Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 2.7.2015 18:40

hvala, za pomoč.

Če je kdo še tukaj inženir in pozna sisteme mi lahko pomaga pri slednji nalogi:

Image


Pri sledeči nalogi me zanima, ali vstavim u(t) = 1, in rešim za y(t)? Ali moram še kaj upoštevati?

maxwell
Posts: 100
Joined: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Post by maxwell » 2.7.2015 23:18

26 nalogo: Lahhko tako rešiš. Vzeti moraš še limito funkcije ko gre t->neskončno, da dobiš ustaljeno stanje. Če se ne motim je ustaljeno stanje 1.

27. pol je pri -2, matrika prehajanja stanj pride nekaj takega: \(\phi=e^{-2t}\), odziv na začetno stanje je \(x_z=e^{-2t} x[0]\), ker t proti neskončno za ustaljeno stanje, torej eksponentna funkcija se bliža 0 in vpliv začetnega stanja izzveni-ne vpliva na ustaljeno stanje.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 3.7.2015 18:52

Za prvo nalogo dobim tako:

\(y(t) = \lim_{t \to \infty} 2y(t) - 1/4y^2\)

Vendar kako potem vstavim t za neskončnost če je to argument y funkcije.

Hvala za odgovor.

maxwell
Posts: 100
Joined: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Post by maxwell » 3.7.2015 22:51

Ammmm to je narobe, kako si sploh prišel do tega izraza? Rešiti moraš diferencialno enačbo (to bi verjetno moral znati), ki jo imaš podano.

en način reševanja:
Ti imaš DE (diferencialno enačbo): \(y'(t)+2y(t)=2u(t)\), kjer sem samo mnnozil z 2, da se znebis koeficienta pri y'(t). Vanjo vstaviš u(t)=1 in dobis: \(y'(t)+2y(t)=2*1\). Sedaj moraš pa rešiti to diferencialno enačbo. Ker je linearna bom uporabil Laplaceovo transformacijo (ni nujno da delaš enako, pač izberi eno metodo, da dobiš rešitev DE)in dobim: \(Y(s)=2/(s+2)\). Sedaj pa to transformiraj nazaj v časovni prostor (inverzna Lapalce-ova transformacija). Sedaj dobiš \(y(t)=C*e^{-2t}+1\), koliko je C pa ne veš, ker nimaš začetnih pogojev. Ampak niti ni važno v tem primeru. Na tej funkciji uporabiš limito \(y_s(t=\infty)=\lim_{t \to \infty} C*e^{-2t}+1\), sedaj vidiš zakaj ne rabiš določit C. In dobiš \(y_s(t=\infty)=1\).

Da ne rabiš transformirati nazaj v časovni prostor (inverz zna biti včasih kar zahteven) lahko uporabiš teorem končne vrednosti \(\lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{s \to 0} s*Y(s)\), Y(s) pa ze imaš.

Drugi način (v bistvu je zelo podoben gornjemu):
To DE \(y'(t)+2y(t)=2u(t)\) pretvoriš z Laplaceovo transforamcijo, dobiš: \(sY(s)+2Y(s)=2U(s)\), izraziš \(Y(s)=2/(s+1) * 2U(s)\). U(s)=1/s, to je pač transformacija stopnice (imaš v tabeli, zapomniti si pa tudi ni težko, sploh ker je stopnica pomembna v sistemih). Tudi sedaj vzameš zgornjo limito za Y(s), vstaviš U(s) in voila dobiš 1.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 5.7.2015 17:52

Hmm dozdeva se mi da sem narobe rešil zaradi tega, ker ne vem ali je separabilna diferencialna enačba. Torej kako ugotoviti ali je separabilna? Ker verjetno ta ni.

maxwell
Posts: 100
Joined: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Post by maxwell » 5.7.2015 18:44

Je separabilna. \(\frac{dy}{dt}+2y=2u(t)\), malo obrneš \(\frac{dy}{dt}=-2y+2u(t)\), vstavis u(t)=1 in izpostavis 2, \(\frac{dy}{dt}=2(-y+1)\). y daš na levo \(\frac{dy}{-y+1}=2dt\), to integriraš in dobiš \(y(t)=1+C*e^{-2t}\).


Popravek, v prejšnjem postu sem pri prvem načinu reševanja narobe napisal Y(s), pravilno je \(Y(s)=2/(s+2)*1/s\), člen 1/s pride zaradi transformacije u(t).

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 8.7.2015 12:27

Ok, hvala maxwell.

Za drugo ne vem, kaj je to matrika prehajanja stanj.

maxwell
Posts: 100
Joined: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Post by maxwell » 8.7.2015 20:38

Ne vem koliko poznaš analizo sistemov..
Odziv sistema izračunamo iz odziva na začetno stanje in odziva na vzbujanje: \(y(t)=y(t)_{stanja}+y(t)_{vzbujanje}\Rightarrow\)\(y(t)=e^{At}x(0)+\int\limits_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau\). Matrika prehajanja stanj je \(\phi=e^{At}\) (pred x(0)). Ta matrika pove, kako se vpliv stanj sistema odraža na odzivu sistema. V tvoji nalogi v bistvu to ni matrika ampak skalar, ker imaš samo eno DE prvega reda. In ker je ta skalar negativen se eksponentna funkcija manjša in začetno stanje vedno manj vpliva na stacionarno stanje.

Ali pa če pogledaš tvojo rešitev DE, ki si jo dobil \(y(t)=Ce^{-2t}+1\) vidiš, da če bi upošteval začetna stanja bi ta vplivala samo na konstanto C. Ta pa ima vedno manjši vpliv, zaradi eks. funkcije. Torej začetna stanja vplivajo samo na prehodni pojav in ne na ustaljeno stanje.

elektro
Posts: 2
Joined: 2.8.2015 20:05

Matematika

Post by elektro » 2.8.2015 20:15

Pozdravljeni, mi lahko poveste kako dobim DEFINICIJSKO OBMOČJE pri naslednjem primeru:
f(x)=ln(4-x^2)

maxwell
Posts: 100
Joined: 16.11.2011 19:10

Re: Matematika

Post by maxwell » 3.8.2015 0:06

Pogledati moraš kdaj logaritem lahko izračunaš...Argument logaritma mora biti večji od 0, torej \(4-x^2>0\) in rešiš za katere x to velja.

elektro
Posts: 2
Joined: 2.8.2015 20:05

Re: Matematika

Post by elektro » 4.8.2015 13:17

hvala!

lepa astronomija
Posts: 2
Joined: 22.5.2015 16:41

Re: Matematika

Post by lepa astronomija » 7.8.2015 10:38

D,ober dan,

kako se lotiti te naloge oziroma, kaj je treba preveriti ? Hvala



Pokazi, da x, y in u lahko izrazimo kot funkcijo z; x, y in z pa ne
moremo izraziti kot funkcijo u.

..........
Attachments
naloga.gif
naloga.gif (3.34 KiB) Viewed 1928 times

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 31.8.2015 13:15

maxwell wrote:Ammmm to je narobe, kako si sploh prišel do tega izraza? Rešiti moraš diferencialno enačbo (to bi verjetno moral znati), ki jo imaš podano.

en način reševanja:
Ti imaš DE (diferencialno enačbo): \(y'(t)+2y(t)=2u(t)\), kjer sem samo mnnozil z 2, da se znebis koeficienta pri y'(t). Vanjo vstaviš u(t)=1 in dobis: \(y'(t)+2y(t)=2*1\). Sedaj moraš pa rešiti to diferencialno enačbo. Ker je linearna bom uporabil Laplaceovo transformacijo (ni nujno da delaš enako, pač izberi eno metodo, da dobiš rešitev DE)in dobim: \(Y(s)=2/(s+2)\). Sedaj pa to transformiraj nazaj v časovni prostor (inverzna Lapalce-ova transformacija). Sedaj dobiš \(y(t)=C*e^{-2t}+1\), koliko je C pa ne veš, ker nimaš začetnih pogojev. Ampak niti ni važno v tem primeru. Na tej funkciji uporabiš limito \(y_s(t=\infty)=\lim_{t \to \infty} C*e^{-2t}+1\), sedaj vidiš zakaj ne rabiš določit C. In dobiš \(y_s(t=\infty)=1\).

Da ne rabiš transformirati nazaj v časovni prostor (inverz zna biti včasih kar zahteven) lahko uporabiš teorem končne vrednosti \(\lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{s \to 0} s*Y(s)\), Y(s) pa ze imaš.

Drugi način (v bistvu je zelo podoben gornjemu):
To DE \(y'(t)+2y(t)=2u(t)\) pretvoriš z Laplaceovo transforamcijo, dobiš: \(sY(s)+2Y(s)=2U(s)\), izraziš \(Y(s)=2/(s+1) * 2U(s)\). U(s)=1/s, to je pač transformacija stopnice (imaš v tabeli, zapomniti si pa tudi ni težko, sploh ker je stopnica pomembna v sistemih). Tudi sedaj vzameš zgornjo limito za Y(s), vstaviš U(s) in voila dobiš 1.
Jaz sem prišel do te rešitve:
Y(s)(s + 2) = 2/s
ko sem izpostavil Y(s), sedaj moram vzeti limito ko gre s -> 0?

Ker potem na desni dobim neskončno, na levi dobim 0 + 2 = 2, torej:
2Y(s) = neskončno

User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Matematika

Post by shrink » 31.8.2015 13:55

Saj imaš razloženo, da je odziv v ustaljenem stanju:

\(\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)\)

in torej za tvoj primer:

\(\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}\frac{2s}{s(s+2)}=1\)

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Matematika

Post by DirectX11 » 31.8.2015 14:41

Hvala shrink.

Vendar ne vem kako si prišel do tega izraza. Jaz sem prišel do tega:

s*Y(s) + 2*Y(s) = 2/s

Izpostavim Y(s):

Y(s)(s+2) = 2/s

Delim obe strani z (s+2):

In dobim Y(s) = 2/(s*(s+2)).

Iz kje se dobi dodaten "s" v števcu?

Hvala.

Post Reply