Jordanska forma

[delta]

Zanima me, če zna kdo rešiti tole nalogo, sploh ne vem, kako bi se je lotila

Linearna preslikava A ima karakt. polinom in minimalni polinom

\(p_A(x)=(x^2-1)^6\) , \(m_A(x)=(x^2-1)^2(x-1)\)

Velja še:
\(dim Ker(A^2-I)=7\) , \(dim Ker(A^2-I)^2=10\)

Poišči \(p_A^2(x)\) in \(m_A^2(x)\) in Jordansko formo preslikav \(A^2\) in \(A\).

[markich]

ok, povedal bom zelo laično

iz karakterističnega polinoma vidiš, da bo jordanska forma matrika oblike 12×12. (lastni vrednosti sta 6 krat po ena in 6 krat po -1)
pa gremo gledat za \(A^2\):
\(dim(ker(A^2 - I))=7=d_1 => A^2\) ima sedem kletk
\(dim(ker(A^2 - I)^2)=10=d_2\)
\(=>\)
\(d_3-d_2 =\) stevilo kletk velikosti \(3\times 3 = *\)
\(d_2 -d_1 - * =\) stevilo kletk velikosti \(2\times 2 = 10-7-*= 3-*\)
\(d_3 > d_2 => d_3= 11 ali 12\)

preveriš možnosti in dobiš za \(J(A^2)=\) 12×12 matrika z enkami po diagonali, dve kletki velikosti 3×3, ena kletka velikosti 2×2 in stiri kletke velikosti 1×1.

\(J(A)\) je zelo podoben, prvi dve kletkli 3×3 z enkami po diagonali, nato pa ena kletka 2×2 in stiri kletke 1×1 z -1 po diagonali.


aja, pozabil dodati. če zapišeš matriko \(J(A)\) z žordanskimi bloki, je \(J(A^2)\) matrika \(J(A)\), ki jo kvadriraš po diagonali.

[delta]

Aha , Hvala, mi je dosti bolj jasno. Zanimame pa še nekaj, kako točno vemo kakšne kletke ima J(A)(iz m(x) znam razbrati, da je največja kletka za x=1 velika 3x3 in da je za x=-1 največja kletka 2x2, kako pa sklepamo od tu naprej)?, ali se morajo po velikosti in številu ujemati z J(A^2)?

[markich]

sej to je ta postopek opisan z \(d_1,d_2,d_3,...\).
Ok na hitro.
d1 je dimenzija jedra za matriko \(B=A-\lambda I\), kjer je lambda lastna vrednost. d2 je dimenzija jedra za matriko\(B^2 = (A-\lambda I)^2\), itd...
d1 ti pove število vseh kletk
izračunaš \(B^2\), pogledaš koliko je d2.
nadaljuješ... dokler ne prideš do ponavljanja dimenzij... recimo d3=d4=d5=...
pogledaš d3-d2= število kletk 3×3
d2-d1-* (* označuje število vseh večjih kletk, ki so se pojavile), itd...
in tako nekako se prebiješ skozi do d1, kjer se stvar zaključi. in imaš \(J(A)\)

na drugo vprašanje sem odgovoril že prej, ko sem dodal, da lahko matriko A, zapisano z jordanskimi bloki, kvadriramo, in dobimo matriko A v zordanski formi, vsak blok pa še kvadriramo. od tod sledi, da se velikosti kletk ohranijo, le "stvari" znotraj kletke se kvadrirajo...

upam, da vsaj priblizno razumeš, če zna to kdo bolj strokovno interpretirati, pa le naj lp

[delta]

Hvala;) mi je jasno ko beli dan Lp

[delta]

Zanima me, če ima kdo kakšno idejo, kako bi se dalo rešiti tole nalogo:

imamo matriko A=
2 -3 1
1 -2 1
0 0 1

kako se izračuna \(A^{11} +\) \(A^4 +\)\(A^{2000}\)

[Jurij]

izračunaj A^2 pa boš vidla. zadeva je namreč ciklična; A^2n je namreč enaka I.

[markich]

to je en način... če pa imaš primer, kjer se ti ciklično ne ponavlja, pa narediš jordansko formo. zakaj? zato, ker lahko potenciraš žordanske bloke.
\(A^n=P J(A^n) P^{-1}\)

to lahko posplošiš na vsako funkcijo:
\(f(A)=P f(J(A))P^{-1}\)
pri f(J(A)) je formula, ki jo zagotovo imaš nekje zapisano, zato je ne bom vključil.

Opazil sem, da so to naloge iz Algebre 1. če rabiš, imam to nekje skenirano. lp

[delta]

Hvala za razlago! , ja res so naloge iz algebre 1 , zelo bi bila vesela, če bi mi jih lahko poslal oz. posodil, ker bom tole drugače reševala celo večnost

[delta]

Zanima me še nekaj: Poračunati moram \(A^{100}\), velja: \(A^{100}=P * J(A^{100}) * P^{-1}\), poračunano imam \(J(A^{100})\), zanima me pa, če za prehodno matriko vzameš Jordansko bazo v stolpcih ali pa je zaradi tega, ker je \(A^{100}\) kaj drugače?

[markich]

prav. ti bom poslal link od domačih nalog. poskenirane imam od finančnikov, za alg1 pa imam posojeno, tako, da... vprašaj tukaj

glede jordana... Prehodna matrika je matrika, ki povezuje matriko \(A\) v bazi \({e_1,e_2,...e_n}\) in matriko \(A'\) v bazi \({f_1,f_2,...,f_n}\). To pomeni, da lahko z J(A) delaš praktično karkoli in to ne bo vplivalo na \(P\) in \(P^{-1}\), ki pa sta odvisna SAMO od baze. Aja, saj P pa znaš dobiti pri Jordanu?
torej ja, poračunaj \(J(A)^{100}\) in pomnoži z leve s \(P\), z desne pa s \(P^{-1}\)

[delta]

Spet imam manjši problem kako se določi velikost kletk za lastno vrednost x=0 pri \(J(A^2)\)?, pri kletkah z lastnimi vrednostmi, ki niso nič diagonalce samo kvadriram, pri x=0 pa to ne drži, zakaj?

[delta]

Sem že ugotovila, da če imaš sodo matriko (k=2l) dobiš kletke velikosti l x l, če pa imaš liho matriko (k=2l+1) pa dobiš kletke: l*l in (l+1)*(l+1).

[kappa]

Zdravo ena mala stvar me matra: kdaj so v J. kletki nad diagonalo enice? Kolikor vem, je to odvisno od št. lastnih vektorjev in vrste \lambda kot ničle. Npr. v enem primeru dobim eno dvojno in eno enojno "ničlo", 2 kletki (ker je dim lastnega podpr. 2), 1 lastni vektor, ampak enic ni, zato pa so 3 elementarne J. kletke. In mi ni jasno zakaj...

Hvala vnaprej

[delta]

kappa, kar se tiče enic v Jordanu: vedno jih napišeš na prvo naddiagonalo, če imaš Jordansko kletko 1x1, ji pač ni (razen, če imaš ravno lastno vrednost enako 1) nisem pa čisto razumela, zakaj dobiš le 1 lastni vektor. Toliko kot imaš Jord. kletk toliko je potem tudi lastnih vektorjev. Upam, da kaj pomaga.

Imam pa tudi jaz eno vprašanje.
Dana je matrika \(A=\begin{bmatrix}15&-7\\14&-6\end{bmatrix}\)

Poišči matirko B, za katero velja\(B^3=A\)

Zanima me kako to začneš reševati:
1. \(B=A^{1/3}\)(ali to sploh lahko naredim?) in potem uporabimo formulo: \(f(A)=P *f(J(A))*P^{-1}\)

2.Ali z desne 2x množimo z B^{-1}(lahko to naredim, saj ni nič podano, da je B obrnljiva)
Dobim \(B=A*B^{-2}\)