spet teževa-matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 31.8.2010 19:03

jest21 wrote:Prosil bi za pomoč, pri 2 nalogah iz linearne algebre, pa če lohk detaljno kak se reši.
1) dana je matrika A=
0 1 0
0 0 -1
1 0 0

Dokaži, da je množiča M={ X e Mat 3x3; A(na kvadrat)*X + X*A(transponirano)=0} vektorski podprostor v prostoru vseh realnih

3x3 matrik in določi kakšno bazo tega podprostora.


2) Naj bo D={(x, y) e RxR; (x-5)(na kvadrat)+(y+5)(na kvadrat)< ali = 1} Določi največjo in najmanjšo vrednost funkcije F: D ----> R, podane s predpisom f(x, y) =x/y - y/x


Hvala, pa se opravičujem za grdo napisane enačbe, drugač ne znam, če ni kej jasno pa vprašite.
1) to da je tisto vektorski prostor je ocitno. Veljati mora, da je nicla element prostora (seveda je) in da velja linearnost (a*X+b*Y vstavis in vidis da razpade na vsoto dveh kosov ki sta po pogoju itak oba nic - torej je linearna kombinacija dveh elementov tudi element tega prostora).

Opazit se da, da je
\(A^2=\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}=-A^T\)
(in mimogrede, da je A^3=-1).

Torej isces bazo matrik za katere velja
\(A^T X=XA^T\)
Par baznih vektorjev lahko kar uganes. Recimo identiteta je seveda element tega prostora, prav tako A in A^T. Pomisli ce je obstaja se kaksna.

2) Kaj tocno ti tukaj ne gre? Namig: ekstrem je lahko bodisi znotraj obmocja ali na robu. Izracunaj oboje (najprej obicajne ekstreme s tem da pogledas ce kaksen lezi notri ali ne, ter vezan ekstrem na robu). Potem samo pogledas kateri je najvecji/najmanjsi.

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 31.8.2010 19:38

sem reseval matriko P lastnih vektorjev in prisel do tega:

in sem dobil za \(\lambda_1=1\):

\(\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)


za \(\lambda_2=-1\):

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)


ter za \(\lambda_3=2\):

\(\begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
0 & -6 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)


mene zanima kako zdaj dobim lastne vektorje, da lahko zapisem matriko P lastnih vektorjem, kako pridem do \(x_1,x_2,x_3\) pri vsaki lambdi?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 31.8.2010 19:46

Resis sistem \((A-\lambda_i I)e_i=0\). Za prvo recimo imas
x-y+z=0
2z=0

iz tega z=0 in x=y. Za lastni vektor je skalarni predfaktor itak nepomemben. Vzames x=y=1 in
\(e_1=(1,1,0)\)
Na podoben nacin dobis
\(e_2=(1,0,-1)\)

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 31.8.2010 19:56

aha, men glede enke ni blo jasno, pac vzames 1 in je to to

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 31.8.2010 20:03

Vzames karkoli. Reces
\(e_1=(a,a,0)\)
in recimo ce hoces normirat dobis potem \(e_1^2=2a^2=1\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Ponavadi se odlocis med dvema opcijama: ali normiras (ce hoces dobit transformacijsko matriko) ali pa vzames tako da so cela stevila (ce recimo hoces predstavo o tem kaj lastni vektor pomeni ali ce ga uporabis direktno in ga ne tlacis v matriko).

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 31.8.2010 21:49

kaj pa ce resujes sistem enacb, kjer imas 5 neznank npr. \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) kot primer spodaj, koliko casa moras izvajat gaussovo eliminacijo, kako to ves?
Attachments
sistem.jpg
sistem.jpg (6.75 KiB) Viewed 1867 times

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 31.8.2010 21:55

prisel sem do tega

\(\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 3 & -6 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 6 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -2 & -3 \\
\end{bmatrix}\)


moram dalje ali je taka oblika dovolj?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 31.8.2010 21:58

Ja ko imas izrazene vse spremeljivke. Pac do konca gres. Saj gaussova eliminacija je zakljucen postopek, ne nekaj na priblizno.

*dodatek:

Ja saj ni nobene razlike ali izvedes gaussovo eliminacijo do konca v matricnem zapisu, ali pa izrazis spremeljivke in jih vstavljas nazaj. To je popolnoma isti postopek, samo da imas vec pisanja.

V tem primeru imas itak nedolocen sistem in ti bodo prve 4 spremeljivke ostale izrazene s peto.

jest21
Posts: 5
Joined: 31.8.2010 9:03

Re: spet teževa-matematika

Post by jest21 » 1.9.2010 13:20

1) to da je tisto vektorski prostor je ocitno. Veljati mora, da je nicla element prostora (seveda je) in da velja linearnost (a*X+b*Y vstavis in vidis da razpade na vsoto dveh kosov ki sta po pogoju itak oba nic - torej je linearna kombinacija dveh elementov tudi element tega prostora).

Opazit se da, da je
\(A^2=\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}=-A^T\)
(in mimogrede, da je A^3=-1).

Torej isces bazo matrik za katere velja
A^T X=XA^T
Par baznih vektorjev lahko kar uganes. Recimo identiteta je seveda element tega prostora, prav tako A in A^T. Pomisli ce je obstaja se kaksna.

2) Kaj tocno ti tukaj ne gre? Namig: ekstrem je lahko bodisi znotraj obmocja ali na robu. Izracunaj oboje (najprej obicajne ekstreme s tem da pogledas ce kaksen lezi notri ali ne, ter vezan ekstrem na robu). Potem samo pogledas kateri je najvecji/najmanjsi.
Najprej Hvala! Torej če prov razumem za. 1 nalogo moreš najprej preverit če ustreza matrika 0, nakar namesto X v pogoj vstaviš aX+bY in poračunaš, da ustreza. Imel, bi pa še eno noob vprašanje, kolk različnih baznih vektorjev(matrik) je treba poiskat, da napenjajo ta prostor (ali pa druge prostore z matrikami 2x2, 3x3), recimo za polinome vem je treba n+1 vektorjev, da je baza, tuki pa res ne vem.

Za 2. nalogo, pa bi rabil cel postopek, kako se to rešuje, kjer nikjer ne najdem.

Jurij
Posts: 585
Joined: 27.2.2006 11:09

Re: spet teževa-matematika

Post by Jurij » 1.9.2010 14:24

preverjanje, da je nekaj podprostor: ubistvu to, da je ničelni element v podprostoru, ni treba posebej preverjat, ker to pride že s homogenostjo. potrebno je preveriti zaprtost za množenje s skalarjem in za seštevanje, kar je Aniviller naredil v enem koraku; predpostaviš, da sta X in Y v podprostoru in s pomočjo tega dokažeš, da je v podprostoru tudi aX+bY (za vsak a,b iz obsega).

določanje baznih vektorjev:
gotovo jih bo manj kot 9 (9 baznih vektorjev namreč napenja celoten prostor 3x3 matrik, tole pa je očitno podprostor). Najbolj osnoven in primitiven način (če ne gre drugače) je, da vpelješ 9 neznank in poračunaš. tukaj to ni tak problem, ker je ta matrika lepa za množenje.
\(\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}\)
iz tega hitro vidiš g=b=-f, c=d=-h,i=a=e, torej ta prostor napenjajo trije vektorji, natanko tisti, ki jih je že Aniviller navedel (identiteta in A^T očitno, A pa zato ker je ortogonalna).

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 1.9.2010 14:24

Za prvo res ni ocitno koliksna je baza (koliko dimenzionalni prostor matrik komutira z neko matriko). Odgovor se skriva ravno tukaj: ce ima neka matrika razlicne lastne vrednosti, z njo komutirajo samo matrike ki so z njo simultano diagonalizabilne. Torej matrike, ki imajo v razcepu PDP^{-1} isti P vendar drug D. Ker je matrika 3x3, so take matrike tudi 3 (namesto cele matrike lahko podas samo diagonalo, ki ima tri komponente).

2) to pa rez tezko verjamem. Iskanje ekstremov sodi med osnove ki jih vidis popolnoma povsod. Ze na tem forumu mislim da je vec deset tem v katerih smo resevali take naloge. Ce tega ne znas si v hudih problemih.

V glavnem, za ekstrem funkcije vec spremeljivk odvajas parcialno enkrat po eni, enkrat po drugi in zahtevas da so vsi parcialni odvodi enaki 0.
Za vezani ekstrem skonstruiras \(F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)\), kjer je f tvoja funkcija, g pa vez (\(g(x,y)=(x-5)^2+(y+5)^2-1\)). Potem to funkcijo obravnavas kot obicajno funkcijo TREH spremeljivk in njej poisces ekstreme. Dobljene resitve ti dajo ekstreme ki lezijo na podani vezi (rob tvojega obmocja). \(\lambda\) potem lahko zavrzes, ker rabis samo x,y.

Res poskusi ta postopek izvesti (napisal sem ti cel postopek - slediti navodilom ne bi smel biti problem, saj ni treba da imas ravno resen primer), ce se vmes pojavijo tezave bomo pa pomagali.

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 1.9.2010 14:53

mene pa zanima kako naj resim ta sistem ko je vse enako 0:

\(-x-y+3z+w=0\)
\(-x+y+2z-w=0\)
\(10x+3y-z+2w=0\)

je treba to resevat s Cramerjevim pravilom?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: spet teževa-matematika

Post by Aniviller » 1.9.2010 15:04

Pusti kramerja, tisto je samo drugacna (in bolj zapletena in okorna) metoda.

Saj to resujes vsakic ko isces lastne vektorje! Gre pac za homogen sistem, ki ima bodisi neskoncno ali nic resitev (ce najdes eno resitev, je ta pomnozena s poljubnim skalarjem tudi resitev).

Poleg tega je tale sistem ze tako nedolocen (ima se eno spremeljivko vec).

Naredis Gaussovo eliminacijo, ki pa ne bo take oblike
1 0 0 0 | a
0 1 0 0 | b
0 0 1 0 | c
0 0 0 1 | d
ampak
1 0 0 ? | 0
0 1 0 ? | 0
0 0 1 ? | 0

(? so karkoli). Ko prides do take oblike pomeni, da je zadnja spremeljivka poljubna (tista katere stolpec nima diagonalnega clena). To spremeljivko potem lahko das na drugo stran in se obnasa kot parameter - z njo izrazis vse ostale. Recimo v stilu
x=a1*w
y=a2*w
z=a3*w

Kosho
Posts: 125
Joined: 13.2.2008 17:45

Re: spet teževa-matematika

Post by Kosho » 2.9.2010 13:39

ko rises funkicijo, kako dolocis asimptoto?

problemi
Posts: 4931
Joined: 24.8.2009 1:20

Re: spet teževa-matematika

Post by problemi » 2.9.2010 13:48

Kosho wrote:ko rises funkicijo, kako dolocis asimptoto?
Sicer bi se lahko tudi sam potrudil; pa vseeno:
http://www2.arnes.si/~mpavle1/mp/funk2.html
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node82.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote

Post Reply