Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 26.1.2014 16:15

Ce torej na testu dobim neg. kot, mu samo spremenim predznak?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 26.1.2014 16:40

No to pa potem ni več prav. +pi je nekaj drugega kot samo odstranit predznak. Če odstraniš predznak, potem ne ločiš več med navzgor in navzdol.

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 26.1.2014 21:18

:shock: lahko potem, če je kot neg., prištejem 90 stopinj?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 26.1.2014 21:35

Zakaj pa 90? To je sploh potem čisto nekaj narobe. Pusti ga pri miru, pa bo :) Nariši si, pa bo jasno. Če harpuna prileti pod kotom navzdol, lahko meriš kot med vodoravnico in puščico od harpune, ali pa od vodoravnice do repa harpune. Če konsistentno vedno meriš kot med puščico od harpune, potem je pri padajoči funkciji kot negativen, pri naraščajoči pa pozitiven. Če si nekako zaželiš kot do repa harpune, pa prišteješ 180 stopinj, ker pač gledaš ravno nasprotno stran. Negativen kot je pravo odgovor za padajočo funkcijo, če pa že hočeš raztegnit definicijo, je tista za 180 različna še sprejemljiv odgovor (čeprav ni to, kar ponavadi smatramo za kot pri krivuljah), karkoli drugega pa ni v redu. 90 stopinj ti da kvečjemu kot normale (ali pa če gledaš kot glede na navpičnico namesto vodoravnico).

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 27.1.2014 15:34

Prosil bi za pomoč pri reševanju naslednjih nalog:
Dan je pravokotnik ABCD s stranicama a=20 in b=16. U je taka točka na stranici AB, da velja AU:UB=3:2. Naj bo V razpolovišče stranice Bc. Izračunaj velikost kota DVU.( Glede na to obravnavamo skalarni produkt je najbrž kaj v povezavi s tem, ampak ne vem kako naj se lotim. Znam izračunati BD in VU, ampak nimam podani skalarni produkt, da bi izrazil cosinus kota.)

Dan je pravilni 6-kotnik s stranico, dolgo 10. Izračunaj kot, ki ga oklepata diagonali AC in AD. (Vem, da je podobno kot prej. Znal bi izračunati kot, če bi imel podan skalarni produkt, a ga nimam.)

V enakostraničnem trikotniku ABC označimo a=AB, b=AC. Naj bo m=xa - 2b in n= a + b. Določi x, da bosta vektorja m in n vzporedna.( zanima me kako rešiti brez podane dolžine)

V tetraedru ABCD z robom, dolgim 4, naj bo a=AB, b=AC, c=AD. Točka M deli rob CD v razmerju CM:MD=2:1. Izračunaj dolžino vektorja MB, rezultat delno koreni.

Dolžine robov kvadra ABCDA'B'C'D' so v razmerju AB:AD:AA'=2:3:4.
a) Kolikšen kot oklepa telesna diagonala AC' z diagonalo AC?
b) Kolikšen kot oklepata diagonali AC in AD'?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 27.1.2014 15:55

1) Pravokotnik imaš! Tako da lahko a in b vzameš za bazna vektorja. Potem DV in DU izraziš z njima in zapišeš zahtevani skalarni produkt. Ta ti bo potem razpadel na člene |a|^2, |b|^2 in a*b=0.

2) Spet: pravilni 6-kotnik ti pove že vse. Izberi dva bazna vektorja, recimo a=AB in b=BC, in vse izrazi s tema dvema. Potem ti razpade končni skalarni produkt na |a|^2, |b|^2 in a*b, ki ga pa poznaš, saj veš, kakšni so koti v 6-kotniku (tokrat ni nič, tako kot pri pravokotniku, ampak je pa znan).

3) Saj vzporednost ni odvisna od tega kako velik je lik. Za vzporednost še enakostraničnost ni bistvena - vsi trikotniki so enaki. Računaj simbolično, in zahtevaj, da sta m in n vzporedna (torej, da je med njima nek skalarni faktor: m=k*n). To se mora ujemat v faktorjih tako pred a kot tudi pred b. To lahko kar prebereš
x=k
-2=k
torej x=-2.
(oziroma še bolj očitno, vzporedna bosta, če bo pred a in pred b isti faktor).

4) To gre spet s skalarnim produktom. Iščeš MB*MB, kar izraziš z a,b,c, in potem vse razpade na skalarne produkte med temi tremi. Te dobiš pa iz geometrije.

5) To je identično kot prva naloga. Samo izraziš AC' in AC z baznimi vektorji vzdolž stranic, pa se ti vse zreducira na skalarne produkte, ki jih poznaš. To, da imaš samo razmerje stranic podano, naj te ne moti, saj se koti z velikostjo ne spreminjajo, in bodo v končnem izrazu nastopala samo razmerja.

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 27.1.2014 17:54

Skalarni produkt mi ni problem izračunat. Kako potem dobim kot?

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 27.1.2014 18:49

Od kod ste vi dobili skalarni produkt pri 2. |a|^2, |b|^2 in a*b ?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 27.1.2014 19:08

Vedno to dobiš, ko do konca razpišeš vse vsote. Nič drugega ne moreš dobit, saj sta samo dva bazna vektorja (v ravnini smo).

Recimo, če res vzameš
a=AB
b=BC
potem vidiš, da je AC=a+b. Iz slike lahko tudi prebereš AD=2b (razreži 6-kotnik na 6 enakostraničnih trikotnikov, pa bo vse jasno). Potem iščeš samo
\(\cos\phi=\frac{AC\cdot AD}{|AC|\,|AD|}\)
Če posamično računaš, pride zgoraj
\(AC\cdot AD=(\vec{a}+\vec{b})\cdot 2\vec{b}=2\vec{a}\cdot \vec{b}+2|b|^2\)
spodaj pa
\(|AD|=2|b|\)
in
\(|AC|=\sqrt{AC\cdot AC}=\sqrt{(\vec a+\vec b)(\vec a+\vec b)}=\sqrt{|a|^2+|b|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}}\)
Kot vidiš, se je vse izrazilo z a-ji in b-ji. Ker je šestkotnik enakostraničen, je |a|=|b|, skalarni produkt ab pa vsebuje kosinus kota 60 stopinj, ki ga oklepata AB in BC.

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 27.1.2014 20:45

Aniviller wrote:Forum mi nikakor ne pusti več priponk dodajat, menda sem jih v 10 letih že preveč... tole je kompromis...
Image
v čem si to risu?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 27.1.2014 20:50

Minimalno kode za maksimalno lep rezultat :)
http://asymptote.sourceforge.net/
Pa poklikaj in prescrollaj tole
http://www.piprime.fr/asymptote/

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 28.1.2014 16:06

Izračunaj kot med vektorjema 3a+b in a-b, če sta vektorja a in b dolga 6, kot med njima pa 60°.(kako naj izračunam dolžino vektorjev 3a+b in a-b?)

Dan je pravilni šestkotni ABCDEF s stranico 10 cm. Točka S je središče šestkotnika, točka R pa leži na dalici DB, tako da je BR:RD=2:3. Z baznima vektorja AB=a in AF=b izračunaj kot ERA.( Prosil bi za pomoč pri izračunu dolžine RE in RA)

V tetraedru ABCD so bazni vektorji AB=a, AC=b, AD=c. Točka T je težišče trikotnika ACD, točka R razpolovišče roba BC, točka pa pa deli BD v razmerju 1:2. Izračunaj kot DRA, če je rob dolg 4.( Prosil bi za pomoč pri izračunu dolžine RD in RA)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 28.1.2014 17:24

1) Skalarni produkt vektorja samega s sabo je kvadrat dolžine (to je v bistvu Pitagorov izrek).
2) Ah, samo R izrazi direktno in potem je RE=E-R in podobno za A. Tukaj je mogoče pametno postavit koordinatni sistem v S. Potem je E=b, B=-b, D=a+b,... in iz tega potem R in vse ostalo.
3) Spet isto. R=(B+C)/2, potem pa RD=D-R. Spet vse izrazi z a,b,c in je rešeno.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 29.1.2014 21:20

Zanima me kako rešiti naslednjo enačbo, kako približno določiti koliko rešitev ima in katere so?

\(e^x -x = 2\)

Hvala.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 29.1.2014 21:38

Rešitev te transcendentne enačbe ni izrazljiva z elementarnimi funkcijami. Rešuješ lahko numerično (recimo z iteracijo, bisekcijo ali čim podobnim). Je pa dovolj znana enačba, da ima rešitev poimenovano kot specialno funkcijo (Lambertova W funkcija). Definirana je kot rešitev enačbe
\(y=xe^x\quad \Rightarrow \quad x=W(y)\)
Najdeš jo v nekaterih matematičnih programskih paketih in knjižnicah, pa tudi tabelirana je, če hočeš na roke.

Tvojo enačbo je treba še malo predelat v to obliko:
\(e^x=x+2\)
\(1=(x+2)e^{-x}=-(-x-2)e^{-x-2}e^2\)
\((-x-2)e^{-x-2}=-e^{-2}\)
\(x=-2-W(-e^{-2})\)

Post Reply