Kvarkadabra forum

Se nekaj stvari ves: ta stvar je deljiva z 11:
\(1100x+11y=11(100x+y)\)
To pomeni, da mora biti tudi "z" deljiv z 11 in ker je kvadrat, mora biti zgornji izraz deljiv SE ENKRAT z enajst. Se pravi je 100x+y deljivo z enajst. Isces torej trimestno stevilo, z niclo v sredini in enim izmed stevk (0,1,4,6,5,9) na koncu, ki je deljivo z 11.
Nadaljujemo:
Ce zapises 100=99+1, dobis
\(100x+y=11\cdot 9\cdot x+(x+y)\)
Torej mora biti x+y=11. Moznosti:
(x=7, y=4)
(x=5, y=6)
(x=6, y=5)
(x=2, y=9)

Te stiri lahko rocno preveris. Lahko pa spet izpostavis
\(11\cdot 9\cdot x+(x+y)=11(9x+1)\)
9x+1 mora biti popolni kvadrat. To velja samo za prvi primer, torej je iskano stevilo \(7744=88^2\).

Nikoli nisem bil vesc teorije stevil in metod, ki se jih v teh primerih uporablja. Mislim da je nek postopek pri katerem ves, da cesa ne pozabis in kjer lahko to sistematicno pocnes. Ampak za to bo treba koga drugega vprasat.

Živjo, zanima me rezultat za kvadratno neenačbo, ki moram izračunat dolžino intervala

7x²+4x-5<-0

Hvala lepa

Dolzina intervala je razdalja med niclama kvadratne enacbe na levi.

Neenačbo, sem sedaj izračunal (x1 in x2). Zanima me, če sešteti sedaj x1 in x2, da dobim dolžino intervala.
Hvala

RAZDALJA! Narisi si skico. Razdalja je vedno razlika.

Pozdravljeni! Potrebujem pomoč pri tej nalogi:

Dan je izraz \(((x+3)^-^1 + \frac {x^2+2x+1}{x^2+x-6}- \frac {9(x-2)^-^1}{x+3}) \cdot \frac {x^2+7x+12}{x}: \frac {1-25x^-^2}{2x^-^1}\)

Ko ta izraz razrešim dobim: \(\frac {2(x+4)}{x-5}\)

Sledijo vprašanja:
1.) Za katera števila x ta izraz ni definiran? Eno od rešitev dobim, to je x=5, ker je potem imenovalec 0, zato izraz ni definiran. Zanima me, zakaj so v rešitvah podane tudi x = -5, 2, 0, -3. Kako pridem do tega?

2.) Za katera števila x je vrednost tega izraza večja od -4 in manjša ali enaka 0?

\(-4 < \frac {2(x+4)}{x-5} \le 0\) in nastavim tako \(-4 < \frac {2(x+4)}{x-5} \Rightarrow 2x+8 > -4x+20 \Rightarrow 6x > 12 \Rightarrow x>2\)

in \(\frac {2(x+4)}{x-5} \le 0 \Rightarrow 2x+8 \le 0 \Rightarrow 2x \le -8 \Rightarrow x \le -4\)
ti rešitvi se mi ne skladata s tistimi v knjigi: \(-4 \le x < 2\)
Sem morda kje pozabil obrniti smer neenačaja?

V rešitvah piše tudi: Ker moramo izločiti vsa števila, za katera prvotni izraz nima vrednosti, dobimo \((-4 \le x < -3) \lor (-3 < x < 0) \lor (0 < x < 2)\).
Kako pridem do tega?

1) Sprasuje za katera stevila TA izraz ni definiran. Ti si med poenostavljanjem kar nekajkrat stvari krajsal in ob vsakem krajsanju si predpostavil, da tisto kar krajsas ni nic. Ze takoj se vidi v zacetnem izrazu, da imas v imenovalcih (x+3), x, x^2+x-6 (ta vsebuje dve nicli),...

2) ja, pazi kaksnega predznaka je lahko stvar, s katero mnozis: recimo korak ko tole
\(-4\lt \frac{2(x+4)}{x-5}\)
mnozis z (x-5), je pravilen samo, ce je x-5>0. Drugace se predznak obrne. Torej dobis v bistvu dva primera, pri vsakem morata veljati dve neenakosti. Se pravi
\(-4x+20< 2x+8 \wedge x-5>0\)
\(-4x+20> 2x+8 \wedge x-5<0\)
(znak za IN sem uporabil, da se ve da morata v vsakem od primerov veljati obe neenacbi - resitev je PRESEK resitev posameznih neenakosti). Koncna resitev je pa UNIJA intervalov prvega in drugega primera.

Izlocanje vrednosti, kjer izraz ni definiran je pa samoumevno - ce jih ni v definicijskem obmocju, potem jih tudi v intervalu ni. Potem pac dobis unijo odprtih intervalov.

hvala Aniviller!!

Prosim za kakšen namig pri nalogi:

Dana je diofantska enačba (11n+23)x + (8n+17)y= a

a) Določi a tako, da bo enačba rešljiva pri vsakem n je element celih števil. R: a=3m
b) Pri katerih n je enačba rešljiva za poljuben a je element celih št. R: za poljuben a, če n ni 3k-1

Verjetno si moram pomagati z izrekom, da je enačba rešljiva takrat, ko največji skupni delitelj a in b deli c.

ja,, lin. diofantska enačba ima rešitve natanko takrat, ko \(d(a,b)|c\). tu se splača pogledati razliko koeficientov 11n+23 in 8n+17:
\(11n+23 - (8n+17)=3(n+2)\).
od tu je vidno, da dasta koeficienta enake ostanke pri deljenju s 3 in z n+2 (to velja zaradi \(a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid a-b\)). za oba koeficienta velja, da pri deljenju z n+2 ne dasta ostanka 0, ker \(11n+23=11(n+2)+1\) in \(8n+17=8(n+2)+1\). torej je lahko največji skupni delitelj obeh koeficientov le 3. da bo enačba rešljiva za vsak n, mora zato veljati \(3|a\).
enačba bo rešljiva za vsak a, če koeficienta ne bosta deljiva z 3, t.j. \(8n+17 \equiv 2n+2 \equiv n+1 \pmod{3}\) ne sme biti deljiv s 3, torej \(3 \nmid n+1\)

Se da to še razložiti brez teh modulov. In pa kako lahko vem, da koeficienta lahko zdaj tu odštevam?

da se brez modulov, čeprav se meni zdi bolj pregledno. v tvojem primeru imaš koeficienta 11n+23 in 8n+17, pri katerih pa zaradi parametra n ne moreš enostavno določiti največjega skupnega delitelja, ki pa ga potrebuješ v zvezi z rešljivostjo diofantske enačbe. namesto največjega skupnega delitelja pa lahko ugotoviš, pri deljenju s katerimi števili dasta 11n+23 in 8n+17 enak ostanek; namreč ta števila so potem kandidati za delitelje teh koeficientov (če je ostanek pri deljenju enak 0).
lej, recimo da dasta števili a in b pri deljenju z c enak ostanek:
\(a=ck+t\)
\(b=cl+t\)
če odštejemo enačbi, dobimo:
\(a-b=c(k-l)\), torej c deli razliko a-b.
na ta način pri tvojem primeru dobiš razliko koeficientov \(3(n+2)\), kar pomeni, da koeficienta dasta enake ostanke pri deljenju z 3 in z n+2 (pa tudi pri deljenju s 3(n+2) in kakšnim prafaktorjem od n+2). če je ta ostanek enak 0, je to število potem delitelj. ampak kot sem pokazal, ostanek pri deljenju z n+2 ne more biti nikoli enak 0, torej je edini kandidat za (največjega) skupnega delitelja 3.
je bolj jasno?
ps: kongruence se uporablja zaradi skrajšanega zapisa; v zgornjem primeru bi namesto dveh enačb lahko zapisali le \(a \equiv b \pmod c\), to pomeni, da dasta a in b enak ostanek pri deljenju s c. poleg tega je pa kongruenca tudi ekvivalenčna relacija in ima zato nekaj lepih lastnosti.

Hvala, zdaj je bolj razumljivo.
Še eno vprašanje pri eni nalogi:

Poišči vsa realna št. x in y, ki zadoščajo enačbama:
\(x^3 + 8y^3 = x + 2y\)
\(2x^2y + 4xy^2 = x+2y\)

Torej enačbi odštejem in dobim:
\((x+2y) (x-2y)^2 = 0\)

Iz tega se takoj vidi, da so rešitve vsa realna št. za katera velja x+2y=0. Vendar pa ne znam poiskati še druge rešitve, ki pa je: x= -1, y=-1/2 in x =1, y=1/2?

dobila si \((x+2y)(x-2y)^2=00\); pozabila si upoštevati še drugi faktor, t.j. x-2y=0 s tem potem dobiš še ostale rešitve.

Ja, samo jaz bi za drugi faktor takoj napisala x=2y kar pa seveda ni prav. Zato nwm kako do te druge rešitve.