Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 17.2.2014 18:33

Zanima me, kako naj s pomočjo uporabe diferencialamizračunam tan44 stopinj. Poskusila sem, da je f(x)=tanx, xo:45 stopinj, dx: -1stopinja, a končni rezultat ni pravilen

Težave imam z računanjem ekstremaknoh problemov: določi enacbo premice skozi točko T(2,3), ki s koordinatnima osema omejuje trikotnik z najmanjšo plošcino.

Hvala.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 17.2.2014 19:35

Saj gre:
\(\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\approx \tan \frac{\pi}{4}+\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4}}x=1+2x\)
in potem za \(x=-1^\circ=-\frac{\pi}{180}\):
\(\tan{44^\circ}\approx 1-\frac{2\pi}{\cdot 180}=0.965\)

Ekstremalni problem:

Samo parameter si moraš izmislit in potem z njim izrazit. Recimo v tem primeru imaš točko dano, neznan imaš pa naklon. Lahko naklon vzameš za svojo neznanko in zapišeš premico v eni izmed oblik... v tem primeru je najlažje začet kar s premico v "premaknjeni" obliki
\(\frac{y-3}{x-2}=k\)
za ploščino je pa najbolj pametno predelat v segmentno obliko, ker pravokotni trikotnik s segmentoma a in b je kar a*b/2 po ploščini:
\(y-3=kx-2k\)
\(y-kx=3-2k\)
\(\frac{1}{3-2k}-\frac{k}{3-2k}x=1\)
Če si narišeš, vidiš, da mora biti k<0, če hočeš odrezat trikotnik v prvem kvadrantu. Če gledaš pa poljubne kvadrante, se pa to lahko zgodi tudi v 2. ali 4. in gledaš vse to - splošna rešitev ti bo našla vse lokalne ekstreme. No v glavnem, ploščina bi potem prišla:
\(S=\frac{1}{2}\frac{-k}{(3-2k)^2}\)
zdaj to odvajaš in poiščeš ničle...

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 20.2.2014 16:19

Ekstremalnih problem še kar ne razumem :(
Poskušala sem z nalogo: kos žice dolžine k razdeli,ovna dva dela tako, da iz enega oblikujemo kvadrat, iz drugega pa enakostranični trikotnik. Določi dolžini stranic tako nastalih likov, da bo vsota ploščin najmanjša.

Napisala sem, da je S=Sk+St in da mora biti S'=0, nato sem vstavila formuli za ploščini likov in ju odvajala, a ne dobim pravega rezultata.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 20.2.2014 17:16

Vezan ekstrem iščeš. Fiksno dolžino imaš, torej obsegK+obsegT=konstanta. To lahko upoštevaš bodisi tako, da izraziš eno stranico z drugo (in dobiš 1 enačbo 1 neznanko), ali greš pa prek Lagrengeovega multiplikatorja. Tukaj to ni treba, je prvi način enostavnejši.

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 20.2.2014 20:19

Kdaj vem, da moram uporabiti konstantno in kaj je to?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 21.2.2014 0:35

Ja prebereš kaj naloga hoče. Žica je pač neke dolžine, ne glede na to kako jo prepogibaš, je dolga kakor je dolga. Tako da to je znan podatek, ki mu mora bit zadoščeno.

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 22.2.2014 21:00

Potem moram k enačiti s formulami ploščin?

Mi lahko prosim pomagate še s tole nalogo iz ekstremalnih problemov: lonec v obliki valja drži 5l, kolikšna naj bosta premer osnovne ploskve in višina, da bomo porabili najmanj materiala

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 22.2.2014 21:40

k je dolžina žice in torej obseg.

Stranica trikotnika a, stranica kvadrata b.
Obseg:
k=3a+4b
Ploščina:
S=a^2*sqrt(3)/4+b^2

Zdaj lahko recimo a=(k-4b)/3, in potem
S=(k-4b)^2*sqrt(3)/36+b^2
Odvod
dS/db=-2(k-4b)*sqrt(3)/9+2b=0
b(2+8*sqrt(3)/9)=2*k*sqrt(3)/9
\(b=k\frac{\sqrt3}{9+4\sqrt3}\)
in tako naprej...


Druga: spet imaš eno vez. Vez je
\(V=\pi r^2 h\)
minimiziraš pa
\(S=\pi r^2+2\pi r h=\pi r^2+2 V/r\)
kjer sem se odločil izrazit h z r, ker obraten primer bi uvedel korene. Zdaj lepo nadaljuješ...

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 24.2.2014 21:52

Hvala.

Kako pa naj odvajam: S=(absiny)/2

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 24.2.2014 23:37

Hm... po čem? In kaj je to? absolutna vrednost česa? Sicer absolutna vrednost nima odvoda v ničli, drugje pa imaš isto kot linearna funkcija enega ali drugega predznaka. V stilu
\(|\abs x |'={\rm sign\,} x=\frac{x}{|x|}\)

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 25.2.2014 8:56

S naj bi bila plošcina trikotnika z dvema stranicama in vmesnim kotom, ki jo moram odvajati, zato oklepaj.

Prosil bi vas, ce mi lahko pomagate izracunati vrednost izraza 3.02^-1 in funkcije f(x)=2ln(e^x+1/e^x)-x+2, če se vrednost f. zmanjša z 0 na 0.03 z odvodom

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 25.2.2014 9:14

Ojoj groza :) Daj drugič kakšen presledek, oklepaje ali znak za množenje noter :)
Še vedno ne vem po čem odvajaš. Izraz je odvisen od 3 količin (2 stranici in kot), ki so brez dodatnih informacij neodvisne.

Naprej:
3.02^-1=(3+0.02)^-1=1/3(1+0.02/3)^-1
to je zdaj v obliki (1+x)^-1 kar lahko razviješ (z lahkoto, saj gre za geometrijsko vrsto 1-x+x^2-x^3...

Druga: čakaj, iščemo f(0.03)? No odvajat bo treba, hočeš najbrž f(h)=f(0)+f'(0)h+...

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 25.2.2014 11:28

http://shrani.si/f/2y/W4/28usp2vl/image.jpg

Pri tej nalogi sem želela odvajati S

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 25.2.2014 11:32


User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 25.2.2014 11:33

Ja kot je itak konstanta, stranici sta pa sklopljeni in ju itak ne moreš neodvisno spreminjat, tako da moraš se odločit za eno in jo razglasiš za parameter (in drugo izraziš s prvo). S tem šele dobiš izraženo z enim parametrom, in potem odvajaš po tem parametru in poiščeš ničlo.

Druga: ja saj to me moti... kako se lahko ZMANJŠA iz 0 na 0.03. Kvečjemu zmanjša ZA 0.03 in postane -0.03 :)

Sicer pa ja... f(0)-0.03*f'(0) moraš izračunat.

Post Reply