Matematika

[ZdravaPamet]

Preveri, če si pravilno napisala prvi pogoj. Na dessni imaš za argumente same x.

[ZdravaPamet]

Glede na obliko pogojev, je očitno, da zadoščata funkciji f(x)=sin(x) in g(x)=cos(x). Kar tako najti popolnoma vse realne funkcije, ki zadoščata pogojema, ne bo šlo. Vsaj jaz ne vidim, kako bi. Si prepričana, da piše najdi vse. Morda piše najdi eno.

[Anya]

Glede na obliko pogojev, je očitno, da zadoščata funkciji f(x)=sin(x) in g(x)=cos(x). Kar tako najti popolnoma vse realne funkcije, ki zadoščata pogojema, ne bo šlo. Vsaj jaz ne vidim, kako bi. Si prepričana, da piše najdi vse. Morda piše najdi eno.

Nwm, meni se zdi, da nam je profesorca dala itak nepopolno besedilo, ker mam napisano samo da gre g: R - R in pa te enačbe. Potem smo pa šli to kar vstavljat...

[ZdravaPamet]

Če pogoje dobro pogledaš, vidiš, da so v bistvu adicijski izreki za sinus in kosinus. Zato sinus in kosinus zadoščata pogojem.

[ZdravaPamet]

Že vidim, kaj ste počeli s tem. Skušali ste konstruirati funkciji z vstavljanjem številk. Postavi \(y=0\). Dobiš:
\(f(x)(1-g(0))=g(x)f(0)\)
\(g(x)(1-g(0))=-f(x)f(0)\)
Od tod f(0)=0 in g(0)=1.
Zdaj pa se moraš igrati. Lahko pokažeš cel kup lastnosti teh dveh funkcij f(x) in g(x), ki se ujemajo z lastnostmi funkcij sinus in kosinus (recimo, da je \(f^2+g^2=1\), \(f(\pi/2-x)=g(x)\) itd...)

[Jurij]

pri teh nalogah se skoraj vedno išče zvezne funkcije, zato sklepam, da je biu to tudi del navodila. sicer obstaja izjemno velika družina patoloških funkcij, ki zadoščajo danima pogojema.
podobno je npr. pri cauchyjevi enačbi f(x+y)=f(x)+f(y); množico vseh rešitev je težko opisat, če pa dodamo kot pogoj še monotonost ali zveznost, so edine rešitve oblike f(x) = c*x.

[ZdravaPamet]

V končni fazi, rešitev si našla. Zdi se, da je edina. To je že zelo veliko. Kar manjka, je dokaz tega.
Lahko bi recimo definirala funkcijo \(f(x)/g(x)=h(x)\). S tem bi tista dva pogoja (če ju deliš) pretvorila v
\($h(x+y)=\frac{h(x)+h(y)}{1-h(x)h(y)}$\)
Če pokažeš, da je funkcija h tangens, si obenem pokazala, da je f sinus in g kosinus.

[Zajc]

Tukaj je par rešitev (rešitve so res patološke, kot je Jurij rekel):

1. f=g=0
2. f=0, g(x)=a^x
3. f=0, g pa je katerakoli rešitev enačbe g(x+y)=g(x)g(y) (teh je malo morje ...), npr. \(\mathbb{R}\) kot vektorski prostor nad \(\mathbb{Q}\) zapišem kot \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\oplus A\), na \(\mathbb{Q}\) definiram g(x)=a^x, na \(A\) pa g(x)=b^x in dobim še eno rešitev ....
4. .....

p. s. zveznih rešitev je seveda bistveno manj ...

[Aniviller]

Funkcionalne enacbe se ponavadi lotimo z odvajanjem - to ti da se najlazjo sanso za korektno resitev (brez ugibanja, ki v tem primeru sledi iz adicijskih izrekov). Seveda s tem odpadejo vse nezvezne resitve, ki obstajajo, nas pa ponavadi niti ne zanimajo.
Odvajamo po x, nato x postavimo na 0:
\(f'(y)=c g(y)+d f(y)\)
\(g'(y)=d g(y)-c f(y)\)
c in d sta zaenkrat neki poljubni konstanti (odvoda f in g v izhodiscu).
Iz prve izrazis g(y):
\(g(y)=f'(y)/c-d/c f(y)\)
\(g'(y)=f''(y)/c-d/c f'(y)\)
Druga enacba postane
\(f''(y)/c-d/c f'(c)=d f'(y)/c-d^2/c f(y)-cf(y)\)
\(\frac{1}{c}f''(y)-2\frac{d}{c} f'(y)+(\frac{d^2}{c}+c)f(y)=0\)
Resitve teh enacb so oblike
\(Ae^{\lambda y},\quad \lambda=d\pm i c\)
Oziroma z drugimi besedami
\(f(y)=e^{d y}(B\sin cy+C\cos cy)\)
Iz izrazave g(y) zgoraj dobimo tudi
\(g(y)=e^{d y}(B\cos cy-C\sin cy)\)
Seveda mora veljati f'(0)=c in g'(0)=d kot smo oznacili na zacetku. Iz tega dobimo pogoja
\(dC+Bc=c\)
\(dB-Cc=d\)
Od koder sledi
\(C^2=-(1-B)^2\) in posledicno C=0, B=1.

Splosna resitev problema je torej
\(f(y)=e^{d y}\sin cy\)
\(g(y)=e^{d y}\cos cy\)
Za vse funkcije te oblike veljajo zapisani adicijski izreki. Prej najdena resitev je samo en zelo specialen primer pri d=0, c=1.
c=0 pa recimo da resitve ki jih je predlagal Zajc: f(y)=0, g eksponentna.

[ZdravaPamet]

Odlično, Aniviller! Sem razmišljal v tej smeri, ampak sem si premislil, ker se je zdelo preveč komplicirano.

[kaja7]

Hojla!

Zanima me, če mi lahko kdo pomaga pri tej nalogi.

Kateri pravokotnik z obsegom 10 ima najdaljšo diagonalo?
Naloga spada pod ekstremalne probleme.

Hvala.

[Aniviller]

Izrazi... minimiziras \(\sqrt{a^2+b^2}\), pri cemer puscas \(2(a+b)=s\) konstantno. Iz druge izrazi eno izmed stranic, potem pa na obicajen nacin poisci ekstrem.

[Anya]

Imam neko vprašanje pri kotnih funkcijah.

Zapiši kot produkt: \(2 - 4sin^2(a)\).
Meni pride: 2cos(2a)
V rešitvah pa je nek dolg produkt s sinusi. Ali bi moje tudi bilo prav?

[shrink]

Prav je.

[Driver]

Rabim pomoč pri dveh nalogah. In sicer:
1. Odvajaj funkcijo:
2. Izmed vseh realnih števil poišči takšno, da bo razlika šeste in pete potence najmanjša.
P.S. Verjetno je tudi ta naloga v zvezi z odvodi.