Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 23.5.2013 17:55

@skrat:
Gre za razvoj po vrstici ali stolpcu. Prikladno je vzet kaksno tako vrstico, ki ima samo en neniceln element, tako da nimas cele vsote po stolpcu ampak le en clen (ali dva, ce ne najdes kaksne moznosti za en clen). Pred tem lahko seveda tudi matriko predelas z odstevanjem vrstic, da pridelas vec nicel. Strategijo kako poenostavit izracun determinante si pac izberes sam. Prvi primer, ki si ga zapisal, je razvoj po drugem stolpcu: minus enka z diagonale stoji spredaj, preostanek ostane v determinanti. Ostalo so nicle. Drugi primer pa ne vem kaj naj bi bil. Tista dvojka mi ni jasna. Si hotel razvit po tretji ali cetrti vrstici? To lahko naredis, ampak moras pazit ker nimas samo enega clena.

@andreja:
Samo direktno zapisi izjavo:
\(p(x)=(x^2+x-1)(x+c)+(-x+2)\)
kjer je (x+c) nastavek za neznani rezultat deljenja. Razpises:
\(x^3+ax^2+bx+3=x^3+x^2-x+cx^2+cx-c-x+2\)
S primerjavo po clenih dobis enacbe
a=1+c
b=c-2
3=-c+2
Zadnja enacba ti pove c=-1, od koder sledi b=-3, a=0.

andreja995
Posts: 274
Joined: 6.5.2012 9:54

Re: Matematika

Post by andreja995 » 23.5.2013 18:28

izracunaj a in b, tako da bo 5 dvakratna nicla p(x)=x^3+ax^2-45x+20b+55

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 23.5.2013 18:32

To je isto. p(x) je ocitno deljiv z (x-5)^2, torej ga nastavis kot (x-5)^2*(x+c).

andreja995
Posts: 274
Joined: 6.5.2012 9:54

Re: Matematika

Post by andreja995 » 23.5.2013 18:33

kako pa potem naprej

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 23.5.2013 18:44

Ja tocno tako kot prej. Zmnozis in primerjas clen po clen.

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 23.5.2013 20:27

Aniviller wrote:@skrat:
Gre za razvoj po vrstici ali stolpcu. Prikladno je vzet kaksno tako vrstico, ki ima samo en neniceln element, tako da nimas cele vsote po stolpcu ampak le en clen (ali dva, ce ne najdes kaksne moznosti za en clen). Pred tem lahko seveda tudi matriko predelas z odstevanjem vrstic, da pridelas vec nicel. Strategijo kako poenostavit izracun determinante si pac izberes sam. Prvi primer, ki si ga zapisal, je razvoj po drugem stolpcu: minus enka z diagonale stoji spredaj, preostanek ostane v determinanti. Ostalo so nicle. Drugi primer pa ne vem kaj naj bi bil. Tista dvojka mi ni jasna. Si hotel razvit po tretji ali cetrti vrstici? To lahko naredis, ampak moras pazit ker nimas samo enega clena.
Aha, tista dvojka ti ne more biti jasna ker je ostalo narobe napisano. :) Ubistvu sem prvi vrsti prištel zadnjo, s tem dobim v zadnjem stoplcu same ničle z izjemo zadnjega elementa po katerem razvijem determinanto. :) Oprosti za napako.
Aniviller wrote:To ze, ampak pozabil si na minus enko, ki si jo prenasal okoli. Tista (-1) ne pride od menjave vrstic in stolpcev, ampak od same vsebine matrike.
Hočeš rečt, da -1 pride za vsako menjavo vrstice ali stolpca, ampak ker gre za sodo število menjav nimajo pomena, pride pa tretja -1 ki je posledica razvoja determinante?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 23.5.2013 21:12

Ja, potem bi tudi drugi nacin enako dobro deloval. Sodo stevilo menjav pomeni, da od tega ne pride faktor -1. Tista minus enka bi te verjetno manj motila, ce bi tam stala kaksna druga stevilka:
\(\begin{vmatrix}2-\lambda&0&1&1\\1&x&0&0\\1&0&-1&0\\0&0&1&-1\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}2-\lambda&1&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{vmatrix}\)
Zdaj ne mores po nakljucju pomesat z minus enko od permutacij. Namesto menjav si raje predstavljaj "sahovnico", ki ti jasno pove, katere predznake ima razvoj po dolocenem elementu. Torej, namesto, da se ukvarjas s stetjem menjav vrstic in stolpcev, enostavno zapisi clen in poglej ali si na "crnem" ali "belem" polju in temu primerno pripisi dodaten minus. To je vizualno dosti lazje naredit, in tezje se je zmotit: takoj vidis, da cleni, ki pripadajo diagonalnim elementom (in njihovim prirejenim poddeterminantam) nimajo minusa. Recimo ce bi razvijal po zadnji VRSTICI, bi dobil
\({\bf (-1)}\cdot 1\cdot\begin{vmatrix}2-\lambda &0&1\\1&-1&0\\1&0&0\end{vmatrix}+
{\bf (+1)}\cdot (-1)\cdot\begin{vmatrix}2-\lambda &0&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{vmatrix}\)

kjer sem odebelil prispevke sahovnice, ostalo so pa produkti elementov in njihovih poddeterminant.

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 23.5.2013 21:24

Uf, odlično! Hvala za nazorno razlago!

Drugo vprašanje:
V matriki \(A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}
2i & ?& ?\\
2i& -i & ?\\
1& -2 &-2i
\end{bmatrix}\)
moram neznana mesta dopolniti tako, da bo A unitarna. Zaupal so nam, da je enakovreden pogoj za unitarnost tak, da so stolpci matrike a ortonormirani. Razumem.

Ne razumem pa zakaj je treba potem pri skalarnem produktu vzet konjugirano vrednost? Recimo za prva dva stolpca: \(<(2i,2i,1),(x,-i,-2)>=2i\overline{x}+2i^{2}-2=0\) (zadnji enačaj sledi z pogoja, da želimo ortogonalnost vektorjev)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 23.5.2013 21:37

Definicija skalarnega produkta v kompleksnem je taka, da je ena komponenta konjugirano kompleksna. Sicer kvadrat vektorja ne bi bil pozitivno realno stevilo (norma!).

finpol1
Posts: 87
Joined: 29.5.2011 21:27

Re: Matematika

Post by finpol1 » 26.5.2013 20:44

Povezava med skalarnim produktom in kosinusnim izrekom - kakšna je ta povezava, kaj je tu pomembno?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 26.5.2013 20:53

Pove ti, da je skalarni produkt sorazmeren s kosinusom kota med vektorjema, od koder sledi, da je skalarni produkt 0 za pravokotne vektorje, za vzporedne vektorje pa je enak produktu dolzin, s predznakom minus ce kazeta v nasprotnih smereh. Skalarni produkt je tudi najbolj direkten nacin za dobit kot iz vektorjev brez kaksnih grdih geometrijskih manipulacij.

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 27.5.2013 16:34

Za katere vrednosti a ima \(A=\begin{bmatrix}
2 & a\\
-1&1
\end{bmatrix}\)
realne lastne vrednosti?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 27.5.2013 16:48

Ja poracunaj. Karakteristicni polinom je
\((2-\lambda)(1-\lambda)+a=0\)
\(\lambda^2-3\lambda+2+a=0\)
Diskriminanta:
\(9-4(2+a)\geq 0\)
\(1\geq 4a\)
\(a\leq \frac14\)

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 27.5.2013 16:49

haha. :D

Dobro, hvala! :D

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 27.5.2013 21:13

Reši z uporabo kramerjevih formul:

\(2x+y+z=3\)
\(-4x-2y+z=0\)
\(2x+2y+z=2\)

Kakor je meni znano, je potemtakem \(A=\begin{bmatrix}
2 & -4& 2\\
1& -2& 2\\
1& 1 & 1
\end{bmatrix}\)
in \(detA=-6\). Za vsako neznanko posebej je treba izračunat izraz \(x_{i}=\frac{detA_{i}}{detA}\), kjer je \(detA_{i}\) determinanta matrike v kateri i-ti stolpec zamenjamo z vektorjem \(b=\begin{bmatrix}
3\\
0\\
2
\end{bmatrix}\)
.

Za x zamenjamo prvi stolpec in bi morala bit vsaj pomoje rešitev \(\frac{20}{6}\) toda v rešitvah je 1. Tudi ostale neznanke dobim čisto drugačne. zakaj?

Post Reply