lastne vrednosti

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Hvala za odgovore. Mi lahko pomagaš rešiti še to nalogo? :

Dani sta matriki:

1 -1 -2
A = -a 3 1+a
-2-a 5 5+a


5 -1 3
B = 0 b -6b
5 b-4 b


kjer sta a in b realna parametra.
(a) Doloˇci vse tiste vrednosti a in b, pri katerih imata matriki A in B isti rang.
(b) Ali obstajata taki vrednosti a in b, za kateri sta si matriki A in B podobni?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Najboljse da dolocis rang v odvisnosti od parametra za vsako matriko posebej.

\(A=\begin{bmatrix}1&-1&-2\\-a&3&1+a\\-2-a&5&5+a\end{bmatrix}\)

Rang bo 3 ce bo determinanta nenicelna.
\(\det A=3(5+a)+(1+a)(2+a)+\)\(10a-5(1+a)-a(5+a)-6(2+a)=0\)

To pomeni da so vrstice linearno odvisne vedno. (hitro vidis da je zadnja vrstica = druga minus dvakrat prva). Rang je 2, ce sta prvi dve neodvisni in 1 ce sta sorazmerni:
\((1,-1,-2)=q(-a,3,1+a)\Rightarrow q=-1/3\)
\((1,-1,-2)=(a/3,-1,-(1+a)/3)\)
To za noben a ni res. Torej ima ta matrika za vsak a rang 2.

Isto ponovis se za drugo. Potem samo primerjas kdaj sta ranga enaka.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Hvala.
Imam še eno vprašanje :)
Pri Gram-Schmidtovi ortogonalizaciji me nekaj zanima. In namreč imaš npr:
tri matrike:
A =
1 0
0-1
C =
i 0
0 0
D =
0 i
0 0

izračunati moram D' s tem da je C'(že prej izračunan) =
i/2 0
0 i/2

D' = D - (alfa)C' - (beta)A = <D,C'> / <C,C'> *C - <D,A> / <A,A> *A
<D,C'> sl(D* C'*) ...
mi lahko poveš kako se to izračuna,vem da moraš množiti matrike med sabo samo mi ni jasno kaj pomeni ta C'*(zvezdica).Jaz sem mislila da množiš samo s C',potem pa sem vidila da matriki nista isti.Kako potem dobiš C'* ?

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Sem ugotovila, da tudi tega ne razumem kako dobiš <E_11,E_111> = ?
Se ne množijo matrike med sabo?? :/

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Pa še eno vprašanje na to temo imam :

Iščemo q(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d, ki je v ortogonalnem komplementu V={p element R_3[x];p(0)=p(1)=0}, pravokoten na x^3-x in x^2-x. Kako to rešiš?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Tisto z zvezdico je mnozenje (cleni so oblike "skalar, ki pride iz skalarnega produkta" krat bazni vektor/matrika).

Kaksen skalarni produkt je zamisljen pa ni enolicno - skalarni produkt je odvisen od tega kaj smatramo za ortogonalno in tako naprej. Pri matrikah sploh ni tako jasno kaj je zdaj standardna izbira (ponavadi se smatra kar po komponentah, kot bi bili vektorji - raztegnes iz 2x2 v 4 elemente). To mora biti verjetno podano v nalogi (ali vsaj nakazano v predavanjih kaj je misljeno).


Za to zadnjo nalogo pa spet: potrebujes skalarni produkt nad temi polinomi. Ko imas to, potem lahko z Gram-schmidtom poisces preostale bazne vektorje.


Da povzamem, skalarni produkt je lahko marsikaj, le zadostiti mora osnovnim znacilnostim, da je bilinearen (linearen v obeh faktorjih) in pozitivno definiten (produkt sam s sabo je pozitiven, 0 samo ce je vektor niceln). Tako da to mora biti vsakic posebej povedano.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Spet potrebujem pomoc :)

Doloci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike B = [(3,4,0),(?,?,?),(-1,-7,1)]...(zapisala sem vrstice matrike B), če veš da je matrika B podobna matriki
A=[(-11,-8,0),(12,9,0),(24,18,-1)] (zapisala sem vrstice matrike A)

Kako to rešiš? Vem da je predpis za podobnost matrik enak B=PAP^-1 samo ne vem kako dobit to matriko P ??

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a Jurij »

upoštevaj, da imata podobni matriki enak karakteristični polinom, torej iste lastne vrednosti.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a anjaD »

aha in pol lastne vrednosti matrike A vstaviš v matriko B in izračunap lastne vektorje?

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Mi lahko pomagaš rešiti še to nalogo? :

Dani sta matriki:

A=(1, -1, -2),(-a,3,1+a,(-2-a,5,-5+a) vrstice matrike

B=(5,-1,3),(0,b,-6b)(5,b-4,b) vrstice matrike

kjer sta a in b realna parametra..
(b) Ali obstajata taki vrednosti a in b, za kateri sta si matriki A in B podobni?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Spet isto - izracunaj oba karakteristicna polinoma in ju izenaci.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a anjaD »

HVALA HVALA HVALA :)

cpr
Prispevkov: 23
Pridružen: 21.12.2010 21:13

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a cpr »

Zdravo kolegi!

Zanima me zakaj se stolpca 1 in 2 ko napišem determinanto zamenjata

Scan je v priponki

Najlepša hvala
Priponke
IMG.pdf
(231.67 KiB) Prenešeno 121 krat

Uporabniški avatar
kren
Prispevkov: 1651
Pridružen: 17.2.2005 12:54

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a kren »

Tisto ni determinanta (pri determinanti se nič ne zamenja) ampak reševanje sistema enačb po Gaussu, v tem postopku pa lahko menjaš vrstice kolikor hočeš. To pomeni samo, da na prvo mesto napišeš drugo enačbo in na drugo mesto prvo enačbo, ampak to je še vedno en in isti sistem enačb, samo lažje se pride do zgornje trikotne oblike po tej poti.

Motore
Prispevkov: 1107
Pridružen: 9.9.2009 23:28

Re: lastne vrednosti

Odgovor Napisal/-a Motore »

kren napisal/-a:Tisto ni determinanta (pri determinanti se nič ne zamenja)
No seveda lahko pri determinanti menjas. Ce zamenjas pri determinanti vrstice ali stolpce moraš dat drugačen predznak, medtem ko pri Gaussovi eliminaciji to ni potrebno... drugace pa je obicaj pisat za prvo vrstico tisto ki ima 1 na zacetku saj potem lazje mnozis/delis, sestevas/odstevas vrstice med seboj...

Odgovori