Rotacija

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Rotacija

Odgovor Napisal/-a delta » 15.9.2009 16:41

Imam nalogo:
Dana je matrika A=(1/3)*
2 -2 1
1 2 2
2 1 -2
(matrika je pomnožena z 1/3)
Pokaži, da predstavlja zrcalno rotacijo. Izračunaj os in kot rotacije ter zrcalno ravnino.

Če kdo ve, kako se loti takšne naloge bi bila zelo vesela, če mi lahko pove. Lp

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 15.9.2009 16:46

Prave rotacije imajo determinanto 1, zrcalne -1. Bolj natancno, rotacijske matrike so ortonormirane.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a delta » 15.9.2009 16:59

Aha :) , hvala, kako pa se dobi os in kot rotacije?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 15.9.2009 17:18

Ena moznost je tale: antisimetricni del matrike je oblike:
\(a\begin{bmatrix}0&-\omega_3&\omega_2\\\omega_3&0&-\omega_1\\-\omega_2&\omega_1&0\end{bmatrix}\)
(bolj natancno, ce je omega normiran vektor v smeri osi, je predfaktor sinus rotacijskega kota).

V glavnem, faktor ni vazen ker isces smer. Torej samo zapises matriko
\(A-A^T\)
in preberes ustrezne tri koeficiente.

Druga moznost je, da poisces lastne vektorje. Jasno je, da bo ena lastna vrednost enaka 1 (v smeri osi matrika vektorjem ne naredi nic), ostali dve sta konjugirano kompleksni. Lastni vektor za to lastno vrednost je smer osi. Torej, resitev sistema:
\((A-I)x=0\)

Prvi nacin mislim da je krajsi.

markich
Prispevkov: 47
Pridružen: 28.5.2008 10:48

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a markich » 15.9.2009 17:30

ok, kot rotacije pa dobiš :
\(\cos (\phi ) =\frac{<x,Ax>}{||x|| ||Ax||}\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 15.9.2009 17:37

markich, kompliciras... pa se res ni, to velja samo za "x" pravokotne na os. Sled matrike je neodvisna od koordinatnega sistema. Po zgledu rotacije okrog recimo osi z ugotovis, da je sled vedno
\({\rm Tr}\,A=1+2\cos\phi\)

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a delta » 15.9.2009 17:39

Hvala, tole mi bo prišlo prav.

LadyMunchies
Prispevkov: 34
Pridružen: 10.9.2013 22:07

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a LadyMunchies » 18.5.2014 14:40

Prosim malo pomoči z naslednjima nalogama:
1. Pokaži, da je preslikava \(X{\mapsto}XM\), kjer je \({M=\begin{pmatrix}{cos\theta&sin\theta&0\\ -sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\) vrtež okoli osi z za kot \(\theta\).
2. Naj bo \(X{\mapsto}XM\) vrtež prostora. Pokaži, da je os vrtenja premica v smeri A, kjer je A lastni vektor z lastno vrednostjo 1. Pokažite, da je kot vrtenja \(\theta\), kjer je 1+2cos\(\theta\) sled matrike M(to je vsota diagonalnih elementov).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 18.5.2014 16:26

Ufa, to je vse več ali manj očitno, ne vem kako si predstavljajo dokazovanje. Kaj predpostavimo da vemo? Ker od tega je odvisno...

1. z je očitno lastni vektor z lastno vrednostjo 1, torej je kandidat (edini kandidat) za os vrtenja. 2x2 podmatrika v xy ravnini pa je očitno rotacija (po definiciji za kot theta, ne vem kako bi dokazal ne da bi uporabil že direktno kotne funkcije). Da je rotacija je dokazljivo iz M^{-1}=M^T.

2. Spet... po definciji se os ne spreminja med rotacijo, tako da je to očitno. Sled je invarianta matrike, in s tem neodvisna od koordinatnega sistema, tako da lahko vedno prideš nazaj v koordinatni sistem kjer je os v smeri z, kjer je sled očitno 1+2cosθ.

LadyMunchies
Prispevkov: 34
Pridružen: 10.9.2013 22:07

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a LadyMunchies » 18.5.2014 16:47

super, hvala lepa ;)

tinkistar
Prispevkov: 2
Pridružen: 25.5.2014 1:36

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a tinkistar » 25.5.2014 12:40

Živjo! Tudi meni delata 2 nalogi probleme in bi prosila, če mi lahko kdo pomaga.

Naloga 1:

Pokažite, da ima rotacija X -> XM, kjer je M
|0 1 0|
|0 0 1|
|1 0 0|, os (1,1,1) in zavrti za kot 2(pi)/3.


Sama sem že preverila, da je na osi, tako da sem pomnožila M*(1,1,1), določila sem tudi pravokotne vektorje na os (1,1,1). Izbrala sem si vektorja (1,-1,0) in (1,0,-1).
Zdaj pa me zanima kako naj zavrtim za 2(pi)/3, ker res ne znam. :/

Naloga 2:

Poiščite os in kot vrteža X -> XM, kjer je M =
|4/5 -12/25 9/25 |
|3/5 16/25 -12/25|.
| 0 3/5 4/5 |


Pri tej nalogi vem, da moram izračunati lastne vrednosti, da bo veljalo Av= 1v, ampak lastnih vrednosti ne znam pravilno izračunati. Ena lastna vrednost bi morala priti 1, ampak sem računala že 5x in mi nikoli še ni prišla pravilna lastna vrednost.
Mislim, da moram, ko mi bo (oz. upam, da mi bo pri tem pomagal še kdo od vas) uspelo dobiti pravilne lastne vrednosti, ne bo problem dobiti lastnega vektorja. Se mi pa potem zatakne še, kako izračunati kot. (profesor s katerim sem govorila mi je rekel le da naj si pomagam s prehodnimi matrikami, ampak po pravici ne razumem čist najbolj kako naj to naredim.)

Bila bi zelo zelo zelo hvaležna, če mi kdo zna pomagati, rešiti usaj kakšno težavo.
Hvala že v naprej! :))

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 25.5.2014 13:30

Ni treba zavrtet, samo pokazat, da je kot res tak. Sled rotacijske matrike je vedno \(1+2\cos \phi\) in v tem primeru iz tega sledi \(\cos \phi=-\frac{1}{2}\) kar ti že da odgovor.

Če bi bilo pa res treba skonstruirat rotacijsko matriko, pa greš v novi koordinatni sistem, tam narediš rotacijo okrog ene izmed osi, in greš nazaj. Izbrana vektorja nista ortogonalna med seboj. Za os (1,1,1) si je zelo pametno zapomnit, da tvoriš ortogonalno bazo z vektorjema (1,-1,0) in (1,1,-2). Normiraš vse tri, zgradiš prehodno matriko, pa lahko zavrtiš okrog nove x osi (če (1,1,1) daš za prvi bazni vektor seveda). Pa... pazi na orientacijo koordinatnega sistema, rotacijo lahko narediš ali v pozitivno ali v negativno smer.

Še ena varianta je uporabit kar Rodrigezovo formulo, pri kateri ni treba postavit cele baze ampak rabiš samo normiran bazni vektor:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues% ... on_formula

2. Lastnih vrednosti ti ni treba računat. Če je res rotacija, že veš, da je ena lastna vrednost 1. Kot dobiš s sledjo matrike, kot prej. Celo os rotacije se da dobit brez reševanja enačbe \(A\vec{v}=\vec{v}\), na precej lažji način (preko Rodrigezove formule pravzaprav).

Rodrigezova formula se glasi
\(A=I\cos\phi+(1-\cos\phi)\vec{n}\otimes\vec{n}+\sin\phi (\epsilon:\vec{n})\)
Ta razcep strašno lepo pokaže simetrijo sistema. Prvi člen je kar identiteta. Drugi člen je simetrična matrika, \(\vec{n}\otimes\vec{n}\) je tenzorski produkt osi same s seboj (ij-ti element je produkt n_i*n_j). Tretji člen je antisimetrična matrika, kjer sem z nekoliko grobo notacijo (v katero se ne spuščaj preveč) brez indeksov zapisal \(\epsilon:\vec{n}=\begin{bmatrix}0&-n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x &0\end{bmatrix}\).

Matriko se vedno da lepo razcepit na simetrični in antisimetrični del! \(A-A^T=2\sin\phi (\epsilon:\vec{n})\) bo kar dvakratnik antisimetričnega dela, iz katerega iz izvendiagonalnih elementov gladko prebereš os (normirat moraš še potem, sicer je pa že ok).

V tvojem primeru to samo pomeni branje
\(\vec{n}=(12/25+4/5,9/25-0,12/25+3/5)=(32/25,9/25,27/25)\)

Torej, tri odštevanja komponent te pripeljejo do rezultata brez kakršnega koli reševanja sistema enačb. Kot dobiš pa iz sledi.

tinkistar
Prispevkov: 2
Pridružen: 25.5.2014 1:36

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a tinkistar » 26.5.2014 3:06

Aniviller hvala hvala hvala! :D upam da mi bo uspelo.

LadyMunchies
Prispevkov: 34
Pridružen: 10.9.2013 22:07

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a LadyMunchies » 29.5.2014 16:46

LadyMunchies napisal/-a:Prosim malo pomoči z naslednjima nalogama:
1. Pokaži, da je preslikava \(X{\mapsto}XM\), kjer je \({M=\begin{pmatrix}{cos\theta&sin\theta&0\\ -sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\) vrtež okoli osi z za kot \(\theta\).
2. Naj bo \(X{\mapsto}XM\) vrtež prostora. Pokaži, da je os vrtenja premica v smeri A, kjer je A lastni vektor z lastno vrednostjo 1. Pokažite, da je kot vrtenja \(\theta\), kjer je 1+2cos\(\theta\) sled matrike M(to je vsota diagonalnih elementov).
Prosila bi še za malo pomoči s tema nalogama, od profesorja sem prejela naslednja navodila : pri prvi nalogi pokažite, da je vektor (0,0,1) lastni vektor matrike z lastno vrednostjo 1 (torej ostane negiben), lastna vektorja (1,0,0) in (0,1,0) pa se oba zavrtita za kot theta. Pri drugi nalogi pokažite, da se vektorja, ki tvorita z lastnim vektorjem ortonormirano bazo, zavrtita za kot theta, kjer je theta kot iz sledi (npr. s prehodno matriko reducirajte problem na prvo nalogo).
Kako vse to pokažem?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rotacija

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 29.5.2014 18:10

1. Ma za lastni vektor sam pomnožiš in vidiš da ostane enak. Ostala dva tudi pomnoži z matriko, in potem s skalarnim produktom na originalni vektor poglej kosinus za koliko sta se zavrtela. Dobiš seveda kosinus thete.

2. Vektorja, ki vrtita z lastnim vektorjem ortonormirano bazo, in sam lastni vektor, tvorijo ravno prehodno matriko, ki prevede matriko tvojo matriko pri primeru 1.

Odgovori