Linearna preslikava
Re: Linearna preslikava
Imam še eno vprašanje.
Imamo podano linearno preslikavo A:R_3[x]-->R_3[x] s predpisom (Ap)(x)=x^3p(1/x) + p(x) + x^2p(1). Poišči bazo jedra KerA in dimenzijo slike ImA.
Zanima me ali se lahko v tem primeru določi jedro in sliko brez pomoči matrik(standardna baza)?
Imamo podano linearno preslikavo A:R_3[x]-->R_3[x] s predpisom (Ap)(x)=x^3p(1/x) + p(x) + x^2p(1). Poišči bazo jedra KerA in dimenzijo slike ImA.
Zanima me ali se lahko v tem primeru določi jedro in sliko brez pomoči matrik(standardna baza)?
Re: Linearna preslikava
Seveda se da. Nastavis polinom v splosnem in pogledas kaj pride ven:
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Ap(x)=x^3(a/x^3+b/x^2+c/x+d)+ax^3+bx^2+cx+d+x^2(a+b+c+d)=0
(a+d)x^3+(a+2b+2c+d)x^2+(c+b)x+(a+d)=0
Vsi koeficienti morajo bit nic ce hoce bit to res. Iz tega
a+d=0
c+b=0
a+2b+2c+d=0
Ce sta prvi dve res, potem je tretja tudi. Torej so v jedru vsi polinomi za katere velja a=-d in c=-b oziroma
p(x)=a(x^3-1)+b(x^2-x)
je jedro preslikave (in ima dimenzijo 2).
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Ap(x)=x^3(a/x^3+b/x^2+c/x+d)+ax^3+bx^2+cx+d+x^2(a+b+c+d)=0
(a+d)x^3+(a+2b+2c+d)x^2+(c+b)x+(a+d)=0
Vsi koeficienti morajo bit nic ce hoce bit to res. Iz tega
a+d=0
c+b=0
a+2b+2c+d=0
Ce sta prvi dve res, potem je tretja tudi. Torej so v jedru vsi polinomi za katere velja a=-d in c=-b oziroma
p(x)=a(x^3-1)+b(x^2-x)
je jedro preslikave (in ima dimenzijo 2).
Re: Linearna preslikava
Kaj pa je potem baza ImA?
Re: Linearna preslikava
Tisto kar ostane. Tole imas:
(a+d)x^3+(a+2b+2c+d)x^2+(c+b)x+(a+d)
Zdaj je treba samo ugotovit kaksne vrednosti lahko ta stvar zavzame. Na videz izgleda da so parametri 4 ampak v resnici niso linearno neodvisni, tako da jih v resnici rabis manj.
Ocitna izbira je a+d=u in c+b=v in ostane
ux^3+(u+2v)x^2+vx+u
Ocitno rabis samo dva parametra (kolikor je dimenzija slike). Ce pogrupiras parametre ostane:
u(x^3+x^2+1)+v(2x^2+x)
Pa imas dva bazna vektorja.
Ce ti to ni vsec, gres lahko takoj pogrupirat:
a(x^3+x^2+1)+d(x^3+x^2+1)+b(2x^2+x)+c(2x^2+x)
Ti stirje "bazni vektorji" niso neodvisni (pri nas sta kar po dva enaka, ni pa nujno da je tako enostavno). Splosen postopek bi bil, da med njimi izberes najvec linearno neodvisnih kolikor jih lahko.
(a+d)x^3+(a+2b+2c+d)x^2+(c+b)x+(a+d)
Zdaj je treba samo ugotovit kaksne vrednosti lahko ta stvar zavzame. Na videz izgleda da so parametri 4 ampak v resnici niso linearno neodvisni, tako da jih v resnici rabis manj.
Ocitna izbira je a+d=u in c+b=v in ostane
ux^3+(u+2v)x^2+vx+u
Ocitno rabis samo dva parametra (kolikor je dimenzija slike). Ce pogrupiras parametre ostane:
u(x^3+x^2+1)+v(2x^2+x)
Pa imas dva bazna vektorja.
Ce ti to ni vsec, gres lahko takoj pogrupirat:
a(x^3+x^2+1)+d(x^3+x^2+1)+b(2x^2+x)+c(2x^2+x)
Ti stirje "bazni vektorji" niso neodvisni (pri nas sta kar po dva enaka, ni pa nujno da je tako enostavno). Splosen postopek bi bil, da med njimi izberes najvec linearno neodvisnih kolikor jih lahko.
Re: Linearna preslikava
Nujno bi rabil pomoč pri teh dveh nalogah:
Sploh me zanima kako določit to matriko.. Če bi znal kdo to razložit bi mu bil ful hvaležn..
Lp
Koda: Izberi vse
1.) V R3 je dana transformacija A s predpisom
A(x1; x2; x3) = (2x1 - 2x2; x1 - x2;-x1 - 4x2 - 5x3):
Pokaži, da je to linearna preslikava in zapiši matriko, ki pripada tej pres-
likavi v standardni bazi prostora R3.
2.)
Prepričaj se, da je preslikava, podana s predpisom
(Ap)(t) = (t^2 + 2t + 3)p''(t) + (t + 1)p'(t) - 3p(t)
linearna in določi matriko, ki ji pripada v bazi B = {1, t, t^2 + 1}. Določi
še Ker(A) in Im(A).
Lp
Re: Linearna preslikava
Matrika preslikave ima po stolpcih zapisane transformiranke baznih vektorjev, razstavljene po istih baznih vektorjih. Pri prvi nalogi je v bistvu ze razstavljeno:
\(A=\begin{bmatrix}
2&1&-1\\
-2&-1&-4\\
0&0&-5
\end{bmatrix}\)
(matrika A vektor x1 transformira v 2*x1-2*x2: x1 je v standardni bazi (1,0,0) in ce to pomnozis z A dobis (2,-2,0)).
Pri drugi pa isto samo da moras bazne vektorje dejansko vstavit v preslikavo in izracunat kaj pride (in na koncu nazaj razbit po istih baznih vektorjih).
\(A=\begin{bmatrix}
2&1&-1\\
-2&-1&-4\\
0&0&-5
\end{bmatrix}\)
(matrika A vektor x1 transformira v 2*x1-2*x2: x1 je v standardni bazi (1,0,0) in ce to pomnozis z A dobis (2,-2,0)).
Pri drugi pa isto samo da moras bazne vektorje dejansko vstavit v preslikavo in izracunat kaj pride (in na koncu nazaj razbit po istih baznih vektorjih).
Re: Linearna preslikava
Matrika pri 2.zgleda potem takole:
A= |1 0 0 |
|2 1 0|
|3 1 3|
Kk pa zei uporabiš bazo B in določiš KerA in ImA?
A= |1 0 0 |
|2 1 0|
|3 1 3|
Kk pa zei uporabiš bazo B in določiš KerA in ImA?
Re: Linearna preslikava
Ne to ni prav. Ce vstavis prvi bazni vektor:
A(1)=-3
Ce vstavis drugi bazni vektor
A(t)=(t+1)-3t=-2t+1=1+(-2)*t
Ce vstavis tretji bazni vektor:
A(t^2+1)=2(t^2+2t+3)+(t+1)(2t)-3(t^2+1)=t^2+6t+3=2+6*t+(t^2+1)
A(1)=-3
Ce vstavis drugi bazni vektor
A(t)=(t+1)-3t=-2t+1=1+(-2)*t
Ce vstavis tretji bazni vektor:
A(t^2+1)=2(t^2+2t+3)+(t+1)(2t)-3(t^2+1)=t^2+6t+3=2+6*t+(t^2+1)
Re: Linearna preslikava
Aha..tko.. in zei dobiš tto novo matriko..pač to vstaviš v stolpce, ka dobiš.. kk pa potem tto jedro zračunaš pa sliko?
Drgač pa thanks a lot aniviller!
Drgač pa thanks a lot aniviller!
Re: Linearna preslikava
To zdaj lahko vse na matriki delas. Jedro je tisto kar se preslika v nic, torej resitev enacbe
Ax=0
(resis kakor hoces - z Gaussovo eliminacijo ali kaj takega)
Saj to ste verjetno dosti vadili.
Za sliko podobno - najti moras bazo tistega kar dobis ce pomnozis poljuben vektor - recimo (a,b,c) z matriko A.
Ax=0
(resis kakor hoces - z Gaussovo eliminacijo ali kaj takega)
Saj to ste verjetno dosti vadili.
Za sliko podobno - najti moras bazo tistega kar dobis ce pomnozis poljuben vektor - recimo (a,b,c) z matriko A.
Re: Linearna preslikava
Bi mi znal kdo povedat, kk nei dobim predpis za preslikavo iz matrike in dveh baz pri tej nalogi, da lahko pole naredim drugo preslikavo po istem predpisu..al je sploh potrebno to..al rabš sam normalno preslikavo iz R3->R2 za B v D nardit?
Re: Linearna preslikava
Predstavljaj da matriko izvedes na vektorju.
f slika nek vektor x iz prostora A v prostor C. Torej
\(f^{(A\to C)} x^{(A)}\)
Ce hoces preslikat iz prostora B v prostor D s to matriko, potem moras najprej iz B slikat v A, izvest operacijo in rezultat preslikat iz C v D:
\(\underbrace{T^{(C\to D)}f^{(A\to C)} T^{(B\to A)}}_{f^{(B\to D)}}x^{(B)}\)
prehodni matriki iz B v A lahko sestavis iz baz teh dveh prostorov. Bazi imas izrazeni v standardni bazi. Matriko A lahko razumes kot prehodno matriko iz baze S v bazo A, podobno matrika B. Torej:
\(T^{B\to A}=T^{S\to A}T^{B\to S}=AB^{-1}\)
Rezultat:
\(f^{(B\to D)}=DC^{-1}f^{(A\to C)}AB^{-1}\)
A in D sta itak enotski matriki (torej predstavljata A in D standardno bazo) tako da imas pol manj dela.
f slika nek vektor x iz prostora A v prostor C. Torej
\(f^{(A\to C)} x^{(A)}\)
Ce hoces preslikat iz prostora B v prostor D s to matriko, potem moras najprej iz B slikat v A, izvest operacijo in rezultat preslikat iz C v D:
\(\underbrace{T^{(C\to D)}f^{(A\to C)} T^{(B\to A)}}_{f^{(B\to D)}}x^{(B)}\)
prehodni matriki iz B v A lahko sestavis iz baz teh dveh prostorov. Bazi imas izrazeni v standardni bazi. Matriko A lahko razumes kot prehodno matriko iz baze S v bazo A, podobno matrika B. Torej:
\(T^{B\to A}=T^{S\to A}T^{B\to S}=AB^{-1}\)
Rezultat:
\(f^{(B\to D)}=DC^{-1}f^{(A\to C)}AB^{-1}\)
A in D sta itak enotski matriki (torej predstavljata A in D standardno bazo) tako da imas pol manj dela.
Re: Linearna preslikava
Thanks.. aniviller pr prejšni nalogi ko maš polinom, pa bazo B=(1,t,t^2+1).. dobiš takole matriko..
|0 0 -3|
|0 -2 1|
|2 6 3|
Je prav takole.. kk bi pa zei dokazo linearnost za to nalogo.. ? Dokazat je treba aditivnsot in homogenost sam kk?
|0 0 -3|
|0 -2 1|
|2 6 3|
Je prav takole.. kk bi pa zei dokazo linearnost za to nalogo.. ? Dokazat je treba aditivnsot in homogenost sam kk?
Re: Linearna preslikava
Ne to ni prav, vrstni red komponent imas pomesan. Ce je baza po vrsti 1,t,t^2+1 potem je
\(\begin{bmatrix}
-3&1&2\\
0&-2&6\\
0&0&1
\end{bmatrix}\)
Po stolpcih so razvoji preslikanih baznih vektorjev po isti bazi.
In ce imas zapisano kot matriko potem je po definiciji linearno.
Drugace to dokazes tako da vstavis notri linearno kombinacijo in preveris ce razpade na linearno kombinacijo preslikav.
\(\begin{bmatrix}
-3&1&2\\
0&-2&6\\
0&0&1
\end{bmatrix}\)
Po stolpcih so razvoji preslikanih baznih vektorjev po isti bazi.
In ce imas zapisano kot matriko potem je po definiciji linearno.
Drugace to dokazes tako da vstavis notri linearno kombinacijo in preveris ce razpade na linearno kombinacijo preslikav.
Re: Linearna preslikava
sam zakaj je -3 1 2 prva vrstica, če pa dobiš ko vstaviš t^2+1 -> 3+6t +t^2.. zaka moreš pole od 3 vzet 1 in dodat t^2..?