Funkcije vec spremenljivk

[=)]

Jaz imam tudi nekaj vprašanj

Pri lastnostih zveznih funkcij imam zapisano:
D - odprta mn. v \(R^n\) in
f - zvezna funkcija; \(f: D \to\textbb{R}^m\)
Potem velja:
Če je D kompaktna (zaprta in omejena) je tudi slika f(D) kompaktna (v \({R}^m\))

A za kompaktnost torej potrebujem zaprtost in omejenost? A ni dovolj, da je zaprta?
Obstaja množica, ki je zaprta in ni omejena???
_________________________________

Drugo vprašanje se tiče absolutnih vrednosti. Zakaj enkrat pišemo z dvrmi črtami npr. \(||x||\) spret drugič pa z eno \(|x|\)?
Opazila sem, da eno črto uporabljamo pri \(R^1\) in dve če imamo opraviti z večimi dimenzijami. Sem prav opazila?
No, firbec me matra, zakaj v \(R^n\) ne označujemo preprosto z eno črto... A ena črta pove manj kot dve?

[ami]

Ne, ni dovolj da je zaprta. Primer zaprte in nekompaktne mnozice:
\(X = N \subseteq R\) in \(X = N \times R \subseteq R^2\)

To o absolutnih vrednosti pa ti povem kako mi uporabljamo.. Ni nujno da vi pisete enako.
No, mi z enojno crto oznacujemo absolutno vrednost stevilke, dvojne crte pa uporabljamo za ostale norme(vektorske,matricne,operatorske,...).

[=)]

o, hvala ami...

sej verjetno nam je res prof. na predavanjih kaj povedal...
(problem je, ker ne hodim na predavanja iz analize (nimam časovnega stroja ) in moram potem vse sama iz knjig pogrunat...)

Lp.

[Aniviller]

\(- \frac{1}{4}
(\frac{\partial u}{\partial f})^2 = \frac{\partial u \partial u}{\partial e \partial f} = \frac{\partial^2 u}{\partial e \partial f}\)[/size]

In kaj to nardi?

Ta izraz mora dati zdaj isto kot ce izrazas prvoten izraz. Ce imas recimo
\(u=x^2-xy\)
je to ko naredis x=e+f in y=e-f:
\(u=2ef+2f^2\)

\(u_{xx}-e_{yy}=2\)
\(u_{ef}=\frac{\partial 2f}{\partial f}=2\)
Torej pride isto (pa lahko naredis se kak primer, kjer rezultat ni konstanta).

[ami]

Ja sam... zakaj bi sel to clovek delat? Ce pride isto? Zakaj je to uporabno? Kaj pocne nekaj s koordinatnimi osmi?
Kaj pomeni da e izrazis z x in y? Lahko eno razlago alla puding?

[Aniviller]

Uh, to je skrajno uporabna zadeva. Ves kolikokrat se ti zgodi da imas diferencialno enacbo v kartezicni obliki, geometrija je pa taka, da nikoli ne prides cez, ce ne gres recimo v polarne koordinate. Vsi tisti izrazi v stilu "nabla v cilindricnih, nabla v sfericnih, nabla kvadrat v sfericnih" in podobno (ne vem kolk jih vi rabte ampak v fiziki je to vsakdanja zadeva in se vecino teh izrazov ve na pamet ali pa se nosi s seboj tabelco), to bi se dal vse izpeljat na ta nacin. In ce rabis transformacijo nekih cudnih odvodov v koordinate, za katere se nihce ni tega naredil, moras tole delat.

[ami]

Aha to mi je manjkalo.

In se nekaj. Moram vsakic testirat linearno neodvisnost s tisto Jacobiano in ce pride da je lin. odvisna se direkt vrzt skozi okno?

[Aniviller]

Ja ce je jakobijan nic, pomeni da sistem ni dolocen (ena spremeljivka manjka, najverjetneje ker sta dve linearno odvisni). Nisem pa jaz se nikol tega testiral. Saj ko izbiras koordinate pazis, da popises cel prostor, linearna neodvisnost se pa ponavadi iz aviona vidi.

[ami]

Jesssssss!!!!

[ami]

\(f(x)=\begin{cases}\frac{x^3+y^2x}{(x^2+y^2)^{5/4}}&(x,y)\neq (0,0)\\0& (x,y)=(0,0)\end{cases}\)

Ali je f zvezna v (0,0)?

Ker gledamo celo funkcijo je treba dat v polarne in pride:
\(\lim\limits_{r \rightarrow 0} \frac{\cos{(\phi)} r^2}{r^{5/2}} = \lim\limits_{r \rightarrow 0} \frac{\cos{(\phi)}}{r^{1/2}}\)

In ta rec ne gre proti nic. V resitvah pa pise da je zvezna v (0,0). Kaj je narobe?

[Aniviller]

Cist en mal povrsnosti

Imenovalec je ok. Stevec pa... khm...
\(x^3+y^2 x=x(x^2+y^2)=(r\cos\phi) r^2=\underbrace{r^3}_{\text{!}}\cos\phi\)

[ami]

Sej je

\(\lim\limits_{r \rightarrow 0} r \cos{\phi} = 0\)

Ker je cosinus omejena?? Ali se tudi to steje da ne obstaja ker je odvisna od phija?

[ami]

lol. Resil si me polurnih muk.

[Aniviller]

Sej je

\(\lim\limits_{r \rightarrow 0} r \cos{\phi} = 0\)

Ker je cosinus omejena?? Ali se tudi to steje da ne obstaja ker je odvisna od phija?

Ja, to je nic. Obnasanje v r unici odvisnost od phija. Limitiras samo po r, zato phi limita vidi kot konstanto in se nicla lepo zmnozi.

[ami]

Aha potem je problem kadar je r pod ulomkom in gre proti nic ali ce ga ni?