lastne vrednosti
Re: lastne vrednosti
Hvala za odgovore. Mi lahko pomagaš rešiti še to nalogo? :
Dani sta matriki:
1 -1 -2
A = -a 3 1+a
-2-a 5 5+a
5 -1 3
B = 0 b -6b
5 b-4 b
kjer sta a in b realna parametra.
(a) Doloˇci vse tiste vrednosti a in b, pri katerih imata matriki A in B isti rang.
(b) Ali obstajata taki vrednosti a in b, za kateri sta si matriki A in B podobni?
Dani sta matriki:
1 -1 -2
A = -a 3 1+a
-2-a 5 5+a
5 -1 3
B = 0 b -6b
5 b-4 b
kjer sta a in b realna parametra.
(a) Doloˇci vse tiste vrednosti a in b, pri katerih imata matriki A in B isti rang.
(b) Ali obstajata taki vrednosti a in b, za kateri sta si matriki A in B podobni?
Re: lastne vrednosti
Najboljse da dolocis rang v odvisnosti od parametra za vsako matriko posebej.
\(A=\begin{bmatrix}1&-1&-2\\-a&3&1+a\\-2-a&5&5+a\end{bmatrix}\)
Rang bo 3 ce bo determinanta nenicelna.
\(\det A=3(5+a)+(1+a)(2+a)+\)\(10a-5(1+a)-a(5+a)-6(2+a)=0\)
To pomeni da so vrstice linearno odvisne vedno. (hitro vidis da je zadnja vrstica = druga minus dvakrat prva). Rang je 2, ce sta prvi dve neodvisni in 1 ce sta sorazmerni:
\((1,-1,-2)=q(-a,3,1+a)\Rightarrow q=-1/3\)
\((1,-1,-2)=(a/3,-1,-(1+a)/3)\)
To za noben a ni res. Torej ima ta matrika za vsak a rang 2.
Isto ponovis se za drugo. Potem samo primerjas kdaj sta ranga enaka.
\(A=\begin{bmatrix}1&-1&-2\\-a&3&1+a\\-2-a&5&5+a\end{bmatrix}\)
Rang bo 3 ce bo determinanta nenicelna.
\(\det A=3(5+a)+(1+a)(2+a)+\)\(10a-5(1+a)-a(5+a)-6(2+a)=0\)
To pomeni da so vrstice linearno odvisne vedno. (hitro vidis da je zadnja vrstica = druga minus dvakrat prva). Rang je 2, ce sta prvi dve neodvisni in 1 ce sta sorazmerni:
\((1,-1,-2)=q(-a,3,1+a)\Rightarrow q=-1/3\)
\((1,-1,-2)=(a/3,-1,-(1+a)/3)\)
To za noben a ni res. Torej ima ta matrika za vsak a rang 2.
Isto ponovis se za drugo. Potem samo primerjas kdaj sta ranga enaka.
Re: lastne vrednosti
Hvala.
Imam še eno vprašanje
Pri Gram-Schmidtovi ortogonalizaciji me nekaj zanima. In namreč imaš npr:
tri matrike:
A =
1 0
0-1
C =
i 0
0 0
D =
0 i
0 0
izračunati moram D' s tem da je C'(že prej izračunan) =
i/2 0
0 i/2
D' = D - (alfa)C' - (beta)A = <D,C'> / <C,C'> *C - <D,A> / <A,A> *A
<D,C'> sl(D* C'*) ...
mi lahko poveš kako se to izračuna,vem da moraš množiti matrike med sabo samo mi ni jasno kaj pomeni ta C'*(zvezdica).Jaz sem mislila da množiš samo s C',potem pa sem vidila da matriki nista isti.Kako potem dobiš C'* ?
Imam še eno vprašanje
Pri Gram-Schmidtovi ortogonalizaciji me nekaj zanima. In namreč imaš npr:
tri matrike:
A =
1 0
0-1
C =
i 0
0 0
D =
0 i
0 0
izračunati moram D' s tem da je C'(že prej izračunan) =
i/2 0
0 i/2
D' = D - (alfa)C' - (beta)A = <D,C'> / <C,C'> *C - <D,A> / <A,A> *A
<D,C'> sl(D* C'*) ...
mi lahko poveš kako se to izračuna,vem da moraš množiti matrike med sabo samo mi ni jasno kaj pomeni ta C'*(zvezdica).Jaz sem mislila da množiš samo s C',potem pa sem vidila da matriki nista isti.Kako potem dobiš C'* ?
Re: lastne vrednosti
Sem ugotovila, da tudi tega ne razumem kako dobiš <E_11,E_111> = ?
Se ne množijo matrike med sabo?? :/
Se ne množijo matrike med sabo?? :/
Re: lastne vrednosti
Pa še eno vprašanje na to temo imam :
Iščemo q(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d, ki je v ortogonalnem komplementu V={p element R_3[x];p(0)=p(1)=0}, pravokoten na x^3-x in x^2-x. Kako to rešiš?
Iščemo q(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d, ki je v ortogonalnem komplementu V={p element R_3[x];p(0)=p(1)=0}, pravokoten na x^3-x in x^2-x. Kako to rešiš?
Re: lastne vrednosti
Tisto z zvezdico je mnozenje (cleni so oblike "skalar, ki pride iz skalarnega produkta" krat bazni vektor/matrika).
Kaksen skalarni produkt je zamisljen pa ni enolicno - skalarni produkt je odvisen od tega kaj smatramo za ortogonalno in tako naprej. Pri matrikah sploh ni tako jasno kaj je zdaj standardna izbira (ponavadi se smatra kar po komponentah, kot bi bili vektorji - raztegnes iz 2x2 v 4 elemente). To mora biti verjetno podano v nalogi (ali vsaj nakazano v predavanjih kaj je misljeno).
Za to zadnjo nalogo pa spet: potrebujes skalarni produkt nad temi polinomi. Ko imas to, potem lahko z Gram-schmidtom poisces preostale bazne vektorje.
Da povzamem, skalarni produkt je lahko marsikaj, le zadostiti mora osnovnim znacilnostim, da je bilinearen (linearen v obeh faktorjih) in pozitivno definiten (produkt sam s sabo je pozitiven, 0 samo ce je vektor niceln). Tako da to mora biti vsakic posebej povedano.
Kaksen skalarni produkt je zamisljen pa ni enolicno - skalarni produkt je odvisen od tega kaj smatramo za ortogonalno in tako naprej. Pri matrikah sploh ni tako jasno kaj je zdaj standardna izbira (ponavadi se smatra kar po komponentah, kot bi bili vektorji - raztegnes iz 2x2 v 4 elemente). To mora biti verjetno podano v nalogi (ali vsaj nakazano v predavanjih kaj je misljeno).
Za to zadnjo nalogo pa spet: potrebujes skalarni produkt nad temi polinomi. Ko imas to, potem lahko z Gram-schmidtom poisces preostale bazne vektorje.
Da povzamem, skalarni produkt je lahko marsikaj, le zadostiti mora osnovnim znacilnostim, da je bilinearen (linearen v obeh faktorjih) in pozitivno definiten (produkt sam s sabo je pozitiven, 0 samo ce je vektor niceln). Tako da to mora biti vsakic posebej povedano.
Re: lastne vrednosti
Spet potrebujem pomoc
Doloci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike B = [(3,4,0),(?,?,?),(-1,-7,1)]...(zapisala sem vrstice matrike B), če veš da je matrika B podobna matriki
A=[(-11,-8,0),(12,9,0),(24,18,-1)] (zapisala sem vrstice matrike A)
Kako to rešiš? Vem da je predpis za podobnost matrik enak B=PAP^-1 samo ne vem kako dobit to matriko P ??
Doloci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike B = [(3,4,0),(?,?,?),(-1,-7,1)]...(zapisala sem vrstice matrike B), če veš da je matrika B podobna matriki
A=[(-11,-8,0),(12,9,0),(24,18,-1)] (zapisala sem vrstice matrike A)
Kako to rešiš? Vem da je predpis za podobnost matrik enak B=PAP^-1 samo ne vem kako dobit to matriko P ??
Re: lastne vrednosti
upoštevaj, da imata podobni matriki enak karakteristični polinom, torej iste lastne vrednosti.
Re: lastne vrednosti
aha in pol lastne vrednosti matrike A vstaviš v matriko B in izračunap lastne vektorje?
Re: lastne vrednosti
Mi lahko pomagaš rešiti še to nalogo? :
Dani sta matriki:
A=(1, -1, -2),(-a,3,1+a,(-2-a,5,-5+a) vrstice matrike
B=(5,-1,3),(0,b,-6b)(5,b-4,b) vrstice matrike
kjer sta a in b realna parametra..
(b) Ali obstajata taki vrednosti a in b, za kateri sta si matriki A in B podobni?
Dani sta matriki:
A=(1, -1, -2),(-a,3,1+a,(-2-a,5,-5+a) vrstice matrike
B=(5,-1,3),(0,b,-6b)(5,b-4,b) vrstice matrike
kjer sta a in b realna parametra..
(b) Ali obstajata taki vrednosti a in b, za kateri sta si matriki A in B podobni?
Re: lastne vrednosti
Spet isto - izracunaj oba karakteristicna polinoma in ju izenaci.
Re: lastne vrednosti
Zdravo kolegi!
Zanima me zakaj se stolpca 1 in 2 ko napišem determinanto zamenjata
Scan je v priponki
Najlepša hvala
Zanima me zakaj se stolpca 1 in 2 ko napišem determinanto zamenjata
Scan je v priponki
Najlepša hvala
- Priponke
-
- IMG.pdf
- (231.67 KiB) Prenešeno 121 krat
Re: lastne vrednosti
Tisto ni determinanta (pri determinanti se nič ne zamenja) ampak reševanje sistema enačb po Gaussu, v tem postopku pa lahko menjaš vrstice kolikor hočeš. To pomeni samo, da na prvo mesto napišeš drugo enačbo in na drugo mesto prvo enačbo, ampak to je še vedno en in isti sistem enačb, samo lažje se pride do zgornje trikotne oblike po tej poti.
Re: lastne vrednosti
No seveda lahko pri determinanti menjas. Ce zamenjas pri determinanti vrstice ali stolpce moraš dat drugačen predznak, medtem ko pri Gaussovi eliminaciji to ni potrebno... drugace pa je obicaj pisat za prvo vrstico tisto ki ima 1 na zacetku saj potem lazje mnozis/delis, sestevas/odstevas vrstice med seboj...kren napisal/-a:Tisto ni determinanta (pri determinanti se nič ne zamenja)