Kvarkadabra forum

\(a_n=\left(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}\right)^{\sqrt{n+3}}\)
To gre itak proti nic. Nobenega nedolocenega izraza ni, oklepaj limitira proti 1/2, kar se potem potencira na vedno vecje stevilke.

Hvala..... Razumem. Se pravi sem spet pozabila na uvajanje nove neznanke...Za to pravilo, da lahko limitiram imenovalec in števec posebej, pa lahko torej uporabim čisto VEDNO, ko obstaja limita za vsakega posebej? ...

Ja. To je izrek o produktu: ce obstaja \(\lim_{x\to a} f(x)=F\) in \(\lim_{x\to a}g(x)=G\), potem je \(\lim_{x\to a}f(x)g(x)=FG\). To je splosnejsi primer tega, da lahko konstanto iz limite izpostavis - s tem da je pri nas ta konstanta tudi
posledica neke limite.

a)Imamo lik A iz R^2, s ploščino 1 in preslikavo T, katere Jacobi je -5(2x+y, x-2y). Koliko je ploščina lika T(A). Je to samo preko Jacobija(torej 5*1) ali je še kaj vmes oz. kako to korektno napisat?

b) Hilbertov prostor, ONB za L^2[0,pi]. Torej znana je baza od [-pi,pi] (torej e^ikx/sqrt(2*pi), k je iz Z). Ali je to samo skrčeno(in potem prestavljena) baza za znano bazo(torej s krajšim intervalom in je potem pod ulomkom sqrt(pi) ali kako drzugače?

c)bijektivnost za T iz naloga a.

a) Tole kar si podal je kar preslikava, ne Jacobijan. Ja, ploscine se samo z Jakobijevo determinanto mnozijo.

b) Baza ni enolicna, tako da imas lahko vec razlicnih baz ki pokrijejo prostor. Lahko bi skrcil in premaknil za pol, ampak to mogoce ni ravno lepo, ker ti pridela nepotrebne fazne faktorje. Ker ves da gre za Fourierovo bazo, jo lahko na novo skonstruiras, ker ves da rabis valovne dolzine, ki so celostevilsko povezane s sirino intervala.

c) Ce je Jakobijeva matrika obrnljiva, je preslikava lokalno v tisti tocki obrnljiva. Ker je linearna, je Jakobijeva matrika kar matrika preslikave (je konstantna matrika s katero mnozis vse vektorje), torej velja bijektivnost.

Pardon, pri a je bilo mišljeno med -5 in () vejica, torej Jacobi preslikave(2x+x, x-2y) je -5.

Imamo homogen sistem LDE 1.reda v matrični obliki(A). Zdaj zanima me, če je tole prav, ker so moji zapiski malo zbrkljani.

Osnovna matrična rešitev je x(t) = e^(t*A)?

če imamo konst. koef. pa je ta rešitev:

x(t) = e^(l*t) * v

l je lastna vrednost in v vektor

edit: pri drugem delu se seveda da A diagonalizirat

Pri drugem delu ja, ce je v lastni vektor, drugace je vsota prispevkov po vec lastnih vrednostih.

Ok, kaj pa glede prvega dela ali je e^(t*A) osnovna matrična rešitev za vse take sisteme ali le za take s konst. koef.? Če je drugo(verjetno), kaj je potem čisto osnovna matrična rešitev?

Ce koeficienti niso konstantni itak ne mores zapisat sistema v obliki
\(\frac{d\vec{y}}{dt}=A\vec{y}\)
razen ce smatras, da je A odvisen od t... v tem primeru pa integracija \(\int A\,dt\) ne da vec kar At, tako da odgovor na to vprasanje je: ne, ce koeficienti niso konstantni, resitev ni take oblike.

Obmocje E v ravnini je omejeno s krivuljama y = x^(-2); y = 8x^(-2) in
s premicama y = x; y = 8x.
a) določi spremenljivki u in v da bo E opisan kot pravokotnik
b)izrazi u in v z x,y in določi jacobijevo matriko in njeno determinanto
c) kako se izrazi integral od f(x,y) po E v H?

a) Kako se sploh tega lotit, imamo kake postopke ali je tukaj pomembna intuicija?
b)drugi del (matriko) načeloma znam, pač izrazimo x=x(u,v) in y =y(u,v) in oboje vstavimo v jacobija(oz njuna parcialna odvoda
c)tukaj je pa samo kompizutum * jacobi? pač namesto f(x,y) = f(x(u,v),y(u,v) * J?

Intuicija je dalec najboljsi nacin Sicer to samo pomeni, da isces koordinatni sistem, katerega koordinatna mreza sovpada z omenjenimi krivuljami.

Opazis naslednje: razmerje me eno in drugo krivuljo je vedno konstantno (=8). Enacbe lahko prepises takole:
\(yx^2=1\)
\(yx^2=8\)
\(y/x=1\)
\(y/x=8\)
To je ze tisto kar isces. Ker so bili pari zgornja/spodnja krivulja v konstantnem razmerju, se v tej obliki na levi pojavita le dve kombinaciji spremenljivk in ce das u=yx^2 in v=y/x, je definicijsko obmocje kvadrat.

b,c) ja, ta postopek je ok. Saj u(x,y) in v(x,y) ze imas, tako da samo se odvajas.

Prosil bi za pomoč pri tem testu. Saj je kratek slikal sem teorijo in sem hotel vse tri slike vržti v en pdf, vendar je prevelik, tako da sem razdelil in je v vsakem pdf-ju ena stran oz. slika. Hvala za razumevanje. Zelo bi bil hvaležen, če bi kdo rešil. Lp

9) Divergenca nastopa v Gaussovem teoremu: pretok skozi zakljuceno ploskev (rob telesa) je enak integralu divergence po objetem volumnu. c) govori o nicelnem pretoku - mi nimamo zagotovila, da je divergenca 0. O nezakljucenih ploskvah nimamo kaj govorit. Ostane le b).
10) Ce je divergenca kar konstanta, jo lahko postavis ven iz integrala divergence po volumnu, se pravi od integrala ostane le volumen. Odgovor je c). Predznak vemo, ker povedo, da normale kazejo navzven (v pravo smer).
5) Samo poglej ce so integrali prave oblike. Jakobijan za sfericne koordinate je \(r^2\sin\theta\), kar pomeni, da je c) edina smiselna moznost.
6) x^2+y^2=1 sugerira cilindricne koordinate, se pravi bo nekje "r" notri zaradi Jakobijana, integral bo pa po celem krogu (2pi). Po z-ju imas zgornjo mejo 1-x-y, se pravi d) odpade. Ostane b). Lahko pa si tudi narises in pogledas kaksno obmocje je to in sam napises integral, to moras itak znat.
7) Kar zapisi normalo in integriraj, pa bo jasno kaj pride. Normala je \(\vec{n}=(-f_x,-f_y,1)\) tako da kaj dosti ne preostane. Samo se na normalizacijo moras pazit: tale normala se ni normirana, torej ze sama nosi informacijo o povrsini ploskve.
Vse podatke imas podane, kar integriraj
1) ignoriraj y in imas obicajno Taylorjevo formulo v 1 dimenziji.
2) Kar odvajaj, tu ni treba razmisljat. Lahko pa ze z aviona vidis katera opcija je edina, ki vsebuje ustrezen izraz za odvod kvocienta y/x.
3) Vsako moznost lahko kar vstavis v pogoj in vidis ce velja.
4) Lahko je lokalni ekstrem... drugi odvod po x je sicer 0, lahko je pa tudi tretji 0 in cetrti povzroci, da je tocka ekstrem (to je isto kot 1D). Tudi maksimum je lahko (ce je cela Hessejeva matrika 0 je se vedno lahko naslednji clen v razvoju recimo -x^4-y^4). Pozitivno definitna pa ne more bit, ker je determinanta za matriko (0,b;b,c) enaka -b^2, kar pomeni, da je ena lastna vrednost negativna.

Najlepša hvala za izčrpno razlago

Se pravi:
1. b
2. c
3. c
4. b
5. c
6. b
7. d
8. c
9. b
10. c

Lp