Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

@skrat:
Gre za razvoj po vrstici ali stolpcu. Prikladno je vzet kaksno tako vrstico, ki ima samo en neniceln element, tako da nimas cele vsote po stolpcu ampak le en clen (ali dva, ce ne najdes kaksne moznosti za en clen). Pred tem lahko seveda tudi matriko predelas z odstevanjem vrstic, da pridelas vec nicel. Strategijo kako poenostavit izracun determinante si pac izberes sam. Prvi primer, ki si ga zapisal, je razvoj po drugem stolpcu: minus enka z diagonale stoji spredaj, preostanek ostane v determinanti. Ostalo so nicle. Drugi primer pa ne vem kaj naj bi bil. Tista dvojka mi ni jasna. Si hotel razvit po tretji ali cetrti vrstici? To lahko naredis, ampak moras pazit ker nimas samo enega clena.

@andreja:
Samo direktno zapisi izjavo:
\(p(x)=(x^2+x-1)(x+c)+(-x+2)\)
kjer je (x+c) nastavek za neznani rezultat deljenja. Razpises:
\(x^3+ax^2+bx+3=x^3+x^2-x+cx^2+cx-c-x+2\)
S primerjavo po clenih dobis enacbe
a=1+c
b=c-2
3=-c+2
Zadnja enacba ti pove c=-1, od koder sledi b=-3, a=0.

andreja995
Prispevkov: 274
Pridružen: 6.5.2012 9:54

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a andreja995 »

izracunaj a in b, tako da bo 5 dvakratna nicla p(x)=x^3+ax^2-45x+20b+55

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

To je isto. p(x) je ocitno deljiv z (x-5)^2, torej ga nastavis kot (x-5)^2*(x+c).

andreja995
Prispevkov: 274
Pridružen: 6.5.2012 9:54

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a andreja995 »

kako pa potem naprej

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja tocno tako kot prej. Zmnozis in primerjas clen po clen.

skrat
Prispevkov: 381
Pridružen: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a skrat »

Aniviller napisal/-a:@skrat:
Gre za razvoj po vrstici ali stolpcu. Prikladno je vzet kaksno tako vrstico, ki ima samo en neniceln element, tako da nimas cele vsote po stolpcu ampak le en clen (ali dva, ce ne najdes kaksne moznosti za en clen). Pred tem lahko seveda tudi matriko predelas z odstevanjem vrstic, da pridelas vec nicel. Strategijo kako poenostavit izracun determinante si pac izberes sam. Prvi primer, ki si ga zapisal, je razvoj po drugem stolpcu: minus enka z diagonale stoji spredaj, preostanek ostane v determinanti. Ostalo so nicle. Drugi primer pa ne vem kaj naj bi bil. Tista dvojka mi ni jasna. Si hotel razvit po tretji ali cetrti vrstici? To lahko naredis, ampak moras pazit ker nimas samo enega clena.
Aha, tista dvojka ti ne more biti jasna ker je ostalo narobe napisano. :) Ubistvu sem prvi vrsti prištel zadnjo, s tem dobim v zadnjem stoplcu same ničle z izjemo zadnjega elementa po katerem razvijem determinanto. :) Oprosti za napako.
Aniviller napisal/-a:To ze, ampak pozabil si na minus enko, ki si jo prenasal okoli. Tista (-1) ne pride od menjave vrstic in stolpcev, ampak od same vsebine matrike.
Hočeš rečt, da -1 pride za vsako menjavo vrstice ali stolpca, ampak ker gre za sodo število menjav nimajo pomena, pride pa tretja -1 ki je posledica razvoja determinante?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja, potem bi tudi drugi nacin enako dobro deloval. Sodo stevilo menjav pomeni, da od tega ne pride faktor -1. Tista minus enka bi te verjetno manj motila, ce bi tam stala kaksna druga stevilka:
\(\begin{vmatrix}2-\lambda&0&1&1\\1&x&0&0\\1&0&-1&0\\0&0&1&-1\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}2-\lambda&1&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{vmatrix}\)
Zdaj ne mores po nakljucju pomesat z minus enko od permutacij. Namesto menjav si raje predstavljaj "sahovnico", ki ti jasno pove, katere predznake ima razvoj po dolocenem elementu. Torej, namesto, da se ukvarjas s stetjem menjav vrstic in stolpcev, enostavno zapisi clen in poglej ali si na "crnem" ali "belem" polju in temu primerno pripisi dodaten minus. To je vizualno dosti lazje naredit, in tezje se je zmotit: takoj vidis, da cleni, ki pripadajo diagonalnim elementom (in njihovim prirejenim poddeterminantam) nimajo minusa. Recimo ce bi razvijal po zadnji VRSTICI, bi dobil
\({\bf (-1)}\cdot 1\cdot\begin{vmatrix}2-\lambda &0&1\\1&-1&0\\1&0&0\end{vmatrix}+
{\bf (+1)}\cdot (-1)\cdot\begin{vmatrix}2-\lambda &0&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{vmatrix}\)

kjer sem odebelil prispevke sahovnice, ostalo so pa produkti elementov in njihovih poddeterminant.

skrat
Prispevkov: 381
Pridružen: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a skrat »

Uf, odlično! Hvala za nazorno razlago!

Drugo vprašanje:
V matriki \(A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}
2i & ?& ?\\
2i& -i & ?\\
1& -2 &-2i
\end{bmatrix}\)
moram neznana mesta dopolniti tako, da bo A unitarna. Zaupal so nam, da je enakovreden pogoj za unitarnost tak, da so stolpci matrike a ortonormirani. Razumem.

Ne razumem pa zakaj je treba potem pri skalarnem produktu vzet konjugirano vrednost? Recimo za prva dva stolpca: \(<(2i,2i,1),(x,-i,-2)>=2i\overline{x}+2i^{2}-2=0\) (zadnji enačaj sledi z pogoja, da želimo ortogonalnost vektorjev)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Definicija skalarnega produkta v kompleksnem je taka, da je ena komponenta konjugirano kompleksna. Sicer kvadrat vektorja ne bi bil pozitivno realno stevilo (norma!).

finpol1
Prispevkov: 88
Pridružen: 29.5.2011 21:27

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a finpol1 »

Povezava med skalarnim produktom in kosinusnim izrekom - kakšna je ta povezava, kaj je tu pomembno?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Pove ti, da je skalarni produkt sorazmeren s kosinusom kota med vektorjema, od koder sledi, da je skalarni produkt 0 za pravokotne vektorje, za vzporedne vektorje pa je enak produktu dolzin, s predznakom minus ce kazeta v nasprotnih smereh. Skalarni produkt je tudi najbolj direkten nacin za dobit kot iz vektorjev brez kaksnih grdih geometrijskih manipulacij.

skrat
Prispevkov: 381
Pridružen: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a skrat »

Za katere vrednosti a ima \(A=\begin{bmatrix}
2 & a\\
-1&1
\end{bmatrix}\)
realne lastne vrednosti?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja poracunaj. Karakteristicni polinom je
\((2-\lambda)(1-\lambda)+a=0\)
\(\lambda^2-3\lambda+2+a=0\)
Diskriminanta:
\(9-4(2+a)\geq 0\)
\(1\geq 4a\)
\(a\leq \frac14\)

skrat
Prispevkov: 381
Pridružen: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a skrat »

haha. :D

Dobro, hvala! :D

skrat
Prispevkov: 381
Pridružen: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a skrat »

Reši z uporabo kramerjevih formul:

\(2x+y+z=3\)
\(-4x-2y+z=0\)
\(2x+2y+z=2\)

Kakor je meni znano, je potemtakem \(A=\begin{bmatrix}
2 & -4& 2\\
1& -2& 2\\
1& 1 & 1
\end{bmatrix}\)
in \(detA=-6\). Za vsako neznanko posebej je treba izračunat izraz \(x_{i}=\frac{detA_{i}}{detA}\), kjer je \(detA_{i}\) determinanta matrike v kateri i-ti stolpec zamenjamo z vektorjem \(b=\begin{bmatrix}
3\\
0\\
2
\end{bmatrix}\)
.

Za x zamenjamo prvi stolpec in bi morala bit vsaj pomoje rešitev \(\frac{20}{6}\) toda v rešitvah je 1. Tudi ostale neznanke dobim čisto drugačne. zakaj?

Odgovori