Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
DirectX11
Prispevkov: 413
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a DirectX11 »

hvala, za pomoč.

Če je kdo še tukaj inženir in pozna sisteme mi lahko pomaga pri slednji nalogi:

Slika


Pri sledeči nalogi me zanima, ali vstavim u(t) = 1, in rešim za y(t)? Ali moram še kaj upoštevati?

maxwell
Prispevkov: 100
Pridružen: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a maxwell »

26 nalogo: Lahhko tako rešiš. Vzeti moraš še limito funkcije ko gre t->neskončno, da dobiš ustaljeno stanje. Če se ne motim je ustaljeno stanje 1.

27. pol je pri -2, matrika prehajanja stanj pride nekaj takega: \(\phi=e^{-2t}\), odziv na začetno stanje je \(x_z=e^{-2t} x[0]\), ker t proti neskončno za ustaljeno stanje, torej eksponentna funkcija se bliža 0 in vpliv začetnega stanja izzveni-ne vpliva na ustaljeno stanje.

DirectX11
Prispevkov: 413
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a DirectX11 »

Za prvo nalogo dobim tako:

\(y(t) = \lim_{t \to \infty} 2y(t) - 1/4y^2\)

Vendar kako potem vstavim t za neskončnost če je to argument y funkcije.

Hvala za odgovor.

maxwell
Prispevkov: 100
Pridružen: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a maxwell »

Ammmm to je narobe, kako si sploh prišel do tega izraza? Rešiti moraš diferencialno enačbo (to bi verjetno moral znati), ki jo imaš podano.

en način reševanja:
Ti imaš DE (diferencialno enačbo): \(y'(t)+2y(t)=2u(t)\), kjer sem samo mnnozil z 2, da se znebis koeficienta pri y'(t). Vanjo vstaviš u(t)=1 in dobis: \(y'(t)+2y(t)=2*1\). Sedaj moraš pa rešiti to diferencialno enačbo. Ker je linearna bom uporabil Laplaceovo transformacijo (ni nujno da delaš enako, pač izberi eno metodo, da dobiš rešitev DE)in dobim: \(Y(s)=2/(s+2)\). Sedaj pa to transformiraj nazaj v časovni prostor (inverzna Lapalce-ova transformacija). Sedaj dobiš \(y(t)=C*e^{-2t}+1\), koliko je C pa ne veš, ker nimaš začetnih pogojev. Ampak niti ni važno v tem primeru. Na tej funkciji uporabiš limito \(y_s(t=\infty)=\lim_{t \to \infty} C*e^{-2t}+1\), sedaj vidiš zakaj ne rabiš določit C. In dobiš \(y_s(t=\infty)=1\).

Da ne rabiš transformirati nazaj v časovni prostor (inverz zna biti včasih kar zahteven) lahko uporabiš teorem končne vrednosti \(\lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{s \to 0} s*Y(s)\), Y(s) pa ze imaš.

Drugi način (v bistvu je zelo podoben gornjemu):
To DE \(y'(t)+2y(t)=2u(t)\) pretvoriš z Laplaceovo transforamcijo, dobiš: \(sY(s)+2Y(s)=2U(s)\), izraziš \(Y(s)=2/(s+1) * 2U(s)\). U(s)=1/s, to je pač transformacija stopnice (imaš v tabeli, zapomniti si pa tudi ni težko, sploh ker je stopnica pomembna v sistemih). Tudi sedaj vzameš zgornjo limito za Y(s), vstaviš U(s) in voila dobiš 1.

DirectX11
Prispevkov: 413
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a DirectX11 »

Hmm dozdeva se mi da sem narobe rešil zaradi tega, ker ne vem ali je separabilna diferencialna enačba. Torej kako ugotoviti ali je separabilna? Ker verjetno ta ni.

maxwell
Prispevkov: 100
Pridružen: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a maxwell »

Je separabilna. \(\frac{dy}{dt}+2y=2u(t)\), malo obrneš \(\frac{dy}{dt}=-2y+2u(t)\), vstavis u(t)=1 in izpostavis 2, \(\frac{dy}{dt}=2(-y+1)\). y daš na levo \(\frac{dy}{-y+1}=2dt\), to integriraš in dobiš \(y(t)=1+C*e^{-2t}\).


Popravek, v prejšnjem postu sem pri prvem načinu reševanja narobe napisal Y(s), pravilno je \(Y(s)=2/(s+2)*1/s\), člen 1/s pride zaradi transformacije u(t).

DirectX11
Prispevkov: 413
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a DirectX11 »

Ok, hvala maxwell.

Za drugo ne vem, kaj je to matrika prehajanja stanj.

maxwell
Prispevkov: 100
Pridružen: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a maxwell »

Ne vem koliko poznaš analizo sistemov..
Odziv sistema izračunamo iz odziva na začetno stanje in odziva na vzbujanje: \(y(t)=y(t)_{stanja}+y(t)_{vzbujanje}\Rightarrow\)\(y(t)=e^{At}x(0)+\int\limits_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau\). Matrika prehajanja stanj je \(\phi=e^{At}\) (pred x(0)). Ta matrika pove, kako se vpliv stanj sistema odraža na odzivu sistema. V tvoji nalogi v bistvu to ni matrika ampak skalar, ker imaš samo eno DE prvega reda. In ker je ta skalar negativen se eksponentna funkcija manjša in začetno stanje vedno manj vpliva na stacionarno stanje.

Ali pa če pogledaš tvojo rešitev DE, ki si jo dobil \(y(t)=Ce^{-2t}+1\) vidiš, da če bi upošteval začetna stanja bi ta vplivala samo na konstanto C. Ta pa ima vedno manjši vpliv, zaradi eks. funkcije. Torej začetna stanja vplivajo samo na prehodni pojav in ne na ustaljeno stanje.

elektro
Prispevkov: 2
Pridružen: 2.8.2015 20:05

Matematika

Odgovor Napisal/-a elektro »

Pozdravljeni, mi lahko poveste kako dobim DEFINICIJSKO OBMOČJE pri naslednjem primeru:
f(x)=ln(4-x^2)

maxwell
Prispevkov: 100
Pridružen: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a maxwell »

Pogledati moraš kdaj logaritem lahko izračunaš...Argument logaritma mora biti večji od 0, torej \(4-x^2>0\) in rešiš za katere x to velja.

elektro
Prispevkov: 2
Pridružen: 2.8.2015 20:05

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a elektro »

hvala!

lepa astronomija
Prispevkov: 2
Pridružen: 22.5.2015 16:41

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a lepa astronomija »

D,ober dan,

kako se lotiti te naloge oziroma, kaj je treba preveriti ? Hvala



Pokazi, da x, y in u lahko izrazimo kot funkcijo z; x, y in z pa ne
moremo izraziti kot funkcijo u.

..........
Priponke
naloga.gif
naloga.gif (3.34 KiB) Pogledano 2299 krat

DirectX11
Prispevkov: 413
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a DirectX11 »

maxwell napisal/-a:Ammmm to je narobe, kako si sploh prišel do tega izraza? Rešiti moraš diferencialno enačbo (to bi verjetno moral znati), ki jo imaš podano.

en način reševanja:
Ti imaš DE (diferencialno enačbo): \(y'(t)+2y(t)=2u(t)\), kjer sem samo mnnozil z 2, da se znebis koeficienta pri y'(t). Vanjo vstaviš u(t)=1 in dobis: \(y'(t)+2y(t)=2*1\). Sedaj moraš pa rešiti to diferencialno enačbo. Ker je linearna bom uporabil Laplaceovo transformacijo (ni nujno da delaš enako, pač izberi eno metodo, da dobiš rešitev DE)in dobim: \(Y(s)=2/(s+2)\). Sedaj pa to transformiraj nazaj v časovni prostor (inverzna Lapalce-ova transformacija). Sedaj dobiš \(y(t)=C*e^{-2t}+1\), koliko je C pa ne veš, ker nimaš začetnih pogojev. Ampak niti ni važno v tem primeru. Na tej funkciji uporabiš limito \(y_s(t=\infty)=\lim_{t \to \infty} C*e^{-2t}+1\), sedaj vidiš zakaj ne rabiš določit C. In dobiš \(y_s(t=\infty)=1\).

Da ne rabiš transformirati nazaj v časovni prostor (inverz zna biti včasih kar zahteven) lahko uporabiš teorem končne vrednosti \(\lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{s \to 0} s*Y(s)\), Y(s) pa ze imaš.

Drugi način (v bistvu je zelo podoben gornjemu):
To DE \(y'(t)+2y(t)=2u(t)\) pretvoriš z Laplaceovo transforamcijo, dobiš: \(sY(s)+2Y(s)=2U(s)\), izraziš \(Y(s)=2/(s+1) * 2U(s)\). U(s)=1/s, to je pač transformacija stopnice (imaš v tabeli, zapomniti si pa tudi ni težko, sploh ker je stopnica pomembna v sistemih). Tudi sedaj vzameš zgornjo limito za Y(s), vstaviš U(s) in voila dobiš 1.
Jaz sem prišel do te rešitve:
Y(s)(s + 2) = 2/s
ko sem izpostavil Y(s), sedaj moram vzeti limito ko gre s -> 0?

Ker potem na desni dobim neskončno, na levi dobim 0 + 2 = 2, torej:
2Y(s) = neskončno

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14581
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a shrink »

Saj imaš razloženo, da je odziv v ustaljenem stanju:

\(\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)\)

in torej za tvoj primer:

\(\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}\frac{2s}{s(s+2)}=1\)

DirectX11
Prispevkov: 413
Pridružen: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a DirectX11 »

Hvala shrink.

Vendar ne vem kako si prišel do tega izraza. Jaz sem prišel do tega:

s*Y(s) + 2*Y(s) = 2/s

Izpostavim Y(s):

Y(s)(s+2) = 2/s

Delim obe strani z (s+2):

In dobim Y(s) = 2/(s*(s+2)).

Iz kje se dobi dodaten "s" v števcu?

Hvala.

Odgovori