Limitiranje je enostavno. Gledaš obnašanje funkcije v neposredni okolici neke točke, in potem dobesedno limitiraš direktno k vrednosti, kjer te zanima. Načeloma bi itak radi kar vstavili x in bi bilo to že rezultat - kadar to ne gre zaradi kakšnih nedoločenih izrazov (0/0 ali neskončno/neskončno ali 1^neskončno ali kaj takega) moraš pa res pogledat, kako se funkcije obnašajo tam okoli, in potem poenostavit do te mere, da se ti tisto, kar gre v tisti točki proti nedoločenem izrazu, pokrajša. Recimo f(x)=sin(x) se v okolici x=0 obnaša kot f(x)=x (če pogledaš dosti od blizu, sinus začne linearno po diagonali, potem šele začne zavijat). Iz tega potem sledi tudi, da gre sin(x)/x proti 1, saj postane vedno bolj podobno x/x. Iz tega potem direktno sledi tudi sin(2x)/x -> 2 in podobno... sin(x)/x->1 je samo poseben primer, ki ga učijo v srednjih šolah.
V tvojem primeru lahko tudi imenovalec in števec deliš z x, in potem prepoznaš kup limit tipa sin(x)/x (po možnosti z dodatnim faktorjem v sinusu, ki kot vidiš ni noben problem). Samo da toliko poenostaviš, da znaš pokrajšat tisto, kar postane 0.
Limitni postopek je rutina, ki ga lahko po "receptu" rešiš praktično brez kompliciranja, to zna vsak računalnik. Prijemov je zelo malo:
1) Izpostavljaš in preoblikuješ tako, da najdeš znane limite, ali da se ti pokrajša tisto, kar povzroča ničle. To je še najbolj kompliciran način, saj zahteva nekaj spretnosti pri prepoznavanju vzorcev.
2) Razvoj v potenčno vrsto. Praktično vsako funkcijo se da zapisat v okolici neke točke kot vsoto potenc: v principu je neskončno členov, ampak v limiti bodo jasno vse dovolj visoke potence po vstavljanju vrednosti x postale 0, razen najnižji členi, kjer se vsi x pokrajšajo in ostane le konstanta (prosti člen polinoma). To zgoraj je tipični primer tega postopka, ko rabiš samo člen pri x. Pazit moraš le, da zapišeš dovolj členov, da dobiš vse tiste, ki se ne pokrajšajo, lahko imaš limito, kjer se pokrajša do kakšnega višjega člena. Recimo
\(\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x-\sin 2x}{x^3}\)
opaziš, da če daš sin(x) da je približno x, se ti v števcu vse odšteje, pa še vedno dobiš 0/0. V tem primeru moraš pogledat kaj se dogaja z višjimi členi:
\(\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\)
Tokrat bosta dva dovolj (vidiš po tem, da hočeš pokrajšat x^3) in hitro prideš do rezultata 1.
3) Odvajanje števca in imenovalca. Ta tudi praktično vedno prime (in je v bistvu na skrivaj isti postopek kot 2). Lahko si predstavljaš, da če deliš dve funkciji, ki sta v okolici neke točke enaki nič, bo dovolj blizu to isto, kot da deliš dve linearni funkciji a*x in b*x in pokrajšaš x. Naklona a in b sta kar odvoda, torej je kvocient odvodov tam enak limiti. Če še vedno pride 0/0, pomeni, da si na tistem primeru kot pri 2), ko rabiš več členov, in pač odvajaš še enkrat.
Ne vem koliko od teh znanj imaš. Načeloma 1), ki se uči v srednjih šolah kot glavni postopek, zahteva največ razmišljanja in ustvarjalnosti, ampak odvajanje in razvoj v potenčno vrsto pač ni nujno da sta že v učnem programu. Jaz najbolj priporočam postopek 2), saj je z njim ponavadi najmanj dela, posebej če gledaš okolico x=0 (če imaš kak drug x=a, potem lahko daš pa novo spremenljivko y=x-a, ki gre proti 0, in računaš naprej). Za 99% življenja je dovolj, če si zapomniš vrste
\(\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\)
\(\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\)
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\)
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots\)
Največ dva člena sta ponavadi dovolj.
Če rabiš pa samo en člen, pa je dovolj celo, da veš, da so vse funkcije sin(x), arcsin(x), tan(x), arctan(x), v okolici x=0 take kot f(x)=x.
Kadar imaš pa kak logaritem, pa greš z metodo 3), saj je odvod logaritma lepa stvar.
Limito si ni težko predstavljat in preverjat tudi s kalkulatorjem. Enostavno vstaviš x rahlo večji od limitnega, pa prideš zelo blizu rezultata. Recimo v tvojih primerih x=0.01 ali kaj takega. Sam ne preveč, da kalkulatorju zmanjka decimalk in spet dobiš 0/0
Točno to limita naredi: pogleda, čemu se približuje vrednost funkcije v točki, kjer so z izrazom v osnovni obliki težave.