Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 30.5.2013 14:03

Po pitagorovem izreku:
\((x-1)^2+(x-9)^2+(x-10)^2=x^2\)

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 31.5.2013 17:23

Sebi adjungirana linerana preslikava \(S:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}\) ima dvojno lastno vrednost 0, pripadajoči lastni podprostor je ravnina \(x+y-z=0\); in še eno lastno vrednost 1. Poišči matriko, ki pripada linerani preslikavi v standardni bazi \(\mathbb{R}^{3}\).

Je to smiselno ? :

Vzamemo en vektor iz ravnine, recimo \(v_{1}=(1,1,2)\). Vemo, da so vektorji različnih lastnih vrednosti med seboj pravokotni, kar pomeni, da mora biti lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti 1, pravokoten na lastni podprostor za lastno vrednost 0. Mal se delam pametnega. :D Če prav razumem, mora bit lastni vektor lastne vrednosti 1, pravokoten na ravnino, torej lahko vzamemo normalo ravnine \(n=(1,1-1)\).
Potrebujemo še en vektor iz ravnine, vzamemo enega, ki je pravokoten na oba tore: \(v_{2}=(1,1,2)\times (1,1,-1)=(3,-3,0)\) oz. \(v_{2}=(1,-1,0)\)

Potemtakem, bi morala diagonalna matrika D in obrnljiva matrika P izgledati takole: \(D=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0& 0 & 1
\end{bmatrix}\)
in \(P=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}\)


in \(A_{s}=PDP^{-1}=PDP^{T}\).

ja?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 31.5.2013 17:46

Tocno tako.

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 31.5.2013 18:04

Izračunaj lastne vrednosti in lastne vekotrje \((2n+1)\times (2n+1)\) matrike: \(\begin{bmatrix}
& & &1 & & & \\
& & & \vdots & & & \\
& & & 1 & & & \\
1& \cdots & 1 & 0 &1 &\cdots & 1\\
& & & 1 & & & \\
& & & \vdots & & & \\
& & & 1 & & &
\end{bmatrix}\)
(na neoznačenih mestih so ničle).

Zdej, če sem prav zračunal, bi morale bit lastne vrednosti enake\(\lambda ^{2n-1}(-\lambda ^{2}+2n)=0\). Kakšen namig kako dobim lastne vektorje? :/

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 31.5.2013 18:34

še eno vprašanje:
Koliko je ortogonalnih preslikav, ki preslikajo premico \(y=\frac{y}{2}=z\) v premico \(-\frac{x}{2}=y=z\) in premico \(x=-y=z\) v premico \(x=y=z\). Poišči še matriko katere od njih v standardni bazi prostora \(\mathbb{R}^{3}\).

Okej, torej se smerni vektor obeh premic, ki ju slikamo, preslika spet v smerni vektor:
\(s_{1}(1,2,1)\mapsto s_{1}^{'}(-2,1,1)\) in \(s_{2}(1,-1,1)\mapsto s_{2}^{'}(1,1,1)\). No, ampak naslednji del ugibam: Ker je ortogonalna preslikava, mora preslikava ohranjati tudi pravkotnost, zato ugibam, da velja \(s_{1}\times s_{2}=(1,0,1)\mapsto s_{1}^{'}\times s_{2}^{'}=(0,1,-1)\). Če je to res, potem je \(B=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{2}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{3}}& 0\\
\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\)
(kjer sem še normiral vektorje) in \(P=\begin{bmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} & 0\\
\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\)
.
Kako pa zapišem matriko preslikave A? Je to kar identična preslikava? zakaj?

No,potem velja še \(A_{S}=PAB^{-1}=PAB^{T}\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 31.5.2013 19:23

skrat wrote:Izračunaj lastne vrednosti in lastne vekotrje \((2n+1)\times (2n+1)\) matrike: \(\begin{bmatrix}
& & &1 & & & \\
& & & \vdots & & & \\
& & & 1 & & & \\
1& \cdots & 1 & 0 &1 &\cdots & 1\\
& & & 1 & & & \\
& & & \vdots & & & \\
& & & 1 & & &
\end{bmatrix}\)
(na neoznačenih mestih so ničle).

Zdej, če sem prav zračunal, bi morale bit lastne vrednosti enake\(\lambda ^{2n-1}(-\lambda ^{2}+2n)=0\). Kakšen namig kako dobim lastne vektorje? :/
Rang matrike je ocitno 2 (dve razlicni vrstici), tako da bosta le dve nenicelni lastni vrednosti. Ampak v resnici je nekoliko lazje in ni treba s celo matriko se ukvarjat: matriko lahko sestavis kot kratko vsoto tenzorskih produktov. Naj bo \(\vec{e}_1=(1,1,1,1,1,\ldots)\) in \(\vec{e}_2=(0,0,0,0,0,1,0,0,\ldots)\), z enko na tistem mestu, kjer ima matrika glavno krizisce. Vrstico samih enk dobis s produktom \(\vec{e}_2\otimes \vec{e}_1\), stolpec samih enk obratno, eno samo enko v kriziscu pa dobis kot \(\vec{e}_2\otimes\vec{e}_2\). Ce ti je bolj ugodna notacija, lahko pises kot \(\vec{e}_2 \vec{e}_2^T\) (ce so vektorji stolpci).

Kaj to pomeni? Da lahko matriko zapises kot
\(M=\vec{e}_2\otimes \vec{e}_1+\vec{e}_1\otimes \vec{e}_2-2\vec{e}_2\otimes \vec{e}_2\)
Matriko zdaj lahko mirno zapises v bazi teh dveh vektorjev: z njo delujes na vsakega izmed baznih vektorjev, in pogledas kaj dobis:
\(M\vec{e}_1=||\vec{e}_1||^2\vec{e}_2+(\vec{e}_1\cdot \vec{e}_2)\vec{e}_1-2(\vec{e}_1\cdot \vec{e}_2)\vec{e}_2\)
\(M\vec{e}_2=(\vec{e}_1\cdot \vec{e}_2)\vec{e}_2+||\vec{e}_2||^2\vec{e}_1-2||\vec{e}_2||^2\vec{e}_2\)
Pri tem lahko zdaj upostevas, da je \(||\vec{e}_1||^2=1\), \(||\vec{e}_2||^2=n\) in \(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2=1\). Dobis
\(M\vec{e}_1=\vec{e}_1+(n-2)\vec{e}_2\)
\(M\vec{e}_2=\vec{e}_1-\vec{e}_2\)
To bi lahko tudi rocno prebral.
Matrika v tej bazi se torej glasi
\(\begin{bmatrix}1&1\\n-2&-1\end{bmatrix}\)
Lastni vrednosti sta \(\pm \sqrt{n-1}\). Lastna vektorja sta pa \(-\vec{e}_1+(1\mp\sqrt{n-1})\vec{e}_2\) (koeficienta dobis iz matrike, ampak ta matrika je izrazena v bazi e1 in e2, zato ta izraz).

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 31.5.2013 19:31

skrat wrote:še eno vprašanje:
Koliko je ortogonalnih preslikav, ki preslikajo premico \(y=\frac{y}{2}=z\) v premico \(-\frac{x}{2}=y=z\) in premico \(x=-y=z\) v premico \(x=y=z\). Poišči še matriko katere od njih v standardni bazi prostora \(\mathbb{R}^{3}\).

Okej, torej se smerni vektor obeh premic, ki ju slikamo, preslika spet v smerni vektor:
\(s_{1}(1,2,1)\mapsto s_{1}^{'}(-2,1,1)\) in \(s_{2}(1,-1,1)\mapsto s_{2}^{'}(1,1,1)\). No, ampak naslednji del ugibam: Ker je ortogonalna preslikava, mora preslikava ohranjati tudi pravkotnost, zato ugibam, da velja \(s_{1}\times s_{2}=(1,0,1)\mapsto s_{1}^{'}\times s_{2}^{'}=(0,1,-1)\). Če je to res, potem je \(B=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{2}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{3}}& 0\\
\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\)
(kjer sem še normiral vektorje) in \(P=\begin{bmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} & 0\\
\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\)
.
Kako pa zapišem matriko preslikave A? Je to kar identična preslikava? zakaj?

No,potem velja še \(A_{S}=PAB^{-1}=PAB^{T}\)
No, kot prvo sem sel takoj preverit, ce je kot med premicama po preslikavi enak kot prej (ce ne bi bil, preslikava sploh ne bi mogla bit ortogonalna). Kot si zapisal je delno prav... pazit moras, ker s1 in s2 nista pravokotna. Zato P in B nista ortogonalni in ne mores kar transponirat (inverz je pa ok). Matrika A je res lahko kar identiteta... v bistvu si hotel itak samo menjavo baze. Je pa tukaj se neka podrobnost: resitvi sta dve, ker v smeri pravokotno na s1 in s2 ni nic hudega, ce mnozis z -1. To ohranja ortogonalnost matrike. Torej, lahko imas bodisi A=diag(1,1,1) ali pa A=diag(1,1,-1). Ena moznost ti da pravo rotacijo, druga pa rotacijo + zrcaljenje (kar je tudi ortogonalna matrika, ima pa determinanto -1 namesto 1).

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 31.5.2013 19:41

Uf, hvala za opazko! Čisto sem spegledal, da s1 in s2 nista pravokotna... V tem primeru je preslikava ohranjala dolžine in je bilo normiranje nepotrebno, v nasprotnem primeru pa je to nujno, ane?

Koliko je torej takih ortogonalnih matrik? 2?

Mimogrede, kako veš da je A=diag(1,1,1) rotacija in A=diag(1,1,-1) rotacija+zrcaljenje? Veš to na pamet al se da to s pomislekom razumet? Recimo kaj bi bila A=diag(1,1,0)?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 31.5.2013 19:55

skrat wrote:Uf, hvala za opazko! Čisto sem spegledal, da s1 in s2 nista pravokotna... V tem primeru je preslikava ohranjala dolžine in je bilo normiranje nepotrebno, v nasprotnem primeru pa je to nujno, ane?

Koliko je torej takih ortogonalnih matrik? 2?

Mimogrede, kako veš da je A=diag(1,1,1) rotacija in A=diag(1,1,-1) rotacija+zrcaljenje? Veš to na pamet al se da to s pomislekom razumet? Recimo kaj bi bila A=diag(1,1,0)?
Takole je: ker si dal koncne in zacetne vektorje (P in B) pod istim kotom in istimi dolzinami, bos vseeno dobil ortogonalno matriko, ker toliko kot ena matrika pokvari dolzine in kote, toliko jih druga nazaj popravi. Ker je tvoja vmesna operacija A taka, da nic ne naredi, je to v redu in ti ni bilo treba ortogonalizirat in normirat (v principu bi moral gram-schmidta delat, ce bi hotel, da sta tud P in B ortogonalni). Narobe bi pa bilo recimo, ce bi bila s1 in s1' razlicne dolzine, ali ce bi kot spremenil.

Rotacijo dobis iz PB^-1. Tako da si lahko predstavljas kaj A naredi v vmesnem koraku: po delovanju matrike B^-1 imas koordinatni sistem postavljen na ravnino z osema s1 in s2. Matrika diag(1,1,-1) torej zrcali cez to ravnino (tretja dimenzija, pravokotna na ravnino, menja predznak). diag(1,1,0) bi bila pa pravokotna projekcija na ravnino. Samo to ni vec ortogonalna matrika, saj niti obrnljiva ni vec.

Celotna preslikava je torej rotacija, ki spravi obe premici v pravi polozaj, zrcaljenje cez njuno ravnino pa lahko dodas zraven ce hoces, ker se ob njem premici ne spremenita.

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 31.5.2013 20:56

Sebi adjungirana presliakava ima lastne vrednosti 1,-1 in 0. Njeno jedro je premica x=-y, z=0 in velja \(A(1,1-1)=(-1,-1,1)\). Poišči matriko A v standardni bazi.

Hmm, js sem to sicer po svoje rešil ampak sem mal zmeden, ker ne vem zakaj tiste tri lastne vrednosti?
Baza B je sestavljena iz smernega vektorja premice, vektorja (1,1-1) in vektorja, ki ga dobima kot vektorski produkt prejšnjih dveh, torej \(B=\begin{bmatrix}
1 & 1 &1 \\
-1&1 &1 \\
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}\)
. Potem iz tega: \(A(1,1-1)=(-1,-1,1)\) sklepam, da je baza P kamor slika A, kar ista baza pomnožena z -1 (ne vem kako je s smernim vektorjem, le ta je namreč v jedru A)... hmm?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 31.5.2013 21:24

Jedro ti pove lastni vektor od lastne vrednosti 0. Podatek A(1,1,-1)=(-1,-1,1) ti pove, da je (1,1,-1) lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti -1. Ker je sebi adjungirana, bo tretji lastni vektor pravokoten na ostala dva. Iz tega lahko sestavis prehodno matriko (normiras in zlozis v stolpce). Potem samo poracunas \(A=BDB^T\), kjer je D=diag(1,-1,0).

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 31.5.2013 21:26

No, to je precej bolj smiselno.

hvala.

finpol1
Posts: 87
Joined: 29.5.2011 21:27

Re: Matematika

Post by finpol1 » 1.6.2013 8:23

Če (ne)enačbo logaritmiraš, se (ne)enačaj obrne, ČE je osnova med 0 in 1?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 1.6.2013 13:27

Ja. Ampak ne vem zakaj bi kadarkoli uporabil kak drug logaritem kot naravni. Ce imas cudne osnove, bos ze kasneje pokrajsal, in bo bolj jasno zakaj: ce bo na obeh straneh nastopal ln(0.3) bos pac delil z ln(0.3) in to je negativno in se zato enacaj obrne.

bruc
Posts: 38
Joined: 22.4.2013 11:49

Re: Matematika

Post by bruc » 2.6.2013 19:54

Dober večer,

prosim za namige:

1, Naloga: Za podmnožici K in F metričnega prostora definirajmo njuno razdaljo kot d(K, F) = inf{d(x, y) : x 2 K, y 2 F}.
Dokaži:
(i) Če sta K in F kompaktni, obstajata taka a 2 K in b 2 F, da je d(a, b) = d(K, F). Ali to vedno velja tudi, ko je le ena od množic kompaktna, druga pa
zaprta?

(ii) Če sta K in F disjunktni, K kompaktna in F zaprta, je d(K, F) > 0.

..........

2. Naloga: Pravimo, da je funkcija f : R na n preslikano v R zvezna v spremenljivki xj , ce je zvezna naslednja funkcija iz R v R:
xj se preslika v f(a1, . . . , aj−1, xj , aj+1, . . . , an), in sicer za vsak fiksen (a1, . . . , an) je element R na n.
(i) Pokazi, da je vsaka zvezna funkcija f : R na n se preslika v R zvezna v vsaki posamezni spremenljivki xj za j = 1, . . . , n.

(ii) Izrazi funkcijo
f : R na 2 se preslika v R, f(x1, x2) := ( xa na 2 −x2 na 2) / (x 1 na 2) +x 2 na 2)

, (x1, x2) ni = (0, 0)
(x1, x2) = (0, 0)
v polarnih koordinatah in pokazi, da je zvezna v vsaki spremenljivki x1 in x2 posebej, a kljub temu ni zvezna kot funkcija na R na 2.

...........


Dokazi, da je mnozica vseh pozitivnih operatorjev na unitarnem prostoru konveksna, torej tudi povezana. Isto velja tudi za mnozico vseh hermitskih operatorjev in za mnozico vseh hermitskih operatorjev s sledjo 0.

Dokazi, da je grupa vseh unitarnih operatorjev na unitarnem prostoru s potmi povezana, torej tudi povezana. (Navodilo: Ce predstavimo unitaren operator
U z diagonalno matriko, lahko pokazemo, da je U = eiH za kak hermitski operator H. Potem je t se preslika v e na itH (t 2je element [0, 1]) pot od I do U.)

Dokazi, da za vsak unitaren operator U z determinanto 1 obstaja tak hermitski operator H s sledjo 0, da je U = eiH, in sklepaj od tod (podobno kot v
prejsnjem dokazu), da je grupa SU(n,C) s potmi povezana.

3. Naloga: Pokazi, da sta grupi GL(nC) in SLG(n,C) s potmi povezani. (Navodilo: uporabi polarno dekompozicijo in prejsnje tri dokazne naloge.)

............

4. Naloga: Kroznica s polmerom b in srediscem S(a, 0, 0) lezi v ravnini x, z; pri tem naj bo a > b. Zavrtimo jo okrog osi z. Izrazi koordinate poljubne tocke T na nastalem svitku s kotom , ki ga oklepa daljica ST z ravnino x, y, in polarnim kotom , ki ga oklepa daljica 0S s pozitivnim poltrakom abscisne osi. Izrazi s parametroma in tudi enacbo normale na svitek v poljubni njegovi tocki. (Navodilo: Ce je u = u(s, t) parametricna enacba ploskve, pokazi, da je njen normalni vektor v poljubni tocki enak @u / @s × @u / @t , kjer oznacuje × vektorski produkt.)

..........

Hvala,

bruc

Post Reply