Kako bi se resili tidve nalogi?
1.
Imas kroznico z radijem 2 v sredini koordinatnega sistema. Potem gre ena daljica od (0,0) do (a,b) kjer je (a,b) na kroznici in drugo daljico (0,1) do (a,b) - isti (a,b) kot prej. Treba je najdit (a,b) da bo kot med daljicama cim manjsi. Kako bi se to resilo s funkcijami vec spremenljivk?
2.
imas neko funkcijo npr. z^3 + xy + z = 0. pa ves da ce vstavis za x in y neko vrednost dobis neko tudi ze znano vrednost. Kako pokazat da obstaja neka funkcija oblike z = f(x,y). To verjetno se ne da nardit s funkcijo ki sem jo gor napisala ker sem si jo kar izmislila. Zanima me postopek.
Kje bi se dalo dobit podobne naloge?
Funkcije vec spremenljivk
Re: Funkcije vec spremenljivk
Za prvo ne rabis vec kot ene spremeljivke. Najlazje je, da ugotovis, da je kot med daljicama enak nic, ko je (a,b)=(0,2) ali (a,b)=(0,-2). To je ze kar minimum.
Drugace: neka tocka na kroznici je \(R(\cos\phi,\sin\phi)\). Iscemo \(\phi\), da bo kot najmanjsi. Manjsi kot, vecji kosinus kota, torej maksimiziramo skalarni produkt, deljen z dolzinami. Prva daljica je kar krajevni vektor tocke na kroznici, \(a=R(\cos\phi,\sin\phi)\). Druga daljica je pa \(b=R(\cos\phi,\sin\phi)-(0,1)=(R\cos\phi,R\sin\phi-1)\). Torej:
\(f(\phi)=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{R(R\cos^2\phi+\sin\phi(R\sin\phi-1))}{R\cdot \sqrt{R^2+1-2 R\sin\phi}}\)
\(f(\phi)=\frac{R-\sin\phi}{\sqrt{R^2+1-2R\sin\phi}}\).
Tej stvari poisces ekstreme. Pazi, dobis tudi minimume funkcije f (minimalne kosinuse kota), se pravi maksimume kota.
Ce pa res hoces funkcije dveh spremeljivk, moras pa uporabit vezane ekstreme. Torej, iscemo spet minimum funkcije
\(f(a,b)=\frac{(a,b)\cdot(a,b-1)}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+(b-1)^2}}\)
Pod pogojem, da je vez
\(g(a,b)=a^2+b^2-R^2=0\)
Zdaj poisces ekstrem funkcije
\(L(a,b,\lambda)=f(a,b)-\lambda g(a,b)=\frac{a^2+b^2-b}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+(b-1)^2}}-\lambda(a^2+b^2-R^2)\)
Odvajas po a in po b, dobis a in b, odvisna bosta se od \(\lambda\). To pa dolocis tako, da vstavis v g(a,b)=0 in izrazis \(\lambda\). Ta korak zagotovi, da je (a,b) na kroznici.
2. Hm... enacba mora imeti enolicno resitev za z. Si pa cudno formulirala problem, bi se dalo to malo razjasnit (tisto o znani vrednosti,...).
Drugace: neka tocka na kroznici je \(R(\cos\phi,\sin\phi)\). Iscemo \(\phi\), da bo kot najmanjsi. Manjsi kot, vecji kosinus kota, torej maksimiziramo skalarni produkt, deljen z dolzinami. Prva daljica je kar krajevni vektor tocke na kroznici, \(a=R(\cos\phi,\sin\phi)\). Druga daljica je pa \(b=R(\cos\phi,\sin\phi)-(0,1)=(R\cos\phi,R\sin\phi-1)\). Torej:
\(f(\phi)=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{R(R\cos^2\phi+\sin\phi(R\sin\phi-1))}{R\cdot \sqrt{R^2+1-2 R\sin\phi}}\)
\(f(\phi)=\frac{R-\sin\phi}{\sqrt{R^2+1-2R\sin\phi}}\).
Tej stvari poisces ekstreme. Pazi, dobis tudi minimume funkcije f (minimalne kosinuse kota), se pravi maksimume kota.
Ce pa res hoces funkcije dveh spremeljivk, moras pa uporabit vezane ekstreme. Torej, iscemo spet minimum funkcije
\(f(a,b)=\frac{(a,b)\cdot(a,b-1)}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+(b-1)^2}}\)
Pod pogojem, da je vez
\(g(a,b)=a^2+b^2-R^2=0\)
Zdaj poisces ekstrem funkcije
\(L(a,b,\lambda)=f(a,b)-\lambda g(a,b)=\frac{a^2+b^2-b}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+(b-1)^2}}-\lambda(a^2+b^2-R^2)\)
Odvajas po a in po b, dobis a in b, odvisna bosta se od \(\lambda\). To pa dolocis tako, da vstavis v g(a,b)=0 in izrazis \(\lambda\). Ta korak zagotovi, da je (a,b) na kroznici.
2. Hm... enacba mora imeti enolicno resitev za z. Si pa cudno formulirala problem, bi se dalo to malo razjasnit (tisto o znani vrednosti,...).
Re: Funkcije vec spremenljivk
1.
Ups. Tam sem falila. Se isce najvecji kot med njima.... Ma dobro sej potem iscemo maksimum.
Kaj se ti da napisat se do konca? (tisi del s funk. vec spr.) Sej ne rabis zares odvajat, samo s simboli... Ker ne vem tocno kaj delat z odvodom po a in odvodom po b.
2.
To o znani vrednosti sem mislila, da ce vstavis v x=1 in y=2 ves da dobis z=3. (to ne velja za z^3 + xy + z = 0). Mislim, da je treba pokazat tri svari, samo nisem sigurna.
Ups. Tam sem falila. Se isce najvecji kot med njima.... Ma dobro sej potem iscemo maksimum.
Kaj se ti da napisat se do konca? (tisi del s funk. vec spr.) Sej ne rabis zares odvajat, samo s simboli... Ker ne vem tocno kaj delat z odvodom po a in odvodom po b.
2.
To o znani vrednosti sem mislila, da ce vstavis v x=1 in y=2 ves da dobis z=3. (to ne velja za z^3 + xy + z = 0). Mislim, da je treba pokazat tri svari, samo nisem sigurna.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Aha, vezani ekstremi. No, isces ekstrem v dveh dimenzijah, kar pomeni, da morata biti oba parcialna odvoda enaka 0. Recimo
\(\frac{\partial L}{\partial a}=\frac{a^3+ab-ab^2}{\sqrt{a^2+b^2}^3\sqrt{a^2+(b-1)^2}^3}-2 \lambda a=0\)
\(\frac{\partial L}{\partial b}=\frac{2a^2b-a^2}{\sqrt{a^2+b^2}^3\sqrt{a^2+(b-1)^2}^3}-2 \lambda b=0\)
(hehe, ocitno je ta naloga eden izmed tistih primerov, kjer vezani ekstremi hudo poslabsajo stvari)
V glavnem, imas
\(\frac{\partial L}{\partial a}=0\)
\(\frac{\partial L}{\partial b}=0\)
\(g(a,b)=0\)
To so tri enacbe, tri neznake so pa \(a,b,\lambda\). \(\lambda\) je samo pomozni rezultat, (a,b) je pa tvoja tocka (enacbe niso linearne, zato dobis ven vec kot eno resitev).
Za tale primer so imenovalci tako grdi, da je edino pametno najprej uporabit g(a,b), da pretvoris \(\sqrt{a^2+b^2}=R\) in \(\sqrt{a^2+(b-1)^2}=\sqrt{R^2-2b+1}\). Potem mnozis enacbi z imenovalcem, das clen s korenom na drugo stran in kvadriras.
Mnozica korenov pride zato, ker resujemo problem na kroznici brez kotnih funkcij. Nauk zgodbe: pametna izbira novih spremeljivk je stokrat vec vredna kot vezani ekstremi, ceprav so ti mocno orodje v primeru, ko ne znas vezi eksplicitno izrazit.
Po drugi strani, ko odvajas kotno varianto, dobis \(\cos\phi(R\sin\phi-1)=0\) od koder dobis \(\cos\phi=0\) (to so minimumi) in \(\sin\phi=1/R\) (maksimumi).
2. Tole ne bi znal formulirat v obliki izrekov... sama enolicnost je pogojena s tem, da je leva stran enacbe injektivna v spremeljivki z. Dober primer je kroznica:
\(x^2+y^2-1=0\)
Funkcija na levi ni injektivna v y (za y in za -y ima isto vrednost), zato ima obrat dve resitvi.
To, da ima funkcija vedno vsaj eno resitev je pa pogojeno s surjektivnostjo. Zgornja funkcija ni surjektivna (za noben y ni recimo leva stran manjsa od -1), zato enacba nima resitev za \(|x|>1\) (kroznica pac).
Tvoj primer je dokaj dober: z^3+xy+z=0
Injektivna ni: za nekatere x in y bo imelo 3 resitve.
Surjektivna je: za vsak x in y bo imelo vsaj eno resitev.
\(\frac{\partial L}{\partial a}=\frac{a^3+ab-ab^2}{\sqrt{a^2+b^2}^3\sqrt{a^2+(b-1)^2}^3}-2 \lambda a=0\)
\(\frac{\partial L}{\partial b}=\frac{2a^2b-a^2}{\sqrt{a^2+b^2}^3\sqrt{a^2+(b-1)^2}^3}-2 \lambda b=0\)
(hehe, ocitno je ta naloga eden izmed tistih primerov, kjer vezani ekstremi hudo poslabsajo stvari)
V glavnem, imas
\(\frac{\partial L}{\partial a}=0\)
\(\frac{\partial L}{\partial b}=0\)
\(g(a,b)=0\)
To so tri enacbe, tri neznake so pa \(a,b,\lambda\). \(\lambda\) je samo pomozni rezultat, (a,b) je pa tvoja tocka (enacbe niso linearne, zato dobis ven vec kot eno resitev).
Za tale primer so imenovalci tako grdi, da je edino pametno najprej uporabit g(a,b), da pretvoris \(\sqrt{a^2+b^2}=R\) in \(\sqrt{a^2+(b-1)^2}=\sqrt{R^2-2b+1}\). Potem mnozis enacbi z imenovalcem, das clen s korenom na drugo stran in kvadriras.
Mnozica korenov pride zato, ker resujemo problem na kroznici brez kotnih funkcij. Nauk zgodbe: pametna izbira novih spremeljivk je stokrat vec vredna kot vezani ekstremi, ceprav so ti mocno orodje v primeru, ko ne znas vezi eksplicitno izrazit.
Po drugi strani, ko odvajas kotno varianto, dobis \(\cos\phi(R\sin\phi-1)=0\) od koder dobis \(\cos\phi=0\) (to so minimumi) in \(\sin\phi=1/R\) (maksimumi).
2. Tole ne bi znal formulirat v obliki izrekov... sama enolicnost je pogojena s tem, da je leva stran enacbe injektivna v spremeljivki z. Dober primer je kroznica:
\(x^2+y^2-1=0\)
Funkcija na levi ni injektivna v y (za y in za -y ima isto vrednost), zato ima obrat dve resitvi.
To, da ima funkcija vedno vsaj eno resitev je pa pogojeno s surjektivnostjo. Zgornja funkcija ni surjektivna (za noben y ni recimo leva stran manjsa od -1), zato enacba nima resitev za \(|x|>1\) (kroznica pac).
Tvoj primer je dokaj dober: z^3+xy+z=0
Injektivna ni: za nekatere x in y bo imelo 3 resitve.
Surjektivna je: za vsak x in y bo imelo vsaj eno resitev.
Re: Funkcije vec spremenljivk
O super tnx tnx. Prav to sem rabila. 
Zdaj bom dala mir za nekaj casa
Upam.
Zdaj bom dala mir za nekaj casa
Upam.Re: Funkcije vec spremenljivk
Sem nazaj.
doloci min in max funkcije: \(f(x,y) = \sin{(x)} + \sin{(y)} + \sin{(x+y)}\)
na mnozici \(D = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2} \right \}\)
Jaz sem to resevala tako:
\(\frac{\partial f}{\partial x} = \cos{(x)} + cos{(x+y)} = 0\)
\(\frac{\partial f}{\partial y} = \cos{(y)} + cos{(x+y)} = 0\)
Sledi: x = y
Dobim kvadratno enacbo: \(2 \cos^2{(x)} + \cos{(x)} - 1 = 0\)
Resitve:
\(x_1 = \frac{1}{2}\)
\(x_2 = -1\)
\(x_1\) je vredu resitev (maksimum), \(x_2\) ni ker ni v D.
Kako naj dobim minimum? Da ga uganem ne velja. To se verjetno da nekako resit z vezanimi ekstremi... samo pojma nimam kako bi to nardila.
doloci min in max funkcije: \(f(x,y) = \sin{(x)} + \sin{(y)} + \sin{(x+y)}\)
na mnozici \(D = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2} \right \}\)
Jaz sem to resevala tako:
\(\frac{\partial f}{\partial x} = \cos{(x)} + cos{(x+y)} = 0\)
\(\frac{\partial f}{\partial y} = \cos{(y)} + cos{(x+y)} = 0\)
Sledi: x = y
Dobim kvadratno enacbo: \(2 \cos^2{(x)} + \cos{(x)} - 1 = 0\)
Resitve:
\(x_1 = \frac{1}{2}\)
\(x_2 = -1\)
\(x_1\) je vredu resitev (maksimum), \(x_2\) ni ker ni v D.
Kako naj dobim minimum? Da ga uganem ne velja. To se verjetno da nekako resit z vezanimi ekstremi... samo pojma nimam kako bi to nardila.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Ni nujno, da je x=y. Lahko sta razmaknjena za 2pi. To sicer v tem primeru ne pride v postev zaradi ozkega definicijskega obmocja, ampak vredno je pripomniti.
Drugace je ok.
Za te naloge, ko isces ekstreme na omejenem obmocju moras vedno pazit, ker je globalni maksimum lahko tudi na robu, pa ni nujno da je tudi lokalni. Se pravi moras za vsakega izmed robov ugotovit, njegove vezane ekstreme, pa se to ni dovolj, ker so ekstremi lahko tudi na robu robov (vogali). Se pravi:
1. poisces lokalne ekstreme znotraj
2. poisces vezane ekstreme na robu
3. poisces vrednosti funkcije v vogalih
4. izracunas vrednosti funkcije v vseh teh tockah in poisces najmanjso in najvecjo.
V bistvu tudi ni nujno, da je najdeni maksimum res najvecja vrednost funkcije na tem obmocju.
Zdaj pa na vezane ekstreme: v tem primeru imas sreco. Obmocje je kvadratno, kar pomeni ravne robove. Ni ti treba uporabiti lagrangejevih multiplikatorjev ampak samo postavis eno vrednost na fiksno. Recimo spodnji rob:
y=0
\(f(x)=\sin x+0+\sin (x+0)=2\sin x\)
To je zdaj funkcija ene spremeljivke, ki ji isces ekstrem. Za zgornji rob je \(y=\tfrac{\pi}{2}\) in tako naprej.
Drugace je ok.
Za te naloge, ko isces ekstreme na omejenem obmocju moras vedno pazit, ker je globalni maksimum lahko tudi na robu, pa ni nujno da je tudi lokalni. Se pravi moras za vsakega izmed robov ugotovit, njegove vezane ekstreme, pa se to ni dovolj, ker so ekstremi lahko tudi na robu robov (vogali). Se pravi:
1. poisces lokalne ekstreme znotraj
2. poisces vezane ekstreme na robu
3. poisces vrednosti funkcije v vogalih
4. izracunas vrednosti funkcije v vseh teh tockah in poisces najmanjso in najvecjo.
V bistvu tudi ni nujno, da je najdeni maksimum res najvecja vrednost funkcije na tem obmocju.
Zdaj pa na vezane ekstreme: v tem primeru imas sreco. Obmocje je kvadratno, kar pomeni ravne robove. Ni ti treba uporabiti lagrangejevih multiplikatorjev ampak samo postavis eno vrednost na fiksno. Recimo spodnji rob:
y=0
\(f(x)=\sin x+0+\sin (x+0)=2\sin x\)
To je zdaj funkcija ene spremeljivke, ki ji isces ekstrem. Za zgornji rob je \(y=\tfrac{\pi}{2}\) in tako naprej.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Hvala, tista prajsnja naloga mi je zdaj cela jasna. 
Next: Poisci tocko v ravnini, za katero je vsota kvadratov oddaljenosti od premic x=0, y=0, x-y+1=0 najmanjsa.
tocka, ki jo iscemo: T(a,b)
Oddaljenost od x=0: a^2
Oddaljenost od y=0: b^2
Oddaljenost od x-y+1=0: (1/2)(b - a - 1)^2
Ker je smerni keficient premice 1, gre ta premica pod kotom 45 stopinj kar pomeni, da je oddaljenost tocke od premice vedno oblike ((k^2)*sqrt(2))/2 (polovic, ker je samo polovica diagonale oddaljenost). Stranico kvadrata, ki doloca oddaljenost sem dobila tako da sem od b odstela a+1. In nato poenostavila:
\(\frac{(\sqrt{2}*(b-a-1))^2 }{2^2} = \frac{(b-a-1)^2 }{2}\)
Zanima me ce sem prav nastavila, ker v resitvah je \(\frac{(b-a+1)^2 }{2}\) (pri enki je namesto minusa plus).
Na koncu iscem minimum funkcije:
\(f(x,y) = a^2 + b^2 + \frac{(b-a-1)^2}{2}\)
tako da odvajam parcialno po a in b in dobim dve enacbi z dvema neznankama. Je vse to skupaj ok?
Next: Poisci tocko v ravnini, za katero je vsota kvadratov oddaljenosti od premic x=0, y=0, x-y+1=0 najmanjsa.
tocka, ki jo iscemo: T(a,b)
Oddaljenost od x=0: a^2
Oddaljenost od y=0: b^2
Oddaljenost od x-y+1=0: (1/2)(b - a - 1)^2
Ker je smerni keficient premice 1, gre ta premica pod kotom 45 stopinj kar pomeni, da je oddaljenost tocke od premice vedno oblike ((k^2)*sqrt(2))/2 (polovic, ker je samo polovica diagonale oddaljenost). Stranico kvadrata, ki doloca oddaljenost sem dobila tako da sem od b odstela a+1. In nato poenostavila:
\(\frac{(\sqrt{2}*(b-a-1))^2 }{2^2} = \frac{(b-a-1)^2 }{2}\)
Zanima me ce sem prav nastavila, ker v resitvah je \(\frac{(b-a+1)^2 }{2}\) (pri enki je namesto minusa plus).
Na koncu iscem minimum funkcije:
\(f(x,y) = a^2 + b^2 + \frac{(b-a-1)^2}{2}\)
tako da odvajam parcialno po a in b in dobim dve enacbi z dvema neznankama. Je vse to skupaj ok?
Re: Funkcije vec spremenljivk
Ja ok bo. Drugace pa poznamo tudi splosno formulo za razdaljo med tocko in premico.
Premica:
\(ax+by+c=0\)
Tocka:
\((x_0,y_0)\)
Razdalja:
\(d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Po domace, enacbo premice normiras (delis z \(\sqrt{a^2+b^2}\)), in vstavis noter tocko.
Premica:
\(ax+by+c=0\)
Tocka:
\((x_0,y_0)\)
Razdalja:
\(d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Po domace, enacbo premice normiras (delis z \(\sqrt{a^2+b^2}\)), in vstavis noter tocko.
Re: Funkcije vec spremenljivk
O super.
Kaj pa ce imas implicitno podano funkcijo z=z(x,y):
\(x^3 - y^2 - 3x + 4y + z^2 + z - 8 = 0\).
Kako izracunas stacionarne/kriticne tocke?
Morda dopolnis do polnih kvadratov? Samo prej bi rabili odvajat... Ah nevem.
Kaj pa ce imas implicitno podano funkcijo z=z(x,y):
\(x^3 - y^2 - 3x + 4y + z^2 + z - 8 = 0\).
Kako izracunas stacionarne/kriticne tocke?
Morda dopolnis do polnih kvadratov? Samo prej bi rabili odvajat... Ah nevem.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Uf.. moznosti je vec. Popolni kvadrati pomagajo, ker dobis lepso obliko, iz katere bi se vsaj v y smeri dalo dolociti ekstrem. Ce ne bi bilo kubicnega clena v x bi bila to kvadratna forma, recimo elipsoid, za katerega vemo kaksne oblike je in kje ima ekstrem. Kubicni clen pa malo pokvari tako da bo treba vseeno odvajat.
Implicitno odvajas (enkrat po x, enkrat po y):
\(\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=3x^2-3+2z\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}=0\)
\(\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}=-2y+4+2z\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial y}=0\)
Pogoj za ekstrem je, da sta oba parcialna odvoda z-ja enaka nic. Ko to vstavis ne ostane veliko.
\(3x^2-3=0\)
\(-2y+4=0\)
Dobis dva ekstrema (prva enacba ima dve resitvi). Zdaj vidis se eno podrobnost: v izrazu ni bilo mesanih clenov, zato sta ti dve enacbi neodvisni.
Implicitno odvajas (enkrat po x, enkrat po y):
\(\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=3x^2-3+2z\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}=0\)
\(\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}=-2y+4+2z\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial y}=0\)
Pogoj za ekstrem je, da sta oba parcialna odvoda z-ja enaka nic. Ko to vstavis ne ostane veliko.
\(3x^2-3=0\)
\(-2y+4=0\)
Dobis dva ekstrema (prva enacba ima dve resitvi). Zdaj vidis se eno podrobnost: v izrazu ni bilo mesanih clenov, zato sta ti dve enacbi neodvisni.
Re: Funkcije vec spremenljivk
In ce bi bili mesani cleni? Kako bi se izracunalo, ker bi prisle odvisne enacbe?
Aja pa to implicitno odvajanje je cisto enako kot eksplicitno?
Aja pa to implicitno odvajanje je cisto enako kot eksplicitno?
Re: Funkcije vec spremenljivk
Odvajanje je ze isto, edina razlika je, da smo upostevali, da sta x in y neodvisni spremeljivki (pri parcialnem odvodu po x so y padli stran), z pa ni neodvisna neodvisna spremeljivka ampak z(x,y), zato ostanejo notri tudi odvodi z-ja po x in y.
Ce so enacbe sklopljene, potem pac kot ponavadi resujes sistem enacb. Ce sta samo dve ali tri dobro deluje izrazanje in vstavljanje. Ce so linearne lahko uporabis Gaussovo eliminacijo. Vcasih koristi kaksno odstevanje in sestevanje.
Ce so enacbe sklopljene, potem pac kot ponavadi resujes sistem enacb. Ce sta samo dve ali tri dobro deluje izrazanje in vstavljanje. Ce so linearne lahko uporabis Gaussovo eliminacijo. Vcasih koristi kaksno odstevanje in sestevanje.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Jasno mi je kot beli dan. (ok ne danasnji)
Kaj pa limite funk. vec. spr.? npr:
\(\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}{\frac{xy}{x^2 + y^2}}\)
Do zdaj sem limite take oblike resevala tako da sem jih preoblikovala na e na nekaj. Te pa ne morem. Verjetno obstaja nek nacin kako se jih racuna... Jaz bi to resla tako, da najprej fiksiram x in zracunam, potem fiksiram y... Nisem pa sigurna ce smem tako delat.
Kaj pa limite funk. vec. spr.? npr:
\(\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}{\frac{xy}{x^2 + y^2}}\)
Do zdaj sem limite take oblike resevala tako da sem jih preoblikovala na e na nekaj. Te pa ne morem. Verjetno obstaja nek nacin kako se jih racuna... Jaz bi to resla tako, da najprej fiksiram x in zracunam, potem fiksiram y... Nisem pa sigurna ce smem tako delat.
Re: Funkcije vec spremenljivk
Hm... mislim da ce limita je definirana, potem lahko tudi vsakega posebej limitiras.
Predstavljaj si limitiranje v ravnini proti tocki (0,0). Ce pise tako, kot si ti zapisala, pomeni, da mora limita bit enaka ne glede na to od kod se tocki priblizujes. Torej lahko posamicno limitiras. Ce ni enolicno dolocena, pa tega ne smes pocet (lahko se ti zgodi, da je od vrstnega reda limit odvisen rezultat).
Lahko pa tudi pretvoris v druge koordinate (za ta primer polarne) in limitiras hkrati. V tem primeru
\(\lim_{r\to 0}\frac{r \cos\phi r \sin\phi}{r^2}=\cos\phi\sin\phi\)
Ocitno ta limita ni enolicno definirana in formalno recemo da ne obstaja. Od kota, pod katerim se sredinski tocki priblizujes je odvisen rezultat. V sredini mora torej bit neke vrste nezveznost. Narisi si to funkcijo z nekim programom.
Predstavljaj si limitiranje v ravnini proti tocki (0,0). Ce pise tako, kot si ti zapisala, pomeni, da mora limita bit enaka ne glede na to od kod se tocki priblizujes. Torej lahko posamicno limitiras. Ce ni enolicno dolocena, pa tega ne smes pocet (lahko se ti zgodi, da je od vrstnega reda limit odvisen rezultat).
Lahko pa tudi pretvoris v druge koordinate (za ta primer polarne) in limitiras hkrati. V tem primeru
\(\lim_{r\to 0}\frac{r \cos\phi r \sin\phi}{r^2}=\cos\phi\sin\phi\)
Ocitno ta limita ni enolicno definirana in formalno recemo da ne obstaja. Od kota, pod katerim se sredinski tocki priblizujes je odvisen rezultat. V sredini mora torej bit neke vrste nezveznost. Narisi si to funkcijo z nekim programom.