grupe, obsegi

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
delta
Prispevkov: 422
Pridružen: 19.8.2009 14:16

grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a delta »

Upam, da kdo zna rešiti katero od spodnjih nalog. Zelo bi mi bilo v pomoč.

Zanima me, kako se izračuna inverz elementa 17 v obsegu \(Z_{37}\), (to so ostanki pri deljenju z 37).

Neka druga naloga: Pokaži, da je grupa \(Z_{n} x Z_{n}\) izomorfna grupi simetrij pravokotnika, ni pa izomorfna grupi \(Z_{4}\)
Za izomorfnost vem, da je treba pokazati, da imata isti dimenziji. Kako so pa simetrije povezane z njimi pa ne vem.?

V grupni tabeli so v vsaki vrstici/stolpcu le vsak po eden, elementi se ne ponavljajo(če sta enaka dva pa morajo biti vsi enaki), zakaj to velja?
lp

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

delta napisal/-a:Zanima me, kako se izračuna inverz elementa 17 v obsegu \(Z_{37}\), (to so ostanki pri deljenju z 37).
Ja to je seveda -17, ki pa se v tem primeru zapise lahko tudi kot 20 (ker je po modulu 37 to dvoje isto). Dokaz:
17+20=37=0 (0 je identiteta te grupe)

V tabeli so samo po eden, ker dva enaka v isti tabeli pomeni tole:
\(g_1\cdot g_2=g_1\cdot g_3=g_4\)
Ker je to grupa, ima inverz - z \(g_1\) lahko delis in pokazes, da je \(g_2=g_3\) - se pravi edini nacin, da sta produkta z razlicnima elementoma enaka je, da je to isti element.

delta
Prispevkov: 422
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a delta »

Sem mislila, da je treba poiskati izverz za množenje, kako bi se pa to naredilo?

Drugi del razumem, hvala :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Pazi, \(Z_{37}\) ni grupa za mnozenje, ker 0 nima inverza.

Pri grupah se ponavadi vedno govori o mnozenju, ne glede na to katera operacija je to v resnici (v bistvu je lahko karkoli).

delta
Prispevkov: 422
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a delta »

Aha,;) hvala!

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Mene pa zanima kako se reši tole nalogo:

V množici K=R^3 definiramo operaciji (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) in (a,b,c)*(d,e,f)=(ad,ae+bf,cf) in dobimo kolobar(K,+,*)(Tega ni potrebno dokazovati!).
Naj bo alfa element R\{0}. Za preslikavo f:K--->K, definirano s predpisom f(x,y,z)=(x,-alfax+y+alfaz,z):
a)preveri ali je homomorfizem
b)določi jedro
c)ugotovi ali je izomorfizem

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Homomorfizem pomeni da se ohranjajo operacije. Spet gres simbolicno: najprej transformiras, potem sestejes/mnozis, ali pa najprej sestejes/mnozis in potem transformiras. Ce pride isto, je homomorfizem. Potem samo pogledas ce se kaj preslika v nic:
(x,-alfax+y+alfaz,z)=(0,0,0)
in ce se v nic preslika samo nicla in ce je preslikava surjektivna, potem je bijektivna (obrnljiva) in je torej izomorfizem. Najlazje je to preverit tako da zapises matriko za f kjer imas standardne nacine za dolocanje teh lastnosti.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Mi lahko prosim napišeš postopek z mojim primerom? Hvala.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Tole ze imas:
(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)

Transformiranka
f(a,b,c)=(a,-alfaa+b+alfac,c)
f(d,e,f)=(d,-alfad+e+alfaf,f)
Sestejemo v tem prostoru:
(a,-alfaa+b+alfac,c)+(d,-alfad+e+alfaf,f)=(a+d,-alfa(a+d)+(b+e)+alfa(c+f),c+f)
in to je enako f(a+d,b+e,c+f), se pravi je f homomorfizem za sestevanje. Podobno gres za mnozenje.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Ahaaaa zdaj razumem :) Hvalaaaaa :)

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Še nekaj:) Kako potem določiš jedro in preveriš če je izomorfizem? izenačiš z (0,0,0) kaj pa potem?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja isto kot pri polinomu: dobis pogoje za a,b,c ki zagotovijo da pride nic. V tem primeru je itak jedro prazno.

Za izomorfizem bi kar pogledal ce je matrika obrnljiva. f je linearna preslikava in jo lahko zapises kot
f=
1 0 0
-alfa 1 alfa
0 0 1

sinbad
Prispevkov: 81
Pridružen: 24.10.2010 18:01

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a sinbad »

ko bom velik bom aniviller

problemi
Prispevkov: 4931
Pridružen: 24.8.2009 1:20

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a problemi »

sinbad napisal/-a:ko bom velik bom aniviller
Ko se boš veliko učil, učil, vadil, vadil, boš (mogoče) Aniviller. :)

sinbad
Prispevkov: 81
Pridružen: 24.10.2010 18:01

Re: grupe, obsegi

Odgovor Napisal/-a sinbad »

problemi napisal/-a:
sinbad napisal/-a:ko bom velik bom aniviller
Ko se boš veliko učil, učil, vadil, vadil, boš (mogoče) Aniviller. :)
Žal ne bo šlo, sem že dedek in bi mi za tak nivo znanja zmanjkalo časa...pa tudi druge predispozicije so potrebe...

Prvi post sem napisal v poklon aniviiler, predvsem zaradi tega ker z veliko potrpežljivostjo razlaga matematične telovadbe in nikoli ne uporabi žaljive besede za še tako "neumno" vprašanje.

Odgovori