Funkcije vec spremenljivk
Re: Funkcije vec spremenljivk
Ja. Ce je kaj ostalo od kotnega dela, potem se moras zanasat na r-del, da ga unici, drugace limite ni. Lahko pa to naredi na bolj prefinjen nacin, recimo \(\cos (r\phi)\)
Re: Funkcije vec spremenljivk
Naj bo z = z(x,y) parcialno odvedljiva funkcija dveh spremenljivk in f odvedljiva realna funkcija.
a) Transformiraj izraz \(xz_x + yz_y\) v polarne koordinate.
b) Izracunaj ta izraz za funkcijo \(z=f(\frac{y}{x})\)
c) Povezi oba rezultata.
Neznam.
a) Transformiraj izraz \(xz_x + yz_y\) v polarne koordinate.
b) Izracunaj ta izraz za funkcijo \(z=f(\frac{y}{x})\)
c) Povezi oba rezultata.
Neznam.
Re: Funkcije vec spremenljivk
\(x=r \cos\phi\)
\(y=r \sin\phi\)
\(\phi=\arctan\tfrac{y}{x}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(z_x=z_{\phi}\phi_x+z_r r_x=z_{\phi}\frac{-y}{x^2+y^2}+z_r\frac{x}{r}\)\(=z_\phi \frac{-\sin\phi}{r}+z_r\cos \phi\)
\(z_y=z_{\phi}\phi_y+z_r r_y=z_{\phi}\frac{x}{x^2+y^2}+z_r\frac{y}{r}\)\(=z_\phi \frac{\cos\phi}{r}+z_r\sin \phi\)
\(xz_x+yz_y=r\cos\phi\left(z_\phi \frac{-\sin\phi}{r}+z_r\cos \phi\right)\)\(+r\sin\phi\left(z_\phi \frac{\cos\phi}{r}+z_r\sin \phi\right)=r z_r\)
Vse se pokrajsa
p.s. lepsi nacin:
\(x z_x+y z_y=(x,y)\cdot\nabla z=r \vec{e}_r\cdot \nabla z\)
\(\vec{e}_r\cdot \nabla z\) je odvod v smeri polmera. Prehod na vektorsko obliko je vedno zelo lepa stvar, ker ta ni odvisna od koordinatnega sistema in je lahko izhodisce za vse ostalo.
b) \(\frac{y}{x}=\tan\phi\), torej z ni odvisen od r in je cel izraz nic.
p.s. Ti sploh kdaj spis?
\(y=r \sin\phi\)
\(\phi=\arctan\tfrac{y}{x}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(z_x=z_{\phi}\phi_x+z_r r_x=z_{\phi}\frac{-y}{x^2+y^2}+z_r\frac{x}{r}\)\(=z_\phi \frac{-\sin\phi}{r}+z_r\cos \phi\)
\(z_y=z_{\phi}\phi_y+z_r r_y=z_{\phi}\frac{x}{x^2+y^2}+z_r\frac{y}{r}\)\(=z_\phi \frac{\cos\phi}{r}+z_r\sin \phi\)
\(xz_x+yz_y=r\cos\phi\left(z_\phi \frac{-\sin\phi}{r}+z_r\cos \phi\right)\)\(+r\sin\phi\left(z_\phi \frac{\cos\phi}{r}+z_r\sin \phi\right)=r z_r\)
Vse se pokrajsa
p.s. lepsi nacin:
\(x z_x+y z_y=(x,y)\cdot\nabla z=r \vec{e}_r\cdot \nabla z\)
\(\vec{e}_r\cdot \nabla z\) je odvod v smeri polmera. Prehod na vektorsko obliko je vedno zelo lepa stvar, ker ta ni odvisna od koordinatnega sistema in je lahko izhodisce za vse ostalo.
b) \(\frac{y}{x}=\tan\phi\), torej z ni odvisen od r in je cel izraz nic.
p.s. Ti sploh kdaj spis?
Re: Funkcije vec spremenljivk
Jaz ga zuram te dni. Sej vidis. 
Spim pa kadar se mi da spat. Priznam, vcasih res ob cudnih urah.
Kaj to \(z_x=z_{\phi}\phi_x+z_r r_x\) je prislo iz veriznega pravila?
Spim pa kadar se mi da spat. Priznam, vcasih res ob cudnih urah. Kaj to \(z_x=z_{\phi}\phi_x+z_r r_x\) je prislo iz veriznega pravila?
Re: Funkcije vec spremenljivk
Pa od kje ti je prislo to v glavo:
\(\phi=\arctan\tfrac{y}{x}\)
Ze vem od kje je...
\(\phi=\arctan\tfrac{y}{x}\)
Ze vem od kje je...
Re: Funkcije vec spremenljivk
Ja, to je verizno pravilo. Tisto moje jamranje cez verizno pravilo je bila zabloda
Pejt spat zdej, jst grem tud. Lahko noc.
No sej v resnici moras se glede na predznak x-a pristevat pi. Ampak to pri odvodih ni vazno.ami napisal/-a:Pa od kje ti je prislo to v glavo:
\(\phi=\arctan\tfrac{y}{x}\)
Ze vem od kje je...
Pejt spat zdej, jst grem tud. Lahko noc.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Lahko noc.
Re: Funkcije vec spremenljivk
S pomocjo nivojnic predstavi ploskev \(z=y(x^2-1)\). Na sliki oznaci kako bi po ploskvi prisel iz tocke (-2,1,3) v tocko (2,-1,-3) tako, da se med potjo ne bi nikdar vzpenjal. Pomagaj si z ustreznimi prerezi.
A je uporabno ce rezem z y=(-1)(x/2) ?? In kako naj se potem premikam, da ne menjam visino, ce se visina tako ali tako spremeni iz 3 v -3? Ali ne?
A je uporabno ce rezem z y=(-1)(x/2) ?? In kako naj se potem premikam, da ne menjam visino, ce se visina tako ali tako spremeni iz 3 v -3? Ali ne?
Re: Funkcije vec spremenljivk
Nivojnice so dokaj cudne krivulje. Dve nivojnici sta \(x=\pm 1\) . Druge so opisane s krivuljami
\(y=\frac{z}{x^2-1}\)
Te krivulje so dovolj grde, da si z njimi ne mores pomagat.
Pogoj, da se nikoli ne vzpenjas pomeni, da nikoli nobene nivojnice ne sekas dvakrat. Nacinov kako prides tja je pa ogromno. En zelo lep nacin je, da se premikas pravokotno na nivojnice (v smeri gradienta z) do neke nivojnice in potem po nivojnici naprej. Ni pa treba ravno komplicirat, potovanje po gradientu je ponavadi precej ukrivljeno in zahteva integracijo.
Zanimiva je nivojnica pri z=0 (\(x=\pm 1\), \(y=0\)). Jaz bi sel iz tocke (-2,1) naravnost v desno do tocke (-1,1). Potem gres lahko po nicelni nivojnici naokrog do (1,-1), od koder gres spet naravnost desno do (2,-1) (zrcalna slika prejsnjega). Tako vecino casa prezivis na isti nivojnici in ti ni treba skrbet za druge komplikacije.
Moznih prerezov je neskoncno, samo za ravne poti v smeri koordinatnih osi je zelo enostavno pokazat, da je funkcija vzdolz njih monotona. Recimo na prvem delu poti: (-2,1) do (-1,1) se spreminja samo x, torej gres po z=(x^2-1), ki je na tem intervalu monotona.
Tvoj nacin:
\(z=-\frac{x}{2}(x^2-1)\)
na obmocju po x od -2 do 2.
Ta funkcija pa ni monotona, torej ne bo slo.
Se malo pomisli kaksni nacini se obstajajo. Prilagam skico moje poti
\(y=\frac{z}{x^2-1}\)
Te krivulje so dovolj grde, da si z njimi ne mores pomagat.
Pogoj, da se nikoli ne vzpenjas pomeni, da nikoli nobene nivojnice ne sekas dvakrat. Nacinov kako prides tja je pa ogromno. En zelo lep nacin je, da se premikas pravokotno na nivojnice (v smeri gradienta z) do neke nivojnice in potem po nivojnici naprej. Ni pa treba ravno komplicirat, potovanje po gradientu je ponavadi precej ukrivljeno in zahteva integracijo.
Zanimiva je nivojnica pri z=0 (\(x=\pm 1\), \(y=0\)). Jaz bi sel iz tocke (-2,1) naravnost v desno do tocke (-1,1). Potem gres lahko po nicelni nivojnici naokrog do (1,-1), od koder gres spet naravnost desno do (2,-1) (zrcalna slika prejsnjega). Tako vecino casa prezivis na isti nivojnici in ti ni treba skrbet za druge komplikacije.
Moznih prerezov je neskoncno, samo za ravne poti v smeri koordinatnih osi je zelo enostavno pokazat, da je funkcija vzdolz njih monotona. Recimo na prvem delu poti: (-2,1) do (-1,1) se spreminja samo x, torej gres po z=(x^2-1), ki je na tem intervalu monotona.
Tvoj nacin:
\(z=-\frac{x}{2}(x^2-1)\)
na obmocju po x od -2 do 2.
Ta funkcija pa ni monotona, torej ne bo slo.
Se malo pomisli kaksni nacini se obstajajo. Prilagam skico moje poti
- Priponke
-
Zadnjič spremenil Aniviller, dne 29.8.2009 15:35, skupaj popravljeno 1 krat.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Kaksna lepa slikca.
Gres lahko (-2,1),(-2,0),(2,0),(2,-1)? Tako tudi ne sekas dvakrat.
A integracijo potrebujes ce zelis vedet dolzino poti? Koliko moras zakomplicirat da potrebujes integracijo?
Gres lahko (-2,1),(-2,0),(2,0),(2,-1)? Tako tudi ne sekas dvakrat.
A integracijo potrebujes ce zelis vedet dolzino poti? Koliko moras zakomplicirat da potrebujes integracijo?
Re: Funkcije vec spremenljivk
Sej s slikco sem se kar namatral da ni samo kup spagetov. gnuplot je v 3d malo okoren.
Lahko gres tud direkt ja. Sej lahko gres tudi najprej dol do crte pa cist naravnost. Samo med x=-1 in x=1 pa je edina pot y=0, ker ce gres bolj gor, si v skledi, ce gres pa bolj dol pa lezes na hrib.
Integracijo potrebujes, ce hoces it po najhitrejsi poti (tocno po klancu navzdol). Ker za tisto pot velja (pot v parametricni obliki)
\(\frac{d\vec{r}}{dt}=\nabla z\)
kar pomeni
\(x'=z_x\quad y'=z_y\)
(enacbi sta ponavadi sklopljeni).
Ta nacin je pomemben v optimizaciji, ko mora biti pot cim hitrejsa in cim bolj gladka. Ce je pa samo pogoj monotonosti pa to nima smisla.
Poleg tega se lahko zastrikas. Vsako razpotje (sleme) te lahko pripelje na napacen konec. V nasem primeru bi se skotalili navzdol in ko bi prisli do z=-3, bi bili na modri nivojnici na LEVI strani slike, po tej pa ne prides na desno modro nivojnico, ker nista sklenjeni (obe teceta v neskoncnost).
Lahko gres tud direkt ja. Sej lahko gres tudi najprej dol do crte pa cist naravnost. Samo med x=-1 in x=1 pa je edina pot y=0, ker ce gres bolj gor, si v skledi, ce gres pa bolj dol pa lezes na hrib.
Integracijo potrebujes, ce hoces it po najhitrejsi poti (tocno po klancu navzdol). Ker za tisto pot velja (pot v parametricni obliki)
\(\frac{d\vec{r}}{dt}=\nabla z\)
kar pomeni
\(x'=z_x\quad y'=z_y\)
(enacbi sta ponavadi sklopljeni).
Ta nacin je pomemben v optimizaciji, ko mora biti pot cim hitrejsa in cim bolj gladka. Ce je pa samo pogoj monotonosti pa to nima smisla.
Poleg tega se lahko zastrikas. Vsako razpotje (sleme) te lahko pripelje na napacen konec. V nasem primeru bi se skotalili navzdol in ko bi prisli do z=-3, bi bili na modri nivojnici na LEVI strani slike, po tej pa ne prides na desno modro nivojnico, ker nista sklenjeni (obe teceta v neskoncnost).
Re: Funkcije vec spremenljivk
Ja se pozna na slikci.
Kolko so prav te izjave?
Lokalne ekstreme iscemo tako da naprej nardimo parcialne odvode po vseh spremenljivkah, izenacimo z nic in dobimo kriticne tocke. Potem nardimo Hessejevo matriko in njeno determinanto in vidimo kaj je ta kriticna tocka. Kaj ta rec z determinanto velja samo za fun dveh spr. ali tudi za vec? In kaksen je kriterij ce velja za vec?
btw: kaj si na linuxih?
Kolko so prav te izjave?
Lokalne ekstreme iscemo tako da naprej nardimo parcialne odvode po vseh spremenljivkah, izenacimo z nic in dobimo kriticne tocke. Potem nardimo Hessejevo matriko in njeno determinanto in vidimo kaj je ta kriticna tocka. Kaj ta rec z determinanto velja samo za fun dveh spr. ali tudi za vec? In kaksen je kriterij ce velja za vec?
btw: kaj si na linuxih?
Re: Funkcije vec spremenljivk
No, to da vse odvode izenacis z nic, to poznas.
Hessejeva matrika pa je posplositev drugega odvoda in predstavlja ukrivljenosti povrsine. Vse skupaj je zelo podobno kvadratnim formam. Med druge odvode spadajo tudi mesani odvodi, ki pa so nic, ce se zavrtis v lastni sistem. V tem primeru imas recimo v x smeri najbolj strmo luknjo, v y pa najmanj (vmes pa vse ostalo). Ce Hessejevo matriko diagonaliziras, dobis lastne vrednosti, ki so drugi odvodi v lastnih smereh. Torej, ce prerezes v lastni smeri, dobis funkcijo, ki ima v ekstremu drugi odvod, enak lastni vrednosti. Lastnih vrednosti je seveda toliko kot je dimenzij. Takoj je jasno, da je stvar minimum samo, ce so vse lastne vrednosti pozitivne (drugace si v eni smeri na vrhu previsa). Maksimum je, ce so vse lastne vrednosti negativne. Vse ostale kombinacije so nekaj vmes (v 2d je edina moznost pozitivno-negativno, ki je sedlo).
Determinanta matrike je produkt lastnih vrednosti. V 2D je to uporabno, ker je produkt enakih predznakov +, razlicnih pa -. V vec dimenzijah s tem nimas kaj pocet. Ze v 2D ne locis minimumov in maksimumov. Lepse je res vedno diagonalizirat matriko, je vse na pladnju.
Lahko je kaksna lastna vrednost tudi 0 (determinanta je potem tudi 0). To pomeni, da v tisti smeri ni ne maksimum, ne minimum ampak kar naravnost (sleme).
Povezava s kvadratnimi formami je taka, da lahko Hessejevi matriki direktno pripisemo kvadratno formo, ki je pravzaprav kvadratni taylorjev clen razvoja funkcije v tisti tocki (in se funkciji v tej tocki prilega). Ce hoces videti kaksnim ploskvam pripada kaksna Hessejeva matrika, samo skonstruiraj ploskev:
\(\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}\Rightarrow f(x,y)=\tfrac12 \left(ax^2+2bxy+cy^2\right)\). Ce sprobas diagonalne matrike poznas ze vse, ker so ostale samo obrnjene za nek kot.
Izohipse (nivojnice) funkcije okrog ekstrema so elipse (elipsoidi v vec dimenzijah), vse lastne vrednosti so enakega predznaka in dolocajo polosi elips, te pa so usmerjene v lastnih smereh Hessejeve matrike. Za vse ostale kombinacije pa je stvar malo hiperbolicna v eni smeri.
Tole sem malo nepregledno napisal, povej ce ni razumljivo.
Drugace sem na linuxu.
Hessejeva matrika pa je posplositev drugega odvoda in predstavlja ukrivljenosti povrsine. Vse skupaj je zelo podobno kvadratnim formam. Med druge odvode spadajo tudi mesani odvodi, ki pa so nic, ce se zavrtis v lastni sistem. V tem primeru imas recimo v x smeri najbolj strmo luknjo, v y pa najmanj (vmes pa vse ostalo). Ce Hessejevo matriko diagonaliziras, dobis lastne vrednosti, ki so drugi odvodi v lastnih smereh. Torej, ce prerezes v lastni smeri, dobis funkcijo, ki ima v ekstremu drugi odvod, enak lastni vrednosti. Lastnih vrednosti je seveda toliko kot je dimenzij. Takoj je jasno, da je stvar minimum samo, ce so vse lastne vrednosti pozitivne (drugace si v eni smeri na vrhu previsa). Maksimum je, ce so vse lastne vrednosti negativne. Vse ostale kombinacije so nekaj vmes (v 2d je edina moznost pozitivno-negativno, ki je sedlo).
Determinanta matrike je produkt lastnih vrednosti. V 2D je to uporabno, ker je produkt enakih predznakov +, razlicnih pa -. V vec dimenzijah s tem nimas kaj pocet. Ze v 2D ne locis minimumov in maksimumov. Lepse je res vedno diagonalizirat matriko, je vse na pladnju.
Lahko je kaksna lastna vrednost tudi 0 (determinanta je potem tudi 0). To pomeni, da v tisti smeri ni ne maksimum, ne minimum ampak kar naravnost (sleme).
Povezava s kvadratnimi formami je taka, da lahko Hessejevi matriki direktno pripisemo kvadratno formo, ki je pravzaprav kvadratni taylorjev clen razvoja funkcije v tisti tocki (in se funkciji v tej tocki prilega). Ce hoces videti kaksnim ploskvam pripada kaksna Hessejeva matrika, samo skonstruiraj ploskev:
\(\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}\Rightarrow f(x,y)=\tfrac12 \left(ax^2+2bxy+cy^2\right)\). Ce sprobas diagonalne matrike poznas ze vse, ker so ostale samo obrnjene za nek kot.
Izohipse (nivojnice) funkcije okrog ekstrema so elipse (elipsoidi v vec dimenzijah), vse lastne vrednosti so enakega predznaka in dolocajo polosi elips, te pa so usmerjene v lastnih smereh Hessejeve matrike. Za vse ostale kombinacije pa je stvar malo hiperbolicna v eni smeri.
Tole sem malo nepregledno napisal, povej ce ni razumljivo.
Drugace sem na linuxu.
Zadnjič spremenil Aniviller, dne 30.8.2009 11:45, skupaj popravljeno 3 krat.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Saj vidim, da Aniviller obvlada situacijo pa vseeno me prevec srbijo prsti, da ne bi kaj napisal.
Jaz vsem rad priporocam gnuplot iz cvs-ja, saj verzija 4.3 res zareze. Opazil sem neki cuden vnos v legendi in ce nekega opisa crte noces ga lahko eliminiras z dodatkom notitle.
Ja, moje mnenje je tudi enako glede linuxa. Ce hoces programirat in zganjat racunsko znanost je to edina pot, ki te bo pripeljala preko vode brez zivcnega. Mene so osebno Windowsi pri diplomi skoraj pripeljali do zivcnega in takrat sem preusmeril energijo v Linux/Unix OS. In ne obzaluje odlocitve.
Nekaj o razvojih funckij v vec dimenzijah: Recimo, da imamo realni vektor \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) in funkcijo \(F(x)=(F_1(x),\ldots,F_m(x))\), potem se Taylorjev razvoj te funkcije glasi
\(F_\alpha(a+x) = F_\alpha(a) + \sum_i \partial_i F_\alpha (a) x_i
+ 1/2 \sum_{i,j}\partial_i \partial_j F_\alpha (x) x_i x_j + \ldots
,\)
kjer je indeks \(\alpha\in[1,\ldots,m]\). Takoj se opazi, da je prvi clen kar vrednost v tocki razvoja, drugi je gradient v tocki \(a\) v smeri \(x\) in tretji je nekaj kar je povezano s Hessijevo matriko za vsako komponento funkcije, cetrti pa nimam pojma, ce ima kaksno ime. Ce imamo skalarno funkcijo, recimo \(F(x) \in R\), potem se zgornja klobasa prepise v
\(F(a+x) = F(a)+ x \cdot [ \nabla F(a)] + 1/2 x \cdot H \cdot x +\ldots\>.\)
Tukaj z \(H\) oznacimo Hessejevo matriko, katerih matricni elementi so \(H_{i,j}=\partial_i \partial_j F(a)\). V primeru, da je \(a\) t.i. ektremna tocka, to pomeni, da je \(\nabla F(a)\). Torej vidis, ami, da vse kar si sedaj delala v 2d se da enostavno prenesti na n-dimenzionalne primere.
Treba je tukaj opozoriti, da je H simetricna matrika in
\(Q(x) = x \cdot H \cdot x\)
kar se tudi lepse napise v matricni notaciji kot
\(Q(x) = x^T H x\)
je lepa kvadratna forma, ki sta jo z Anivillerjem ze obdelala. Oz. obdelala sta njeno diagonalno obliko. Diagonalno obliko dobis, ce Hessijevo matriko \(H\) diagonaliziras:
\(H = O^T D O\)
pri cemer je \(D=diag(d_1,\ldots,d_n)\) diagonalna matrika in O je ortogonalna matrika. Potem enostano kvadratno formo prepises v
\(Q(x) = (O x) \cdot D \cdot (O x),\)
Sedaj se vidi, da je Q(x) v koordinatah \(y=Ox=(y_1,\ldots,y_n)\) res diagonalna
\(Q(x) = \sum_i d_i y_i^2\)
Verjetno sem sedaj povedal veliko znanega, se oproscam. Morda pa bo drugemu kaj pomagalo.
Jaz vsem rad priporocam gnuplot iz cvs-ja, saj verzija 4.3 res zareze. Opazil sem neki cuden vnos v legendi in ce nekega opisa crte noces ga lahko eliminiras z dodatkom notitle.
Ja, moje mnenje je tudi enako glede linuxa. Ce hoces programirat in zganjat racunsko znanost je to edina pot, ki te bo pripeljala preko vode brez zivcnega. Mene so osebno Windowsi pri diplomi skoraj pripeljali do zivcnega in takrat sem preusmeril energijo v Linux/Unix OS. In ne obzaluje odlocitve.
Nekaj o razvojih funckij v vec dimenzijah: Recimo, da imamo realni vektor \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) in funkcijo \(F(x)=(F_1(x),\ldots,F_m(x))\), potem se Taylorjev razvoj te funkcije glasi
\(F_\alpha(a+x) = F_\alpha(a) + \sum_i \partial_i F_\alpha (a) x_i
+ 1/2 \sum_{i,j}\partial_i \partial_j F_\alpha (x) x_i x_j + \ldots
,\)
kjer je indeks \(\alpha\in[1,\ldots,m]\). Takoj se opazi, da je prvi clen kar vrednost v tocki razvoja, drugi je gradient v tocki \(a\) v smeri \(x\) in tretji je nekaj kar je povezano s Hessijevo matriko za vsako komponento funkcije, cetrti pa nimam pojma, ce ima kaksno ime. Ce imamo skalarno funkcijo, recimo \(F(x) \in R\), potem se zgornja klobasa prepise v
\(F(a+x) = F(a)+ x \cdot [ \nabla F(a)] + 1/2 x \cdot H \cdot x +\ldots\>.\)
Tukaj z \(H\) oznacimo Hessejevo matriko, katerih matricni elementi so \(H_{i,j}=\partial_i \partial_j F(a)\). V primeru, da je \(a\) t.i. ektremna tocka, to pomeni, da je \(\nabla F(a)\). Torej vidis, ami, da vse kar si sedaj delala v 2d se da enostavno prenesti na n-dimenzionalne primere.
Treba je tukaj opozoriti, da je H simetricna matrika in
\(Q(x) = x \cdot H \cdot x\)
kar se tudi lepse napise v matricni notaciji kot
\(Q(x) = x^T H x\)
je lepa kvadratna forma, ki sta jo z Anivillerjem ze obdelala. Oz. obdelala sta njeno diagonalno obliko. Diagonalno obliko dobis, ce Hessijevo matriko \(H\) diagonaliziras:
\(H = O^T D O\)
pri cemer je \(D=diag(d_1,\ldots,d_n)\) diagonalna matrika in O je ortogonalna matrika. Potem enostano kvadratno formo prepises v
\(Q(x) = (O x) \cdot D \cdot (O x),\)
Sedaj se vidi, da je Q(x) v koordinatah \(y=Ox=(y_1,\ldots,y_n)\) res diagonalna
\(Q(x) = \sum_i d_i y_i^2\)
Verjetno sem sedaj povedal veliko znanega, se oproscam. Morda pa bo drugemu kaj pomagalo.