Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
Matematika8
Prispevkov: 3
Pridružen: 10.3.2014 18:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Matematika8 »

Pozdravljeni,

prosil bi, če bi mi lahko kdo vsaj malo nakazal kako bi se lotil reševanja naslednje naloge:

naj bosta X, Y standardno normalno porazdeljeni neodvisni slučajni spremenljivki. Polarne koordinate točke (X, Y) so določene polarno: X = r*cos(fi) in Y = r*sin(fi)
R >=0, -pi <= fi <= pi
S tem sta postali tudi R in fi slučajni spremenljivki. Določi njuni porazdelitvi

urban2012
Prispevkov: 305
Pridružen: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a urban2012 »

Ampak rezultati, ki jih dobim po vaših izračinih niso pravilni.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No očitno nekaj delaš narobe, ali pa verjameš v napačne rešitve. Izraz za f v temenu po poenostavitvi pride
\(f(x_T)=\frac{-29m^2+28m-8}{4(m-1)}\)
Najmanjša vrednost = -17:
\(-17=\frac{-29m^2+28m-8}{4(m-1)}\)
\(-68m+68=-29m^2+28m-8\)
\(29m^2-96m+76=0\)
rešitvi sta \(m=2\) in \(m=\frac{38}{29}\). Oboje je rešitev (v obeh primerih je m>1 in je torej ok). Lahko tudi preveriš - nariši si funkcijo. Vsaj, če si ti prav prepisal družino funkcij.

Največja vrednost = 2:
\(2=\frac{-29m^2+28m-8}{4(m-1)}\)
\(8m-8=-29m^2+28m-8\)
\(29m^2-20m=0\)
Rešitvi sta \(m=0\) in \(m=\frac{20}{29}\). Spet sta obe ok.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Matematika8 napisal/-a:Pozdravljeni,

prosil bi, če bi mi lahko kdo vsaj malo nakazal kako bi se lotil reševanja naslednje naloge:

naj bosta X, Y standardno normalno porazdeljeni neodvisni slučajni spremenljivki. Polarne koordinate točke (X, Y) so določene polarno: X = r*cos(fi) in Y = r*sin(fi)
R >=0, -pi <= fi <= pi
S tem sta postali tudi R in fi slučajni spremenljivki. Določi njuni porazdelitvi
No za fi res ni problem ;)

Določanje porazdelitve je enako menjavi spremenljivk v integralu:
\(\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2} {\,\rm d}x{\,\rm d}y\)
\(=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-r^2/2} {\,\rm d}x{\,\rm d}y\)
zdaj sem že pisal r^2=x^2+y^2 ampak manjka pa še transformacija spremenljivk (Jakobijan = r):
\(=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\int_{0}^\infty r e^{-r^2/2} {\,\rm d}r{\,\rm d}\phi\)
Integrand je separabilen na funkcijo r in funkcijo fi (=konstanta), torej sta spremenljivki neodvisni. Enostavno prebereš
\(\rho(r)=re^{-r^2/2}\)
in
\(\rho(\phi)=\frac{1}{2\pi}\)
pri čemer ti meje integracije povedo definicijsko območje spremenljivk.

Tole v obratno smer je znana Box-Mullerjeva metoda generiranja Gaussovskih števil (namesto inverza erf(x) rabiš enostavne logaritemčke).

Matematika8
Prispevkov: 3
Pridružen: 10.3.2014 18:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Matematika8 »

Najlepša hvala!

urban2012
Prispevkov: 305
Pridružen: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a urban2012 »

Prosil bi za pomoč:
Zapiši v ves treh oblikah enačbo parabole, ki poteka skozi točko B(-1,3), če je premica y= -1 njena tangenta, premica x=3 pa njena simetrijska os. (Kaj
to pomen i simetrijska os? Ali je to tako, da ti dve premici tvorita teme T(-1,3) ? )

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Simetrijska os je najbolj očitno kaj je. To je pač premica čez katero je parabola simetrična in to je seveda skozi teme. Tangenta je pa vodoravna tudi v samo temenu (ekstrem!), tako da to ti takoj pove že, da je B teme parabole.

urban2012
Prispevkov: 305
Pridružen: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a urban2012 »

Kako pa lahko kaj izračunam, če imam podano samo teme?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Dve točki imaš. Zavedel si me malo. Vrstni red komponent imaš narobe: B(-1,3) ni teme. Teme je T(3,-1), saj je y=-1. S temenom in dodatno točko se pa da. Zapišeš v temenski obliki kot \(y=a(x-x_T)^2+y_T\) kjer sem samo vzel centrirano parabolo ax^2 z neznanim koeficientom a, ter jo premaknil za xT v desno in yT navzgor (koordinatno izhodišče sem nesel v teme). Zdaj samo z B-jem določiš še neznani a.

urban2012
Prispevkov: 305
Pridružen: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a urban2012 »

Katera točka na premici y=x+2 je najbližja koordinatnemu izhodišču? (kako naj se sploh lotim naloge)
Na abcisni osidoloči točko, da bo vsota kvadratov razdalj od točke T do točk A(4,5) in B(0,3) najmanjša. (Zanima me ali je rešitev: T(2,0). Če ni bi prosil da napišete postopek s številkami, da ugotovim, kje sem se zmotil.)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

1) Načinov je več. Eden je čisto geometrijski - ker gre za premico, greš lahko kar z načrtovanjem, koti in trikotniki. Ali pa s tem, da poznaš pravokotnico na to premico skozi izhodišče (njen smerni koeficient je -1/k če je k smerni koeficient originalne premice, gre pa itak skozi izhodišče), in potem poiščeš presečišče teh dveh. Še en način je, da minimiziraš x^2+y^2 pod pogojem y=x+2.

2) T(x,0), minimiziraš (x-4)^2+5^2+(x-0)^2+3^2, kar je parabola 2x^2+8x+"nivažno", ekstrem je v temenu parabole, torej pri x=8/(2*2)=2. Oziroma ker seštevaš kvadrate, se y in x komponente razklopijo in dobiš zgolj povprečje x koordinat obeh točk.

Matematika8
Prispevkov: 3
Pridružen: 10.3.2014 18:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Matematika8 »

Aniviller napisal/-a:
Matematika8 napisal/-a:Pozdravljeni,

prosil bi, če bi mi lahko kdo vsaj malo nakazal kako bi se lotil reševanja naslednje naloge:

naj bosta X, Y standardno normalno porazdeljeni neodvisni slučajni spremenljivki. Polarne koordinate točke (X, Y) so določene polarno: X = r*cos(fi) in Y = r*sin(fi)
R >=0, -pi <= fi <= pi
S tem sta postali tudi R in fi slučajni spremenljivki. Določi njuni porazdelitvi
No za fi res ni problem ;)

Določanje porazdelitve je enako menjavi spremenljivk v integralu:
\(\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2} {\,\rm d}x{\,\rm d}y\)
\(=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-r^2/2} {\,\rm d}x{\,\rm d}y\)
zdaj sem že pisal r^2=x^2+y^2 ampak manjka pa še transformacija spremenljivk (Jakobijan = r):
\(=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\int_{0}^\infty r e^{-r^2/2} {\,\rm d}r{\,\rm d}\phi\)
Integrand je separabilen na funkcijo r in funkcijo fi (=konstanta), torej sta spremenljivki neodvisni. Enostavno prebereš
\(\rho(r)=re^{-r^2/2}\)
in
\(\rho(\phi)=\frac{1}{2\pi}\)
pri čemer ti meje integracije povedo definicijsko območje spremenljivk.

Tole v obratno smer je znana Box-Mullerjeva metoda generiranja Gaussovskih števil (namesto inverza erf(x) rabiš enostavne logaritemčke).
Zanima me samo še nekaj: fi je potem porazdeljen enakomerno zvezno? Kako pa r?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Pa saj sva direktno prebrala gostoti porazdelitve. Porazdelitev po fiju je seveda konstantna: \(\rho(\phi)=\frac{1}{2\pi}\), porazdelitev po radiju je pa tisti Gauss*konstanta (oziroma če daš u=r^2, vidiš, da je eksponentno po kvadratu radija).

Slončica
Prispevkov: 112
Pridružen: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Slončica »

http://shrani.najdi.si/?2Q/eP/4faP6mPu/image.jpg

Rešujem integral rac. funkcije, a rezultat, ki ga dobim s svojim načinom reševanja, ni pravilen

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No prvi korak (da daš dvojko spredaj) je ok. Potem pa narediš neumno menjavo spremenljivke, ki naredi več škode kot koristi, saj bi bilo tisti preostali x v imenovalcu pri dx treba izrazit s t-jem in to je res grdo. Zakaj ne zapišeš kot \(\frac{-3}{(x-1)^2}\) in integriraš kot potenčno funkcijo?

Odgovori