spet teževa-matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 27.8.2010 22:30

Razbijes:
\(|x-3|>|x-1||x+2|\)

Zdaj gres pa po pogojih. Imas 4 obmocja: (-neskoncno,-2), (-2,1), (1,3), (3,neskoncno).

V vsakem obmocju lahko "uporabis" absolutne vrednosti: odstranis ce je itak pozitivno in das minus ce je bilo negativno. Potem na teh obmocjih resis neenacbo. Pazit moras le, da ne glede na to kaksna obmocja dobis iz teh neenacb, te vedno veljajo le znotraj posameznega obmocja.

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 27.8.2010 23:02

za interval (-neskoncno,-2) dobim resitev: \(x^2+2x+1>0\) dobim torej \(x_1_2=-1\)

kako sedaj upostevam to?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 27.8.2010 23:04

Ja to se ni do konca. To so samo nicle. Ampak ti imas neenacbo. Ker imas dvojno niclo, je cela parabola pozitivna (razen -1 kjer je 0 ampak ta itak ni v tem intervalu).

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 27.8.2010 23:08

se pravi da ta resitev ni na intervalu, grem zdaj preverjat za druge intervale

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 27.8.2010 23:44

Ce je x manjsi od -2, potem so vsi trije cleni negativni in moras povsod dat minuse ce hoces odstranit absolutne vrednosti:
\(-(x-3)>(-(x-1))(-(x+2))\)
\(0>x^2+x-2+x-3\)
\(0>x^2+2x-5\)

Torej - zelo narobe si izpeljal.

Drugace, hipoteticno, ce bi bila dobljena neenacba pravilna, bi bil cel interval resitev (ker je tista neenacba povsod res).

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 28.8.2010 2:13

vidim ja, da sem se zmotil pri izracunu

Dobil sem naslednje rezultate:

1. interval \((-\infty, -2 \rbrack:\) \(0>x^2+2x-5\)
\(x_1=-1+\sqrt{6}\approx1,4\)
\(x_2=-1-\sqrt{6}\approx-3,45\)
z intervala je le resitev \(x_2\approx-3,45\)

2. interval \((-2, 2 \rbrack:\) \(x^2+1>0\) - to bo vedno vecje od 0, ker ne more biti negativno število

3. interval \((1, 3 \rbrack:\) \(x^2-2x-1<0\)
\(x_1=1+\sqrt{2}\approx2,41\)
\(x_2=1-\sqrt{2}\approx-0,41\)
z intervala je le resitev \(x_1\approx2,41\)

4. interval \((3, \infty )\): \(x^2+x-2<0\)
\(x_1=1\)
\(x_2=-2\)
na intervalu ni nobena resitev

kako pa zdaj zapisem koncno resitev R?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 28.8.2010 10:09

Se vedno ni prav... ostalo nisem toliko preverjal ampak 3. interval je tak, da sta x-1 in x+2 ze pozitivna (na desni ni nobenih minusov), x-3 je pa negativen. Torej
\(-(x-3)>(x-1)(x+2)\)
\(0>x^2+x-2+x-3\)
\(0>x^2+2x-5\) (slucajno ista kot za prvi interval)
\(x_1=-1+\sqrt{6}\)
\(x_2=-1-\sqrt{6}\)

Pa resitve dobljenih neenacb so tudi intervali. Recimo na tretjem intervalu ni resitev x1 ampak celo obmocje med x2 in x1 (parabola je med niclama negativna, kar je tvoj pogoj). Ker je resitev veljavna samo znotraj intervala (1,3), x2 je pa manjse od 1, je resitev na tem intervalu (1,x1). Formalno gledano, presek obeh intervalov (tukaj risanje zelo pomaga).


Torej, na vsakem intervalu je resitev nov interval (ali unija vec intervalov), ne samo ena tocka (razen v izjemnih mejnih primerih). Ker morata veljati oba pogoja hkrati (in prvotna omejitev na interval in tisto, kar dobis za resitev), poisces presek intervalov (tam kjer veljata oba pogoja).
Attachments
parabolaneen_s.png

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 28.8.2010 12:57

ja risanje pomaga, Aniviller hvala

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 28.8.2010 18:53

kako se pa resi to:

\(z^4=-8+8\sqrt3 i\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 28.8.2010 19:16

Lahko dvakrat korenis (vsakic dobis dve resitvi). Ce znas korenit v kartezicnem.

Drugace je pa najlazje, ce gres v polarno obliko:
\(z^4=A e^{{\rm i}\phi}\)
\(z=A^{1/4} e^{{\rm i}\phi/4+{\rm i}\frac{2\pi n}{4}}\)
To lahko potem nazaj pretvoris po Eulerjevi formuli ali pa pustis kar v tej obliki.

V polarno obliko gres tako da spredaj das absolutno vrednost, gor pa argument (polarni kot) ki ga dobis z arkus tangensom (pa pazi v katerem kvadrantu si).

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 28.8.2010 19:25

ja meni delajo probleme ti koti, ker ne vem kako morajo biti, v stopinjah ali ne? in kako je s temi kvadranti

za ta primer dobim \(r=16\) in \(tg\phi=\frac{b}{a}\Rightarrow\phi=-60^\circ\)

in potem treba izracunat po formuli za korenjenje \(z_0,z_1,z_2,z_3\)?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 28.8.2010 20:31

Pozabi stopinje. Koti niso nikoli v stopinjah - to je samo orodje da si ljudje lazje predstavljajo ker so cele stevilke. Kot je drugace brez enot, tako kot vsi argumenti funkcij v matematiki.
Tisto kar vidis je v resnici mnozenje s stopinjo, ki je neka stevilska konstanta: \({}^\circ=\frac{\pi}{180}\).

Eksponentna funkcija v kompleksnem pretvarja polarni zapis v kartezicnega. Kot je periodicen na \(2\pi\), zato lahko stevilko zapises kot
\(w=|w|e^{{\rm i}(\phi+2\pi n)}\)
V tej obliki je za vsak n to isto stevilo. Ko pa delis s 4, je za prve 4 n-je rezultat razlicen, preden se spet ponovi. Od tukaj pridejo 4 resitve.

Amplituda |w| je pa itak realna in jo korenis na obicajen nacin.


Tvoj primer: nisi pazil na kar sem te opozoril: tvoj kot je v napacnem kvadrantu (negativen x in pozitiven y je 2. kvadrant, tvoj kot je v 4. - arkus tangens ima dve resitvi ker ce kotu pristejes \(\pi\) tangens da isto ven).

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 28.8.2010 21:19

razumem zakaj se gre in sem resil nalogo, saj konec koncev tud nima veze ali uporabljas stopinje ali radiane, samo kalkulator moras imeti potem prav nastavljen (DEG, RAD), jaz sem uporabljal radiane in jih bom od zdaj naprej ves cas uporabljal

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 28.8.2010 21:32

V eksponentnem zapisu uporaba stopinj ni korektna. Lahko jih sicer vleces s seboj in uporabis ko gres nazaj na kartezicno, to bo delalo. Ni pa lepo.

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 28.8.2010 23:53

probleme imam z razumevanjem zveznosti funkcij, v cem je tukaj "point", kaj je poanta leve in desne limite? vem, kako to zgleda graficno, vendar racunsko pa ne...

npr naloga tipa:

poisci tocke nezveznosti

\(f(n) =
\begin{cases}

e^x; x\le 0 \\
x-1; 0<x\le1 \\
\ln x; x>1

\end{cases}\)

Post Reply