Zanima me, če zna kdo rešit tele integrale:
\(\int{\frac{ln(\cos x)}{\cos^2x}}dx\)
\(\int\frac{1}{3-3\sin^2x +5\cos x}dx\)
\(\int\frac{cos 3x}{cos^2 x}dx\)
Nedoločeni integral
Re: Nedoločeni integral
1. per partes (odvajaj logaritem)
2. ce ne gre drugace, univerzalna substitucija (tangens polovicnega kota).
3. razpisi stevec
2. ce ne gre drugace, univerzalna substitucija (tangens polovicnega kota).
3. razpisi stevec
Re: Nedoločeni integral
Po nekaj računanja dobim integral:
\(\int{\frac{sin^2 x}{cos x}}dx\), poskusila sem uporabiti \(cos^2 x= 1- sin^2 x\) in substitucijo \(t=sin x\), vendar ne pridem do rezultata, kako bi se še lahko lotila tega integrala?
\(\int{\frac{sin^2 x}{cos x}}dx\), poskusila sem uporabiti \(cos^2 x= 1- sin^2 x\) in substitucijo \(t=sin x\), vendar ne pridem do rezultata, kako bi se še lahko lotila tega integrala?
Re: Nedoločeni integral
Za vse trigonometricne integrale velja: ce ne gre drugace: univerzalna substitucija t=tan(x/2).
Mislim da bo najlazje, ce najprej naredis \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) in resujes \(\int\frac1{\cos x}{\,\rm d}x\).
Mislim da bo najlazje, ce najprej naredis \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) in resujes \(\int\frac1{\cos x}{\,\rm d}x\).
Re: Nedoločeni integral
\(\int{\frac{ln(\cos x)}{\cos^2x}}dx\)
\(u = \ln(\cos(x))\)
\(du = -\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(dv = \frac{1}{\cos^2 x}\)
\(v = \tan x\)
Perpartes:
\(u v - \int v du\)
zdej rabis samo se uni noter integral zracunat:
\(- \int \frac{\sin^2 x}{\ cos^2 x} dx = - \int \frac{1 - \cos^2 x}{\ cos^2 x} dx = - \int ( \frac{1}{\ cos^2 x} - 1 ) dx = x - \tan x + C\)
Samo upam, da nisem kje falila po poti.
\(u = \ln(\cos(x))\)
\(du = -\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(dv = \frac{1}{\cos^2 x}\)
\(v = \tan x\)
Perpartes:
\(u v - \int v du\)
zdej rabis samo se uni noter integral zracunat:
\(- \int \frac{\sin^2 x}{\ cos^2 x} dx = - \int \frac{1 - \cos^2 x}{\ cos^2 x} dx = - \int ( \frac{1}{\ cos^2 x} - 1 ) dx = x - \tan x + C\)
Samo upam, da nisem kje falila po poti.
Re: Nedoločeni integral
Hvala, sedaj mi je dosti bolj jasno,;) še vedno pa ne vem kako bi rešila integral \(\int\frac1{\cos x}{\,\rm d}x\) in drugi integral (kako uporabiš tg x/2, mogoče kaj prav pride \(\frac{1}{cos^2 x}=1 + tg^2 x\)) ? Lp
Re: Nedoločeni integral
ami: Aha, to je pa bolj smiselno. Jaz nisem sel racunat in sem predpostavil pravilnost izraza
Zadnji integral:
\(\cos 3x=\cos^3 x-3\sin^2 x \cos x=4\cos^3 x-3\cos x\)
Tukaj bo pa res opravka z integralom \(\int\frac 1{\cos x}{\,\rm d}x\).
tangens polovicnega kota pac vzames za novo spremeljivko "t": ta je dobra zato, ker se diferencial, kosinus in sinus vsi zapisejo s "t" brez korenov. Bo pa mogoce bolje da sama izracunas, ker je to najboljsa vaja za razumevanje.
Malo pazi kaj delasdelta napisal/-a:\int{\frac{sin^2 x}{cos x}}dx
Zadnji integral:
\(\cos 3x=\cos^3 x-3\sin^2 x \cos x=4\cos^3 x-3\cos x\)
Tukaj bo pa res opravka z integralom \(\int\frac 1{\cos x}{\,\rm d}x\).
tangens polovicnega kota pac vzames za novo spremeljivko "t": ta je dobra zato, ker se diferencial, kosinus in sinus vsi zapisejo s "t" brez korenov. Bo pa mogoce bolje da sama izracunas, ker je to najboljsa vaja za razumevanje.
Re: Nedoločeni integral
Aniviller, hvala za razlago 
, uporabila sem \(t= \tan x/2\) in dobila \(\cos x= \frac{1-t^2}{1+t^2}\) in \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), to sem vstavila v integral in po nekaj računanja dobila integral rac. funkcije \(\int{\frac{1+t^2}{5t^4+12t^2-8}}\) tu sem razbila števec in računala vsak integral posebej, vendar ne pridem do rezultata (diskriminanto dobim D=304), ne vem kako bi se to dalo rešiti.
Pri nekem drugem integralu sem za novo spremenjivko vzela \(u^2=1-t^2\) poračunan integral je \(I=-u\), če vstavim \(u\) dobim \(I=-(\pm\sqrt{1-t^2})\), rešitev naloge je: \(-\sqrt{1-t^2}\), zanima me, na podlagi česa se tu odločimo za predznak +?
, uporabila sem \(t= \tan x/2\) in dobila \(\cos x= \frac{1-t^2}{1+t^2}\) in \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), to sem vstavila v integral in po nekaj računanja dobila integral rac. funkcije \(\int{\frac{1+t^2}{5t^4+12t^2-8}}\) tu sem razbila števec in računala vsak integral posebej, vendar ne pridem do rezultata (diskriminanto dobim D=304), ne vem kako bi se to dalo rešiti.Pri nekem drugem integralu sem za novo spremenjivko vzela \(u^2=1-t^2\) poračunan integral je \(I=-u\), če vstavim \(u\) dobim \(I=-(\pm\sqrt{1-t^2})\), rešitev naloge je: \(-\sqrt{1-t^2}\), zanima me, na podlagi česa se tu odločimo za predznak +?
Re: Nedoločeni integral
Predznak ponavadi vzames plus ze na zacetku. To je v celoti tvoja izbira, ker s tem sploh definiras kaj je u. \(u=\sqrt{1-t^2}\) ni ista spremeljivka kot \(u=-\sqrt{1-t^2}\). Ce gres ze od vsega zacetka noter s koreni, je povsod jasno, od kod kaksen predznak.
Zavedat se moras tudi, da vsaka substitucija v integralu velja samo v monotonem obmocju. Substitucija t=x^3-x recimo velja lahko samo pri integracijskem obmocju na enem izmed treh monotonih obmocij. V primeru u^2=1-t^2 primeru recimo so dovoljeni samo t med 0 in 1 ALI med -1 in 0. Oboje pa ne.
Se enkrat preracunaj tisti integral. Ne vem tocno o katerem govoris ampak ce gres 1/cos x:
\(\int \frac{1}{\cos x}{\rm d}x=\int\frac{2}{(1+t^2)}\frac{1+t^2}{1-t^2}{\rm d}t=\int\frac{2}{1-t^2}{\rm d}t\)
Ce mislis pa tistega z grdim imenovalcem je pa:
\(\int\frac{1}{3\cos ^2 x+5\cos x}{\rm d}x=\int\frac{2}{(1+t^2)}\frac{1}{3(1-t^2)^2/(1+t^2)^2+5 (1-t^2)/(1+t^2)}{\rm d}t\)
\(=\int\frac{2(1+t^2)}{3(1-t^2)^2+5 (1-t^2)(1+t^2)}{\rm d}t\)
\(=\int\frac{2(1+t^2)}{3t^4-6t^2+3+5-5t^4}{\rm d}t\)
\(=-\int\frac{1+t^2}{t^4+3t^2-4}{\rm d}t=-\int\frac{1+t^2}{(t^2-1)(t^2+4)}{\rm d}t\)
Upam da nisem se jaz kaksne neumnosti naredil zdaj.
Zavedat se moras tudi, da vsaka substitucija v integralu velja samo v monotonem obmocju. Substitucija t=x^3-x recimo velja lahko samo pri integracijskem obmocju na enem izmed treh monotonih obmocij. V primeru u^2=1-t^2 primeru recimo so dovoljeni samo t med 0 in 1 ALI med -1 in 0. Oboje pa ne.
Se enkrat preracunaj tisti integral. Ne vem tocno o katerem govoris ampak ce gres 1/cos x:
\(\int \frac{1}{\cos x}{\rm d}x=\int\frac{2}{(1+t^2)}\frac{1+t^2}{1-t^2}{\rm d}t=\int\frac{2}{1-t^2}{\rm d}t\)
Ce mislis pa tistega z grdim imenovalcem je pa:
\(\int\frac{1}{3\cos ^2 x+5\cos x}{\rm d}x=\int\frac{2}{(1+t^2)}\frac{1}{3(1-t^2)^2/(1+t^2)^2+5 (1-t^2)/(1+t^2)}{\rm d}t\)
\(=\int\frac{2(1+t^2)}{3(1-t^2)^2+5 (1-t^2)(1+t^2)}{\rm d}t\)
\(=\int\frac{2(1+t^2)}{3t^4-6t^2+3+5-5t^4}{\rm d}t\)
\(=-\int\frac{1+t^2}{t^4+3t^2-4}{\rm d}t=-\int\frac{1+t^2}{(t^2-1)(t^2+4)}{\rm d}t\)
Upam da nisem se jaz kaksne neumnosti naredil zdaj.
Re: Nedoločeni integral
Sedaj mi je jasno , zadnji integral sem poračunala in je prav (ni nobene neumnosti;)) Še enkrat hvala!
Re: Nedoločeni integral
Imam problem pri reševanju integralov racionalnih funkcij: zanima me, kako točno se 'niža stopnje v imenovalcu'
Za integral \(\int\frac{2x+3}{x^3(x+1)^2}}dx\) velja, da \(=\frac{Ax^2+Bx+C}{x^2(x+1)^1}+Dln\mid x\mid + Eln \mid x+1\mid+F\), A,B,...so konstante, ki jih potem poračunamo.
Imam nek drug integral:
\(\int{\frac{1}{8}\frac{(1+t^2)^3}{(1-t)^4(1+t)^4 t^4}}dt\), (konstanto izpostavim pred integral) zanima me, če lahko nižamo za več kot eno stopnjo, oz., če lahko napišem:
\(={\frac{At^2+Bt+C}{(1-t)(1+t)t}}+D\ln \mid 1-t\mid + E\ln \mid 1+t\mid + F \ln \mid t \mid + G\)
Lp
Za integral \(\int\frac{2x+3}{x^3(x+1)^2}}dx\) velja, da \(=\frac{Ax^2+Bx+C}{x^2(x+1)^1}+Dln\mid x\mid + Eln \mid x+1\mid+F\), A,B,...so konstante, ki jih potem poračunamo.
Imam nek drug integral:
\(\int{\frac{1}{8}\frac{(1+t^2)^3}{(1-t)^4(1+t)^4 t^4}}dt\), (konstanto izpostavim pred integral) zanima me, če lahko nižamo za več kot eno stopnjo, oz., če lahko napišem:
\(={\frac{At^2+Bt+C}{(1-t)(1+t)t}}+D\ln \mid 1-t\mid + E\ln \mid 1+t\mid + F \ln \mid t \mid + G\)
Lp
Re: Nedoločeni integral
Parcialni ulomki!! Vsaka racionalna funkcija ce ima imenovalec razlicne nicle, se da zintegrirat v arkus tangense in logaritme.
Re: Nedoločeni integral
Ja, to vem (znala bi narediti, če ne bi bilo 'na 4'), stopnje v imenovalcu znam zmanjšati na ta način(nerazcepnih kvadratnih polinomov nimam), dobim tole dolgo formulo):
\(\int{\frac{1}{8}\frac{(1+t^2)^3}{(1-t)^4(1+t)^4 t^4}}dt\)=\(\frac{A}{(1-t)^3}+\frac{B}{(1-t)^2}+\frac{C}{(1-t)}+D\ln \mid 1-t\mid}\)\(+\frac{E}{(1+t)^3}+\frac{F}{(1+t)^2}+\frac{G}{(1+t)}+H \ln \mid 1+t \mid\) \(+ \frac{I}{t^3}+ \frac{J}{t^2 } + \frac{K}{t} + L ln \mid t \mid + M\)
Najbrž se da to zapisati še na kakšen krajši način..?
Za prvi integral, ki sem ga napisala včeraj, se za eno stopnjo zmanjšajo stopnje v imenovalcu, kako pa bi naredili v tem primeru,...? če bi zmanjšali samo za eno stopnjo, bi v števcu dobili polinom stopnje 8 (kar pomeni 9 koeficientov), ali je to pravilna pot?
\(\int{\frac{1}{8}\frac{(1+t^2)^3}{(1-t)^4(1+t)^4 t^4}}dt\)=\(\frac{A}{(1-t)^3}+\frac{B}{(1-t)^2}+\frac{C}{(1-t)}+D\ln \mid 1-t\mid}\)\(+\frac{E}{(1+t)^3}+\frac{F}{(1+t)^2}+\frac{G}{(1+t)}+H \ln \mid 1+t \mid\) \(+ \frac{I}{t^3}+ \frac{J}{t^2 } + \frac{K}{t} + L ln \mid t \mid + M\)
Najbrž se da to zapisati še na kakšen krajši način..?
Za prvi integral, ki sem ga napisala včeraj, se za eno stopnjo zmanjšajo stopnje v imenovalcu, kako pa bi naredili v tem primeru,...? če bi zmanjšali samo za eno stopnjo, bi v števcu dobili polinom stopnje 8 (kar pomeni 9 koeficientov), ali je to pravilna pot?
Re: Nedoločeni integral
No... najprej das na parcialne ulomke, pol integriras. Tko da A,B,C,... so ze doloceni pol. Drugace ni cudno da je dolg izraz, ce je imenovalec 12. stopnje. Edino logaritme lahko skupaj das. Pa ce so res podobni imenovalci jih lahko nazaj skupaj das (tiste z (1-t) na razlicne potence recimo).
Drugace pa ja - ce hoces samo za nekaj stopenj nizat, ostalo pustis v enem kosu, pa stevec mora imeti eno stopnjo manj kot imenovalec.
Drugace pa ja - ce hoces samo za nekaj stopenj nizat, ostalo pustis v enem kosu, pa stevec mora imeti eno stopnjo manj kot imenovalec.