Page 119 of 145

Re: Matematika

Posted: 3.2.2014 1:32
by Aniviller
No ja, to je enostavno povprečje točk :)

Re: Matematika

Posted: 3.2.2014 20:25
by martinzjeh
Kako lako rešim ti dve limiti? Primeri so relativno lahki, potem pa tole...

lim(x->inf) x(sqrt[3](x^3-5x)-x)

Zgornja limita, ki gre proti neskončnosti vsebuje tretji koren ( sqrt[3] ) in ima dva člena pod korenom, x je zunaj njega.

lim(x->inf) (arctan(2x)+pi/2) / x^-1

Limita, ki gre proti nskončnosti in ima v števcu arctan(2x)+pi/2 in v imenovalcu x^-1 ... to sicer lahko damo tudi zgoraj kot x... ampak kaj potem? :O

Hvala za kakršnokoli pomoč.

Re: Matematika

Posted: 3.2.2014 20:53
by DirectX11
Povprečje točk, ali je smiselno samo y povprečit, da dobiš konstantno funkcijo. Ker x je vseen koliko je četudi bi bil ogromno število, se konstantna funkcija \(y = n\) ne premakne nikamor.

Re: Matematika

Posted: 3.2.2014 21:41
by Aniviller
DirectX11 wrote:Povprečje točk, ali je smiselno samo y povprečit, da dobiš konstantno funkcijo. Ker x je vseen koliko je četudi bi bil ogromno število, se konstantna funkcija \(y = n\) ne premakne nikamor.
Ja saj to. Saj točno to ven pride. Minimizacija kvadrata odmika je, ko je ta odmik standardni odklon, rezultat pa povprečje. Saj vidiš, da x niti ne nastopa v minimizaciji. Minimiziraš
\(\sum_i (A-y_i)^2\)
in ko to odvajaš:
\(\sum_{i=1}^N 2(A-y_i)(-1)=0\)
\(\sum_{i=1}^N (A-y_i)=0\)
\(A=\frac{\sum y_i}{N}\)
martinzjeh wrote:Kako lako rešim ti dve limiti? Primeri so relativno lahki, potem pa tole...

lim(x->inf) x(sqrt[3](x^3-5x)-x)

Zgornja limita, ki gre proti neskončnosti vsebuje tretji koren ( sqrt[3] ) in ima dva člena pod korenom, x je zunaj njega.

lim(x->inf) (arctan(2x)+pi/2) / x^-1

Limita, ki gre proti nskončnosti in ima v števcu arctan(2x)+pi/2 in v imenovalcu x^-1 ... to sicer lahko damo tudi zgoraj kot x... ampak kaj potem? :O

Hvala za kakršnokoli pomoč.
Spet standard, izpostavljanje, razvoj po Taylorju, ali pa racionalizacija. Recimo
\(\lim_{x\to \infty}x(\sqrt[3]{x^3-5x}-x)=\)
\(=\lim_{x\to \infty}x(x\sqrt[3]{1-5/x^2}-x)=\)
\(=\lim_{x\to \infty}x(x(1-\frac13\frac{5}{x^2}+\cdots)-x)=-\frac{5}{3}\)
Ali pa
\(\lim_{x\to \infty}x(\sqrt[3]{x^3-5x}-x)=\)
\(\lim_{x\to \infty}x\frac{(\sqrt[3]{x^3-5x}-x)((\sqrt[3]{x^3-5x})^2+x\sqrt[3]{x^3-5x}+x^2)}{((\sqrt[3]{x^3-5x})^2+x\sqrt[3]{x^3-5x}+x^2)}=\)
\(\lim_{x\to \infty}x\frac{x^3-5x-x^3}{((\sqrt[3]{x^3-5x})^2+x\sqrt[3]{x^3-5x}+x^2)}=\)
\(\lim_{x\to \infty}\frac{-5}{((\sqrt[3]{x^3-5x})^2/x^2+\sqrt[3]{x^3-5x}/x+1)}=-\frac{5}{3}\)

Pri drugi moraš pa vedet kakšno je obnašanje teh funkcij v neskončnosti... v plus neskončnosti po standardni definiciji arkus tangensa itak ne bo nič pametnega, saj ni niti nedoločenega izraza. arctan(x) gre namreč proti +pi/2, tako da imaš pi*x. V minus neskončnosti bi pa šlo (l'Hospital recimo takoj odpravi arkus in imaš racionalno funkcijo). Ali pa z razvojem okrog neskončnosti - arkus tangens se bo obnašal podobno kot 1/x+premik.

Re: Matematika

Posted: 4.2.2014 20:14
by DirectX11
Kako se pa pri numerični matematiki določa natančnost? Recimo če nekdo želi rezultat na 5 decimalnih mest natančno. Jaz bi toliko časa vstavljal člene v iterativno metodo dokler se bi spreminjalo prvih 5 decimalnih mest. Ko se enkrat ustali je to rezultat. Vendar je to kmečka logika. Zagotovo obstaja kaj bolj znanstvenega.

Re: Matematika

Posted: 4.2.2014 20:46
by Aniviller
Bolj formalno se da zapisat, je pa ista ideja. In nikakor ni enostavno, ga lahko kaj hudo polomiš.

Pri potenčnih vrstah imaš načine zapisa ostanka, s katerim lahko oceniš napako (ponavadi je velikostnega reda naslednjega člena). Podobno lahko ponavadi pogledaš asimptotično obnašanje iteracije ali vrste in ekstrapoliraš. To je cela stvar v zvezi z redom konvergence. Recimo imaš metode, ki podvajajo število dobrih decimalk z vsako iteracijo (kvadratna konvergenca, ta je recimo tipična pri Newtonovi metodi za iskanje ničel, pa tole http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic ... etric_mean in podobno), potem imaš linearno konvergenco (približno konstantno število decimalk na iteracijo - bisekcija, geometrijske vrste,...), in seveda blazno počasne potenčne konvergence (recimo vsote tipa 1/n^2), do popolnoma neuporabne logaritemske konvergence (1-1/2+1/3-1/4...), ki je povrhu vsega le pogojno konvergentna vrsta. Če imaš opravka s pogojno konvergentnimi ali celo asimptotičnimi vrstami, moraš sploh pazit. Marsikdaj res ni druge kot da spremljaš potek in gledaš koliko se spreminja.

Pri diskretizacijskih metodah imaš druge vrste konvergenco - odvisnost natančnosti od velikosti koraka. Recimo integracije diferencialnih enačb (in direktne integracijske formule za funkcije),... to se vse oceni s potenco velikosti koraka. Pazit moraš seveda tudi na stabilnost in vse podobne zadeve.

Če hočeš bit glede tega natančen, moraš res podrobno poznat lastnosti funkcije, ki jo računaš, in lastnosti metode, ki jo uporabljaš. Ampak "na oko" pa človek zna zelo hitro presodit hitrost konvergence in vidi, ali izgleda, da stvar konvergira bolje ali slabše. Potem pa z znanjem ščasoma to "kmečko pamet" razumeš tudi z druge strani in jo znaš kvantitativno opisat.

Re: Matematika

Posted: 8.2.2014 17:26
by Slončica
Kako naj rešim: 2z+i^139=3iz-18

Re: Matematika

Posted: 8.2.2014 17:46
by Aniviller
Samo izpostavi in izrazi.
z(2+3i)=-18+i^139
z=(-18+i^139)/(2+3i)
Tisto vulgarno potenco i-ja pa znaš reducirat, racionaliziraš pa tudi lahko, če želiš.

Re: Matematika

Posted: 13.2.2014 14:25
by katarina123
Živjo!
Na prejšnjem izpitu iz matematike je bla ena izmed nalog določiti limito zaporedju 2^n/n! pa je nisem znala. Pri predavanjih in vajah nismo delali nalog s fakulteto, v skripti pa je tudi nisem našla. Mi lahko kdo razloži kako se obnaša člen s fakulteto v zaporedju? Hvala!

Re: Matematika

Posted: 13.2.2014 14:37
by Aniviller
Stirlingovo formulo lahko uporabiš, če jo veš:
\(n!\sim \sqrt{2\pi n}n^n e^{-n}\)
za velike n.
No, saj predfaktorji niti niso važni, glavno je, da veš, da narašča hitreje od vseh eksponentnih funkcij (dominantni člen je n^n). Tako, da je limita enaka 0.

Ni pa nujno it tako, lahko tudi samo razpišeš oboje:
\(\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{5}\cdots\)
To gre očitno proti 0, saj od 3. člena naprej množiš s števili, manjšimi od 1, ki postajajo vedno manjša. Zato tudi pada precej hitreje kot geometrijsko zaporedje, ki množi vedno z isto številko, manjšo od 1.

In še tretji način: 2^n/n! lahko smatraš kot člen v razvoju e^x v potenčno vrsto z vstavljenim x=2. Vrsta za eksponentno funkcijo konvergira za VSE x (neskončen konvergenčni radij). Če VSOTA ZAPOREDJA konvergira, potem gre zaporedje sigurno proti nič.

Re: Matematika

Posted: 15.2.2014 15:09
by brglez
napiše postopek kako se reši ta enačba?

\(\sqrt{2x}-\sqrt{x-4}=2\)

Re: Matematika

Posted: 15.2.2014 15:51
by Aniviller
Prvo kvadriranje spravi število korenov na 1, potem preurediš in kvadriraš še enkrat.
\(2x+(x-4)-2\sqrt{2x(x-4)}=4\)
\(-2\sqrt{2x(x-4)}=8-3x\)
\(8x(x-4)=(8-3x)^2\)
\(x=8\)

Re: Matematika

Posted: 15.2.2014 16:25
by brglez
hvala za pomoč :D

Re: Matematika

Posted: 16.2.2014 15:06
by brglez
muči me enačba:

\(\frac{\sin^2 x-cos^2x}{sinx+cosx}\)

Re: Matematika

Posted: 16.2.2014 17:10
by Aniviller
Razlika kvadratov v števcu in pokrajšaš.