Bom poskusil podrobno razlozit, upam da ne bo prevec nepregledno.
Za linearno DE s konstantnimi koeficienti, dobis nek nabor resitev homogenega dela (iz koeficientov karakteristicne enacbe).
Ce je nehomogeni del eksponentne (ali trigonometricne) oblike, je nastavek enake oblike (z nedolocenim predfaktorjem). Problem pa je, ce je ta nastavek ze vsebovan v homogeni resitvi (ce je eksponent enak), potem sta homogeni in partikuarni del resitve linearno odvisna in manjka ena resitev.
Pravilo: ce je nastavek ze del homogene resitve, povecas stopnjo polinoma ki stoji spredaj (v vecini primerov to pomeni, da dodas "x" spredaj). S tem pridobis pogresano linearno neodvisno resitev.
Prva razlaga: ce je nastavek ze resitev homogenega dela, potem bi ne glede na predfaktor vstavljanje v levi del vedno dal nic, ne pa desnega dela. Primnozeni "x" se z odvajanjem ravno odstrani in ostane nekaj, kar je iste oblike kot desni del enacbe.
Druga razlaga: predstavljaj si, da sta partikularni in homogeni del resitve sprva zelo zelo podobna, vendar ne cisto enaka: \(e^{kx}\) in \(e^{(k+\epsilon)x}\). Namesto teh dveh resitev lahko vzames kot resitev vsoto in razliko (pac neki superpoziciji, itak lahko poljubno kombiniras). Vsota: \(e^{kx}+e^{(k+\epsilon)x}\to 2e^{kx}\) (v limiti gre to proti osnovni resitvi homogenega dela).
Razlika: \(e^{kx}-e^{(k+\epsilon)x}=e^{kx}(1-e^{\epsilon x})\to e^{kx}(\epsilon x)\) (za majhne epsilon gre razlika eksponentnih funkcij proti resitvi s primnozenim "x").
Popolnoma enako postopas, ce ima karakteristicna enacba dvojno niclo. Recimo
\(\ddot{x}+2\dot{x}+x=0\)
Karakteristicna enacba daje k=-1. Resitvi sta \(e^{-x}\) in \(x e^{-x}\) zaradi zgoraj opisanih razlogov.
Determinanta Wronskega preverja, ce so resitve enacbe linearno neodvisne. To samo preveri, da sta \(e^{-2x}\) in \(x^{-2x}\) res linearno neodvisni resitvi (take resitve za konstantne koeficiente so rutinska zadeva in se tega ponavadi ne racuna ker je jasno).
Matematika (injektivnost,...)
Re: Matematika (injektivnost,...)
Za daljico K s krajišči A(a1,a2,a3) in B(b1,b2,b3) preveri enakost:
\(\int_{K:A}^{B}xdy-ydx=\begin{vmatrix}
a1 & a2\\
b1 & b2
\end{vmatrix}\)
Zanima me kako rešiti zgornjo nalogo.
Determinanto na desni izračunam in dobim: a1b2-a2b2
Na levi strani pa: xy-yx=(b1-a1)(b2-a2)-(b2-a2)(b1-a1)=0
Kaj sem naredil narobe?
\(\int_{K:A}^{B}xdy-ydx=\begin{vmatrix}
a1 & a2\\
b1 & b2
\end{vmatrix}\)
Zanima me kako rešiti zgornjo nalogo.
Determinanto na desni izračunam in dobim: a1b2-a2b2
Na levi strani pa: xy-yx=(b1-a1)(b2-a2)-(b2-a2)(b1-a1)=0
Kaj sem naredil narobe?
Re: Matematika (injektivnost,...)
Krivuljni integral ...
Re: Matematika (injektivnost,...)
Hvala za namig pri prejšnji nalogi!
Spet ena naloga:
navodilo:
Tukaj je verjetno treba izračunati gradient tega vektorskega polja = (2y, 2z, 2x)? Kaj potem?
Spet ena naloga:
navodilo:
Tukaj je verjetno treba izračunati gradient tega vektorskega polja = (2y, 2z, 2x)? Kaj potem?
Re: Matematika (injektivnost,...)
Ne. Če izračunaš rotor, dobiš konstantno (0,0,0), ker je polje potencialno. Več načinov je za iskanje potenciala, najhitreje gre z metodo ostrega očesa, saj imaš polinomske komponente in precej simetrije v spremenljivkah (iz teorije pa tudi veš, da se potenciali razlikujejo le za konstanto):
\(u(x,y,z) = x^2 y + y^2 z + z^2 x + C\)
Potem lahko tudi preveriš, da je gradient dano polje.
Ker mora veljati \(u(0,0,0)=1\), je \(C=1\).
\(u(x,y,z) = x^2 y + y^2 z + z^2 x + C\)
Potem lahko tudi preveriš, da je gradient dano polje.
Ker mora veljati \(u(0,0,0)=1\), je \(C=1\).
Re: Matematika (injektivnost,...)
Jurij napisal/-a:najhitreje gre z metodo ostrega očesa
Najbolj uporabna metoda v matematiki..
Re: Matematika (injektivnost,...)
Hvala za pomoč!
Še ena naloga me muči:
Tukaj je moj postopek reševanja:
Če grem kar po točkah:
*definicijsko območje = R
*funkcija nima ničel
- zanima me kako to, da funkcija \(e^{-xt^2}\) ne spremeni predznaka, če jo integriram po t? (sem preizkusil z wolfram mathematico)
*F(0)=1
- saj sem prav naredil ko sem upošteval tudi integral?
*odvod integrala s parametrom
- ne razumem kaj je v splošni formuli za odvod integrala s parametrom parameter. Je to x?
- če je v splošni formuli parameter y, je torej v "moji" formuli parameter x. Je torej x neodvisna spremenljivka funkcije f(x), pod integralom pa nastopa kot parameter?
*funkcija je padajoča
*funkcija je konveksna
*limite
- kako izračunam limite? moram izračunati limito samo "notranje" funkcije \(e^{-xt^2}\) ali celotne funkcije f(x), torej skupaj z integralom?
- če jo moram izračunat z integralom bi lahko kdo prilepil link do načina, po katerem se to naredi?
Še ena naloga me muči:
Tukaj je moj postopek reševanja:
Če grem kar po točkah:
*definicijsko območje = R
*funkcija nima ničel
- zanima me kako to, da funkcija \(e^{-xt^2}\) ne spremeni predznaka, če jo integriram po t? (sem preizkusil z wolfram mathematico)
*F(0)=1
- saj sem prav naredil ko sem upošteval tudi integral?
*odvod integrala s parametrom
- ne razumem kaj je v splošni formuli za odvod integrala s parametrom parameter. Je to x?
- če je v splošni formuli parameter y, je torej v "moji" formuli parameter x. Je torej x neodvisna spremenljivka funkcije f(x), pod integralom pa nastopa kot parameter?
*funkcija je padajoča
*funkcija je konveksna
*limite
- kako izračunam limite? moram izračunati limito samo "notranje" funkcije \(e^{-xt^2}\) ali celotne funkcije f(x), torej skupaj z integralom?
- če jo moram izračunat z integralom bi lahko kdo prilepil link do načina, po katerem se to naredi?
Re: Matematika (injektivnost,...)
\(e^{-xt^2}\) je pozitivna ne glede na vrednosti obeh parametrov; nek izrek ti zagotavlja, da je integral pozitivne funkcije pozitivno število, zato je F pozitivna.
Začetna vrednost je vredu.
\(F(x) = \int_1^2 e^{-xt^2} \,dt\); v tem integralu je x parameter, zato je potem \(F'(x) = \int_1^2 -t^2 e^{-xt^2} \,dt\).
Ker je funkcija zvezna na celem \(\mathbb{R}\), je \(\lim_{x \to \infty} F(x) = \int_1^2 lim_{x \to \infty}(e^{-xt^2}) \,dt = \int_1^2 0 \,dt = 0\). Limito neseš pod integral; če integriraš po zaprtem integralu zvezno funkcijo, lahko vedno to narediš (mislim, da so komlpikacije, če integriraš po neomejenem območju ali pa če ima funkcija pod integralom pol v krajišču). Za \(- \infty\) pa gre F čez vse meje.
a so to naloge za gradbenike?
Začetna vrednost je vredu.
\(F(x) = \int_1^2 e^{-xt^2} \,dt\); v tem integralu je x parameter, zato je potem \(F'(x) = \int_1^2 -t^2 e^{-xt^2} \,dt\).
Ker je funkcija zvezna na celem \(\mathbb{R}\), je \(\lim_{x \to \infty} F(x) = \int_1^2 lim_{x \to \infty}(e^{-xt^2}) \,dt = \int_1^2 0 \,dt = 0\). Limito neseš pod integral; če integriraš po zaprtem integralu zvezno funkcijo, lahko vedno to narediš (mislim, da so komlpikacije, če integriraš po neomejenem območju ali pa če ima funkcija pod integralom pol v krajišču). Za \(- \infty\) pa gre F čez vse meje.
a so to naloge za gradbenike?
Re: Matematika (injektivnost,...)
Hvala za hiter odgovor.
Ja to so naloge za gradbenike.
Verjetno mora biti integral določen da to velja?Jurij napisal/-a:nek izrek ti zagotavlja, da je integral pozitivne funkcije pozitivno število
Ja to so naloge za gradbenike.
Re: Matematika (injektivnost,...)
ja, določen; ta ti namreč vrne število, nedoločen je le obraten operator od odvajanja.