Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Zajc
Posts: 1099
Joined: 26.6.2008 19:15

Re: Matematika

Post by Zajc » 19.5.2014 18:33

urban2012 wrote:Naj bo (z)=3. Izračunaj (3-z)^2+(3+z)^2.
Oklepaji pomenijo absolutno, prosil bi za postopek, ker mi ni povsem jasno kaj naloga zahteva od mene.
Upoštevaj \(|z|^2=z\overline{z}\):
\(|3-z|^2+|3+z|^2=(3-z)(3-\overline{z})+(3+z)(3+\overline{z})=9+2|z|^2=27.\)

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 19.5.2014 18:41

Zajc a mogoče veš kako rešiti prvo?

Zajc
Posts: 1099
Joined: 26.6.2008 19:15

Re: Matematika

Post by Zajc » 19.5.2014 18:45

urban2012 wrote:Določi a, da bo vrednost izraza enaka -4.
a^3-a^2+a-1
Rešujem enačbo \(a^3-a^2+a+3=0\). Uganem ničlo \(a=-1\) in delim s polinomom \(a+1\). Naprej pa upam, da bo šlo ...

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 19.5.2014 19:04

Polinomov še nismo jemali tako, da ne morem na tak način rešiti enačbe.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 20.5.2014 8:30

No saj ta uganjena ničla je itak že rešitev!

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 1.6.2014 12:32

Izračunajte koordinate točke T na simetrali lihih kvadrantov, ki je najbližje točki A(-2,4)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 1.6.2014 15:00

Prvi način:
\(T=(x,x)\)
minimiziraš
\(|T-A|=\sqrt{(x+2)^2+(x-4)^2}\)
minimiziraš s tem, da odvod po x izenačiš z 0. Koren kar odstrani, saj samo zakomplicira odvajanje:
\(\frac{\partial |T-A|^2}{\partial x}=2(x+2)+2(x-4)=0\)
\(4x=4\)
\(x=1\)
točka T(1,1).

Drugi način:
simetrala lihih kvadrantov je premica s smernim vektorjem \(\vec{s}=(1,1)/\sqrt2\). Točka na premici, ki je neki drugi točki najbližja, je kar pravokotna projekcija te točke na premico. Ker gre premica skozi izhodišče, niti ni treba premikat in samo zapišeš \(T=(A\cdot\vec{s})\vec{s}=\sqrt2(1,1)/\sqrt{2}=(1,1)\).

Tretji način:
Podobno kot drugi način, samo z druge strani (in hitro bo jasno, da je tudi ekvivalenten prvemu načinu). Točka X=(x,x) na premici mora bit taka, da je OX pravokoten na XA. O je tukaj koordinatno izhodišče. Pravokotnost zapišeš s skalarnim produktom:
\(X\cdot(A-X)=0\)
\((x,x)\cdot(-2-x,4-x)=0\)
\(-2x-x^2+4x-x^2=0\)
\(2x^2=2x\)
\(x=1\) (rešitev x=0 ni prava).

Slončica
Posts: 112
Joined: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Post by Slončica » 1.6.2014 17:02

Hvala.

Mi lahko pomagate s tole verjetnostjo:
Kupili smo 6 na videz enakih sadik vodenk, vemo, da bo vsaka cvetela v drugačni barvi, med njimi bo ena rdeče in ena vijolično, sadike posadimo v dva zabojčka, v vsakega po tri, kolikšna je verjetnost, da bosta rdeča in vijolična v istem zabojčku?

Št. ugodnih možnosti je 8, a ne vem, kako priti do tega rezultata?

anavotm
Posts: 89
Joined: 12.1.2012 12:01

Re: Matematika

Post by anavotm » 3.6.2014 16:05

Pozdravljeni, zanima me kako se izračuna naslednja limita
\(\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{n}{3n^2+1^2}+\dfrac{n}{3n^2+2^2}+ \cdots + \dfrac{n}{3n^2+n^2} \right)\). Preoblikoval sem do
\(\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{n^2+(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}+\dfrac{1}{n^2+(\frac{2}{\sqrt{3}})^2}+ \cdots + \dfrac{1}{n^2+(\frac{n}{\sqrt{3}})^2} \right) \right)\)
Stvari v notranjem oklepaju me spominjajo na arctg če integriramo vendar vseeno ne znam reševati teh limit, kjer moreš prepoznat neko zaporedje Riemannovih vsot.
Lp

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Post by Aniviller » 3.6.2014 17:13

Kadar število členov narašča linearno z n, ki gre v neskončnost, in izgleda stvar kot da se interval zgoščuje, sugerira na riemannovo vsoto ki jo zapišeš kot integral, ampak kot prvo moraš zapisat v obliki, ki bo imela fiksne meje in kjer bo jasno, kaj postane v limit dx. Izpostavi 1/n (bodoči dx), zapiši notranjost kot vsoto po nečem (v tvojem primeru k=1 do n, ki ga vpelješ v drugi člen imenovalca), uvedi x=k/n in si že skoraj tam. Meje potem postanejo po x od 0 do 1, in če ni več odvečnih n-jev, je to to.

anavotm
Posts: 89
Joined: 12.1.2012 12:01

Re: Matematika

Post by anavotm » 4.6.2014 0:32

Aniviller wrote:Kadar število členov narašča linearno z n, ki gre v neskončnost, in izgleda stvar kot da se interval zgoščuje, sugerira na riemannovo vsoto ki jo zapišeš kot integral, ampak kot prvo moraš zapisat v obliki, ki bo imela fiksne meje in kjer bo jasno, kaj postane v limit dx. Izpostavi 1/n (bodoči dx), zapiši notranjost kot vsoto po nečem (v tvojem primeru k=1 do n, ki ga vpelješ v drugi člen imenovalca), uvedi x=k/n in si že skoraj tam. Meje potem postanejo po x od 0 do 1, in če ni več odvečnih n-jev, je to to.
Hvala. Torej potem dobim \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{n}{3n+(\frac{k}{n})^2 \cdot n} = \int_0^1 \frac{dx}{x^2+(\sqrt{3})^2}= \frac{\pi \sqrt{3}}{18}\)?
Imam pa še eno vprašanje:
Dana je vrsta \(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\cos(nx)}{(x+1)^n}\).
a) Ugotovi za katere x>-1 vrsta konvergira
b) Za katere \(a \in \mathbb{R}\) vrsta enkomerno konvergira na \([a,\infty)?\)
Pri a) delu sem prišel samo do ocene \(\left|\dfrac{\cos(nx)}{(x+1)^n} \right| \le \left|\dfrac{1}{(x+1)^n} \right| \le \left|\dfrac{1}{x^n} \right|\), vendar sploh ne vem če je to prava pot za ugotavljanje konvergence. Ne znam pa izračunat konvergenčnega radija(z wolfram alpha dobim neko neenačbo z absolutnimi vrednostmi \(\frac{1}{|x+1|}>1,\) do katere ne vem kako se pride.
Pri b) delu pa nimam ideje, zdi se mi samo da je tista ocena pri a delu bolj uprabna tu. A tu morem pol zračunat limitno funkcijo in potem gledat če gre razlika med vsako funkcijo v zaporedju in limitno funkcijo neodvisno od x proti 0?

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 4.6.2014 15:59

Poenostavi:

(a^(1/2)-a^(-1/2) ) x (1+a^(-1/2) )^-1

Kaj naj naredim potem, ko pomnožim vsak člen z vsakim?

User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Matematika

Post by shrink » 4.6.2014 16:35

urban2012 wrote:Poenostavi:

(a^(1/2)-a^(-1/2) ) x (1+a^(-1/2) )^-1

Kaj naj naredim potem, ko pomnožim vsak člen z vsakim?
Saj ne moreš množiti, ker imaš desni faktor (oklepaj) potenciran.

Drugače bi sam izraz takoj zapisal v obliki ulomka (levi oklepaj je števec, desni je imenovalec) in nato postopal dalje: recimo z racionalizacijo imenovalca.

EDIT: Sem slabo videl: potenca je čez cel izraz; vseeno velja takoj zapisati v obliki ulomka, množiti člena in nato morda racionalizirati imenovalec.

urban2012
Posts: 305
Joined: 2.12.2012 9:44

Re: Matematika

Post by urban2012 » 4.6.2014 18:58

Samo drugi člen je na -1, ampak pri racionalizaciji dobim v imenovalcu 1-a^-1. Ali sem morda naredil kaj narobe?

User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Matematika

Post by shrink » 4.6.2014 19:35

urban2012 wrote:Samo drugi člen je na -1,
Aha, potem sem videl prvič prav. 8)
ampak pri racionalizaciji dobim v imenovalcu 1-a^-1. Ali sem morda naredil kaj narobe?
Verjetno ne (nisem šel preverjat), saj je cilj racionalizacije ravno to, da se znebiš korenov.

Post Reply