Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 29.1.2014 21:59

Aha, zanimivo. V navodilu naloge je da je potrebno oceniti koliko rešitev ima in katere so približno. Vsaka iterativna metoda konvergira k najbližji ničli. Ne razumem čisto dobro kako bi dobil vse približne rešitve ven. Razen da se omejimo na interval.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 29.1.2014 22:09

No število rešitev hitro vidiš grafično. Očitno sta dve, saj v pozitivnem in v negativnem veš, da je e^x večja od x+2, v x=0 pa je manjša (in ker je vse konveksno, ne more sekat več kot 2krat). Iteracija ti bo konvergirala glede na to, kako iterativni postopek nastaviš. Saj poznaš tisto, da konvergira samo, če je odvod iterativne funkcije <1. Iteracija \(x=\log (x+2)\) ti konvergira k pozitivni rešitvi, \(x=e^x-2\) pa k negativni. Skonvergira v par potezah (6 potez iz začetnega približka x=0 je že čisto zadovoljivo za par decimalk).

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 29.1.2014 22:47

Hmm, grafično tudi jaz vidim da ima 2 rešitvi. Vendar je potrebno oceniti računsko. Zdej jaz imam premalo hevristike za take reči in si ne predstavljam dobro. Kako vem da enkrat v neskončnosti kakšna funkcija ne seka y = 0?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 29.1.2014 23:00

No e^x veš kakšna je... veš, da se na levi približuje 0 (x-2 je tam negativna, tako da je ziher spodaj), v pozitivnem pa narašča hitreje kot vse potence, torej sigurno pride čez linearno. Konveksna (ali konkavna) funkcija tudi ne more imeti več kot 2 ničel (konveksnost lahko med drugim veš tudi iz tega, da je 2. odvod stalno istega predznaka). Veš tudi, da je ena rešitev pozitivna in ena negativna, saj je pri x=0 leva stran manjša. To je potem že tako natančno, da je že za bisekcijo v redu, saj imaš rešitvi izolirani (no ja, na neskončen interval, samo je pa samo ena v vsakem intervalu).

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 30.1.2014 13:07

hvala.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 31.1.2014 21:14

\($\int_{a}^{a+h}f(x) dx \approx \alpha f(a) \beta f(a + h)$\)

Na kakšen način lahko za ta približek določim alfa in beta, da bo natančna za polinom čim višje stopnje?

Sedaj niti ne vem kako bi se lotil tega.

Hvala.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 31.1.2014 21:32

Na desni je najbrž plus vmes.

To je izjemno enostavno, samo razviješ po Taylorju na obeh straneh, ta ti itak da polinom in samo pogledaš, da bo čim več členov se ujemalo. Tako nekako:

\(f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac12 (x-a)^2 f''(a)+\cdots\)
\(\int f(x)\,dx=xf(a)+\frac12(x-a)^2f'(a)+\frac16 (x-a)^6f''(a)+\cdots\)
\(\int_a^{a+h} f(x)\,dx=h f(a)+\frac12 h^2 f'(a)+\frac16 h^3 f''(a)+\cdots\)
Desno:
\(\alpha f(a)+\beta f(a+h)=\alpha f(a)+\beta f(a)+\beta h f'(a)+\beta \frac12 h^2 f''(a)+\cdots\)
Zaradi vodilnega člena mora bit
\(\alpha+\beta=h\)
Zaradi linearnega člena:
\(\beta h = \frac12 h^2\)
To rešiš in najdeš
\(\int_a^{a+h}f(x){\,\rm d}x\approx \frac h2(f(a)+f(a+h))\)
kar seveda ni nič presenetljivega. Našel si trapezno metodo (lahko si razlagaš tudi kot povprečenje).

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 1.2.2014 11:50

Prosil bi če mi lahko prilepite sliko od sledečih nalog, da vidim če sem prav narisal, ker sam ne morem več dodajati priponk(prosil bi če bi slika imela podane znane kote in mere).

1. Mravlja se odpravi na pohod od čokoladne drobtinice do čokoladne drobtinice s prelivom. Najprej gre 12 cm proti severu, nato gre 3 cm proti zahodu. Potem svoje telo obrne za 22°na desno in po 10 cm prispe do čokoladne drobtinice s prelivom. Kolikšno pot bi prehodila mravlja, če bi se odpravila od čokoladne drobtinice naravnost proti čokoladni drobtinici s prelivom? Pod kolikšnim kotom in v kateri smeri bi se tedaj morala obrniti, če je na startu obrnjena proti severu?

2. Zajec je obrnjen proti severu. Obrne se za 10°v desno in preteče 20m, nato se obrne za 20°v desno in preteče 40 m. Nazadnje se obrne za 10°v desno in po 10 m prispe do zelja. Pod kolikšnim kotom, bi se moral obrniti zajec na začetku, da bi tekel naravnost proti zelju? Kolikšno pot bi tedaj pretekel?

skrat
Posts: 381
Joined: 15.11.2011 15:32

Re: Matematika

Post by skrat » 1.2.2014 12:17

urban2012 wrote:Prosil bi če mi lahko prilepite sliko od sledečih nalog, da vidim če sem prav narisal, ker sam ne morem več dodajati priponk(prosil bi če bi slika imela podane znane kote in mere).
Kot vidiš ima ta tema že 118 strani. Vsaka tema ima žal omejeno število priponk. V tej temi smo že dosegli mejo in je zato dodajanje novih priponk onemogočeno.

Predlagam, da odpreš novo temo, v kateri boš lahko dodal priponko.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 1.2.2014 20:57

Še ena naloga, za katero ne vem kako nastavit enačbe. Sklepam da pride sistem enačb, vstaviš xi, in iščeš minimum v 3D prostoru po osi A in B.
Image

Hvala.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 1.2.2014 21:05

No pa saj direktno vstaviš in odvajaš po parametrih, izenačiš oboje z 0 in dobiš sistem enačb za A in B. Lahko bi sicer šel po že znanih rezultatih za linearno fitanje, ampak za 3 točke in 2 parametra je trivialno tudi čisto iz nule.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 1.2.2014 21:52

Oprosti vendar ne vidim.

Če namesto x vstavim tabelo xi-jev vrednost funkcije mora biti yi. Kar pomeni da dobim 3 enačbe. Vendar zaradi lepih xi-jev 90 stopinj in 0 stopinj dobimo že ven da je 1.1 = B, in 0.9 = A.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 1.2.2014 22:06

VSOTA PO TOČKAH! Saj je logično, minimiziraš "standardno deviacijo" podatkov od naše fitane funkcije.

minimiziraš funkcijo
\(F(A,B)=(A\sin 0+B\cos 0-1.1)^2+\)\((A\sin \frac{\pi}{4}+B\cos\frac{\pi}{4}-1.5)^2+(A\sin \frac{\pi}{2}+B\cos\frac{\pi}{2}-0.9)^2\)
Odvajaš po obojem in dobiš dve linearni enačbi.

Druga varianta je, da odvajaš že preden vstaviš:
\(F(A,B)=\sum (A\sin x_i+B\cos x_i-y_i)^2\)
\(\frac{\partial F}{\partial A}=2\sum (A\sin x_i+B\cos x_i-y_i)\sin x_i=0\)
\(\frac{\partial F}{\partial B}=2\sum (A\sin x_i+B\cos x_i-y_i)\cos x_i=0\)
kar lahko razpišeš kot
\(A\sum \sin^2 x_i+B\sum \sin x_i \cos x_i=\sum y_i\sin x_i\)
\(A\sum \sin x_i \cos x_i+B\sum \cos^2 x_i=\sum y_i\cos x_i\)
To ti prihrani veliko računanja v primerjavi s tem, da bi najprej vstavil (x,y) točke in potem odvajal. Zgoraj namreč vidiš, da moraš poračunat le vsoto kvadratov sinusov, vsoto kvadratov kosinusov in vsoto produktov sin*cos po vseh x. Na desni pa dve kombinaciji z y podatki.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 1.2.2014 22:17

aja, zdej razumem. Hvala.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 2.2.2014 20:46

Ko sem že pri linearnem fitanju. Če želim dobit konstantno funkcijo ki najbolje aproksimira točke. Ali potem za y = kx + n izračunam samo n. Ali kako drugače?

Hvala.

Post Reply