil bit dovolj jasen z besedami. Iščem torej splošno formulo, pravzaprav izraz, za vsoto kvadratnih vrednosti Fibonaccijevega zaporedja. Gre torej za vrsto k členov kjer k teče od 1 do n.
\(\sum_{k=1}^{n}F_{k}^{2}\)
Hvala za pomoč!
popravek: dodal formulo vrste
Če bi našu spletno stran kamor lahko napišem formulo, bi jo, ampak je ne zato bom poskusil bit dovolj jasen z besedami. Iščem torej splošno formulo, pravzaprav izraz, za vsoto kvadratnih vrednosti Fibonaccijevega zaporedja. Gre torej za vrsto k členov kjer k teče od 1 do n.
\(\sum_{k=1}^{n}F_{k}^{2}\)
Hvala za pomoč!
popravek: dodal formulo vrste
Re: Matematika
Hm... ce malo pobrskas po internetu, najdes zvezo \(F_{n}^2+F_{n-1}^2=F_{2n-1}\). S tem lahko preuredis vsoto tako, da ni vec kvadratov.
Ce se tega ne spomnis, lahko napades s splosno formulo za Fibonaccijeva stevila:
\(F_{n}=\frac{1}{\sqrt5}\left(\phi^n-(1-\phi)^n\right)\)
kjer je \(\phi=\frac{1}{2}(1+\sqrt5)\) zlati rez.
To lahko skvadriras:
\(F_{n}^2=\frac{1}{5}\left(\phi^{2n}+(1-\phi)^{2n}-2(-1)^n\right)\)
Tega tudi sestet ni problem, ker gre za vsoto treh geometrijskih vrst.
Ce se tega ne spomnis, lahko napades s splosno formulo za Fibonaccijeva stevila:
\(F_{n}=\frac{1}{\sqrt5}\left(\phi^n-(1-\phi)^n\right)\)
kjer je \(\phi=\frac{1}{2}(1+\sqrt5)\) zlati rez.
To lahko skvadriras:
\(F_{n}^2=\frac{1}{5}\left(\phi^{2n}+(1-\phi)^{2n}-2(-1)^n\right)\)
Tega tudi sestet ni problem, ker gre za vsoto treh geometrijskih vrst.
Re: Matematika
Hvala ti za prejšne odgovore, zdaj je vse bolj razumljivo. Če imaš čas mi lahko pomagaš še pri teh nalogah(jutri imam namreč izpit in mi nišo se najbol jasne)
1. Faktoriziraj izraz: \(1+sinx+cosx\)
2. Naj bo z tako kompleksno število, ki zadošča \(1+1/z=1\). Izračunaj vrednosti izraza \(z^n+\frac{1}{z^n}\) za n=0,1,...,12.
3. Naj bo n dano naravno število. Dokaži da vse kompleksne rešitve enačbe \(z^n+(1+z)^n\) ležijo na premici \(Re z=-\frac{1}{2}\). Če imam recimo z=a+bi pol vstavim za a= -1/2?
4.Reši enačbo \(tg x = 2sin\frac{x}{2}\).
1. Faktoriziraj izraz: \(1+sinx+cosx\)
2. Naj bo z tako kompleksno število, ki zadošča \(1+1/z=1\). Izračunaj vrednosti izraza \(z^n+\frac{1}{z^n}\) za n=0,1,...,12.
3. Naj bo n dano naravno število. Dokaži da vse kompleksne rešitve enačbe \(z^n+(1+z)^n\) ležijo na premici \(Re z=-\frac{1}{2}\). Če imam recimo z=a+bi pol vstavim za a= -1/2?
4.Reši enačbo \(tg x = 2sin\frac{x}{2}\).
Re: Matematika
1. Vec nacinov. Glavni problem je, da pri faktorizaciji enega para dobis predfaktorje in lepa faktorizacija je mozna le, ce sta predfaktorja lepo enaka. Vseeno z malo razmisleka najdes nacin, ki te resi teh tezav. Recimo, grupiras lahko 1+cos(x)=2cos^2(x/2). Zdaj imas vsoto s sinusnim clenom, ampak tale ima in dvojko spredaj in kosinus v kvadratu. Resi te tole: sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2). Zdaj lahko vecino izpostavis in ostalo normalno do konca faktoriziras. Naloga ni lahka.
2. Najbrz si mislil z+1/z=1. Ko to kvadriras, dobis \(z^2+z^{-2}+2\). Zato ves, da je \(z^2+z^{-2}=-1\). Ko to se enkrat mnozis z z+1/z, dobis
\(z^3+z^{-3}+z+z^{-1}=-1\)
oziroma \(z^3+z^{-3}=-2\). To lahko nadaljujes in bodisi opazis vzorec, ali pa nasilno prides do 12.
3. Lahko gres tako, samo potem moras dokazat, da ima dobljena enacba za b same realne resitve. V bistvu gre tako, da das novo spremenlivko w=z+1/2 in dobis simetricno enacbo za w, ki mora imeti same imaginarne resitve.
Lahko gres tudi kar resit enacbo
\(z^n+(1+z)^n=0\)
\(\left(\frac{z}{1+z}\right)^n=-1\)
\(\frac{z}{1+z}=e^{i (\pi+2\pi k)/n}\) za vsak k.
Zdaj samo se izrazis z:
\(z=\frac{e^{i (\pi+2\pi k)/n}}{1-e^{i (\pi+2\pi k)/n}}\)
Zgoraj in spodaj delis z isto eksponentno funkcijo, s polovicnim eksponentom:
\(z=\frac{e^{i (\pi+2\pi k)/(2n)}}{e^{-i (\pi+2\pi k)/(2n)}-e^{i (\pi+2\pi k)/(2n)}}\)
zdaj spodaj prepoznas formulo za sinus, zgoraj pa razbijes po Eulerjevi formuli
\(=\frac{\cos( (\pi+2\pi k)/(2n))+i\sin((\pi+2\pi k)/(2n))}{2i \sin( (\pi+2\pi k)/(2n))}\)
Realni del se ocitno pokrajsa, pa se tocno vse resitve si dobil:
\(z=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\cot((\pi+2\pi k)/(2n))\)
4. Polovicni koti. To vedno resi vse probleme. Dobis kvadratno enacbo za kosinus polovicnega kota.
2. Najbrz si mislil z+1/z=1. Ko to kvadriras, dobis \(z^2+z^{-2}+2\). Zato ves, da je \(z^2+z^{-2}=-1\). Ko to se enkrat mnozis z z+1/z, dobis
\(z^3+z^{-3}+z+z^{-1}=-1\)
oziroma \(z^3+z^{-3}=-2\). To lahko nadaljujes in bodisi opazis vzorec, ali pa nasilno prides do 12.
3. Lahko gres tako, samo potem moras dokazat, da ima dobljena enacba za b same realne resitve. V bistvu gre tako, da das novo spremenlivko w=z+1/2 in dobis simetricno enacbo za w, ki mora imeti same imaginarne resitve.
Lahko gres tudi kar resit enacbo
\(z^n+(1+z)^n=0\)
\(\left(\frac{z}{1+z}\right)^n=-1\)
\(\frac{z}{1+z}=e^{i (\pi+2\pi k)/n}\) za vsak k.
Zdaj samo se izrazis z:
\(z=\frac{e^{i (\pi+2\pi k)/n}}{1-e^{i (\pi+2\pi k)/n}}\)
Zgoraj in spodaj delis z isto eksponentno funkcijo, s polovicnim eksponentom:
\(z=\frac{e^{i (\pi+2\pi k)/(2n)}}{e^{-i (\pi+2\pi k)/(2n)}-e^{i (\pi+2\pi k)/(2n)}}\)
zdaj spodaj prepoznas formulo za sinus, zgoraj pa razbijes po Eulerjevi formuli
\(=\frac{\cos( (\pi+2\pi k)/(2n))+i\sin((\pi+2\pi k)/(2n))}{2i \sin( (\pi+2\pi k)/(2n))}\)
Realni del se ocitno pokrajsa, pa se tocno vse resitve si dobil:
\(z=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\cot((\pi+2\pi k)/(2n))\)
4. Polovicni koti. To vedno resi vse probleme. Dobis kvadratno enacbo za kosinus polovicnega kota.
Re: Matematika
To je vse lepo in prav ampak je postal več kot očiten problem, da sem si rešitev naloge zamislil povsem napačno. Naloga namreč pravi, da moram dokazat:Aniviller napisal/-a:Hm... ce malo pobrskas po internetu, najdes zvezo \(F_{n}^2+F_{n-1}^2=F_{2n-1}\). S tem lahko preuredis vsoto tako, da ni vec kvadratov.
Ce se tega ne spomnis, lahko napades s splosno formulo za Fibonaccijeva stevila:
\(F_{n}=\frac{1}{\sqrt5}\left(\phi^n-(1-\phi)^n\right)\)
kjer je \(\phi=\frac{1}{2}(1+\sqrt5)\) zlati rez.
To lahko skvadriras:
\(F_{n}^2=\frac{1}{5}\left(\phi^{2n}+(1-\phi)^{2n}-2(-1)^n\right)\)
Tega tudi sestet ni problem, ker gre za vsoto treh geometrijskih vrst.
\(\sum_{k=1}^{n}F_{k}^{2}=F_{n}F_{n+1}\)
Sam sem se hotu stvari lotit tako, da bo poiskal splošni člen Fibonaccijevega zaporedja. Ampak, tak člen sodeč po raziskavah na internetu sploh ne obstaja. Dobro, da se ga zračunat s pomočjo Zlatega reza, kot si to omenil ampak Zlati rez je zgolj in samo (dober) približek oz. njegova natančnost narašča skupaj s členi zaporedja.
Tko da zdej prav nimam več ideje kako naj to s popolno indukcijo dokažem za vsak člen Fibonaccijevega zaporedja.
Če prav razumem je n-ti člen fibonaccijevega zaporedja definiran samo s pomočjo svojih dveh predhodnikov oz. je nemogoče izračunati n-ti člen zaporedja, če pri tem ne poznaš nekaj njegovih sosedov (ker pač obstaja cel seznam kako izračunat n-ti člen s pomočjo bližnjih sosedov: http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html )
Ampak rešit tako nalogo s predpostavko da vsak na pamet pozna n-ti člen zaporedja se mi zdi pa rahlo nesmiselno - zato sem se tut lotil splošnega člena zaporedja.
Kakšna ideja?
lp
Re: Matematika
No, tisto ni priblizek ampak tocna formula. Rekurzivna zveza \(F_{n}-F_{n-1}-F_{n-2}=0\) je linearna diferencna enacba s konstantnimi koeficienti, katere resitev je seveda vsota dveh eksponentnih funkcij, podobno kot pri diferencialnih enacbah. Tako da splosni clen obstaja in je dovolj enostaven, da ga lahko sam izpeljes na novo. Tako da vsota tiste vrste ti bo sigurno dala pravo resitev, ni pa to edini nacin.
Ce imas ze podano resitev, potem je zadeva seveda bolj enostavna, saj moras le pognat popolno indukcijo, kar lahko opravis tudi z rekurzijskimi formulami. Pod predpostavko, da za prejsnji clen zadeva ze velja, se ti pogoj zreducira na eno samo enacbo, ki jo razresis z osnovno rekurzijsko zvezo za Fibonaccijevo zaporedje.
Ce imas ze podano resitev, potem je zadeva seveda bolj enostavna, saj moras le pognat popolno indukcijo, kar lahko opravis tudi z rekurzijskimi formulami. Pod predpostavko, da za prejsnji clen zadeva ze velja, se ti pogoj zreducira na eno samo enacbo, ki jo razresis z osnovno rekurzijsko zvezo za Fibonaccijevo zaporedje.
Re: Matematika
Kako na eleganten način prideš do željene zveze za vsoto kvadratov členov Fibonaccijevega zaporedja, si lahko ogledaš v tem tekstu (Lemma 5):
http://www.whitman.edu/mathematics/Seni ... clancy.pdf
http://www.whitman.edu/mathematics/Seni ... clancy.pdf
Re: Matematika
hah... simple as that!shrink napisal/-a:Kako na eleganten način prideš do željene zveze za vsoto kvadratov členov Fibonaccijevega zaporedja, si lahko ogledaš v tem tekstu (Lemma 5):
http://www.whitman.edu/mathematics/Seni ... clancy.pdf
Hvala obema!
-
andreja995
- Prispevkov: 274
- Pridružen: 6.5.2012 9:54
Re: Matematika
Zanima me, kdaj lahko ploščino pravilnega n-kotnika računam tako, da sklepam, da je sestavljen iz enakostraničnih trikotnikov (npr. 6-kotnik) in kdaj moram računati po ''načinu'' očrtanega kroga (da izračunam S po formuli za enakokraki trikotnik, npr. 12-kotnik)
Re: Matematika
6-kotnik je edini, ki ima notranji kot za eno stranico enak 360/6=60 stopinj. Vsi ostali imajo napacen kot in zato ne dobis enakostranicnih ampak samo enakokrake trikotnike.
Re: Matematika
Tri točke v prostoru:
A(1,3,5)
B(4,-1,2)
C(2,0,-1)
Zapiši enačbo premice, ki je enako oddaljena od vseh treh točk?
Kaj predstavljajo te tri točke geometrijsko? Enokstranični trikotnik niso, če ne živim v zmotnem prepričanju, potem se poljubnem trikotniku v prostoru NE da očrtati kroga torej če že, pol ležijo na isti krogleni lupini... Kako torej dobim enačbo te premice?
lp
A(1,3,5)
B(4,-1,2)
C(2,0,-1)
Zapiši enačbo premice, ki je enako oddaljena od vseh treh točk?
Kaj predstavljajo te tri točke geometrijsko? Enokstranični trikotnik niso, če ne živim v zmotnem prepričanju, potem se poljubnem trikotniku v prostoru NE da očrtati kroga torej če že, pol ležijo na isti krogleni lupini... Kako torej dobim enačbo te premice?
lp
Re: Matematika
Zivis v zmotnem prepricanju. Vsakemu trikotniku se da octrati krog - trikotnik je planarna stvar, vsake tri tocke v poljubnem stevilu dimenzij definirajo ravnino, v kateri zivi tudi ocrtani krog. Za krogelno lupino pa so 3 tocke itak premalo (neskoncno je takih lupin, na katerih lezijo vse tri tocke).
Enacbo premice dobis zelo enostavno: kot si sam ugotovil gre premica skozi sredisce ocrtanega kroga, normala tega kroga (in trikotnika) pa je smerni vektor te premice.
Po drugi strani gres lahko kar z vektorji in koordinatami - simbolicno napisi razdaljo tocke in premice za vse tri tocke in dobis enacbe za neznanke (smerni vektor in ena tocka na premici).
Enacbo premice dobis zelo enostavno: kot si sam ugotovil gre premica skozi sredisce ocrtanega kroga, normala tega kroga (in trikotnika) pa je smerni vektor te premice.
Po drugi strani gres lahko kar z vektorji in koordinatami - simbolicno napisi razdaljo tocke in premice za vse tri tocke in dobis enacbe za neznanke (smerni vektor in ena tocka na premici).