Pomoč diferencialna enačba

[Hribowc]

Rabim pomoč pri deferencialni enačbi. Ne uspe mi zadeve ločit na obe spremenljivki, da bi lahko potem integriral

Naloga:
y+y' = x +1
Moj postopek:
y+(dy/dx) = x+1 /*dx
ydx + dy = (x+1)dx
dy = (x+1)dx - ydx // naprej ne gre

[Aniviller]

Separacija spremeljivk se skoraj nikoli ne da. Linearne DE s konstantnimi koeficienti se resuje na standardni nacin: homogeni del resis z eksponentnim nastavkom (za y'+y=0 je na pamet ocitna resitev y=exp(-x)). Partikularno resitev pa dobis recimo z variacijo konstante:
\(y=c(x)e^{-x}\)
\(y+y'=c(x)e^{-x}+c'(x)e^{-x}-c(x)e^{-x}=c'(x)e^{-x}=x+1\)
\(c(x)=\int (x+1)e^{x}{\,\rm d}x=xe^{x}\)

Torej: \(y=Ae^{-x}+x\)

[Kosho]

tako kot je rekel Aniviller, najprej resis homogeni del, to clen kjer nastopa \(y'\) in \(y\) izenacis z 0, \(y' + y = 0\), nato pa resis se partikularni del, splosna resitev pa je nato \(y = y_h + y_p\)

[Hribowc]

Homogeni del mi je jasen. Kako pa do rešitve partikularnega dela?

[Kosho]

primer:

ce dobis resitev homogenega dela \(y_h = x^2 D\)

potem zapises \(y_p = x^2 D(x)\)

potem to odvajas po pravilu za odvod produkta in dobis \(y'_p = 2x D(x) + x^2 D'(x)\) potem ta odvod vstavis v zacetno DE, se ti neke stvari pokrajsajo in izrazis ven \(D'(x)\), nato ta \(D'(x)\) integriras, da dobis \(D(x)\), no sedaj si ze pri koncu, ta \(D(x)\) vstavis v \(y_p\) ter zapises splosno resitev DE \(y = y_h + y_p\)

[Aniviller]

Partikularni del sem ti v celoti resil: iscemo c(x) (konstanto v homogenem delu razglasimo za nekaj, kar je lahko se vedno od x odvisno in vstavimo, da dobimo enostavno diferencialno enacbo za c).

Drug nacin je nastavek: za polinom na desni strani lahko vedno nastavek das ravno tako v obliki polinoma.

[Hribowc]

Super hvala obema!

[Hribowc]

kako pa rešim spodnjo enačbo. ali obstajajo predpisani postopki glede na obliko enačbe?

xyy'=1-x^2

[Aniviller]

Pri nelinearnih enacbah zelo prav pride malo instinkta in domisljije. Recimo tukaj vidis da je na levi strani ravno odvod y^2:
\(z=y^2\)
\(z'=2yy'\)

\(xz'=2(1-x^2)\)
To pa zdaj resis s separacijo spremeljivk.

[shrink]

Niti ni potrebno uvajati nove spremenljivke, saj se da že takoj ločiti obstoječi spremenljivki:

\(\displaystyle y\, \mathrm{d}y=\frac{1-x^2}{x}\, \mathrm{d}x\)

[Aniviller]

O pa res. Poklicna deformacija. yy' tolikokrat nastopa v energijskih enacbah da naredim substitucijo preden pomislim. Saj resevanje je itak enako ker integral leve strani da "z/2".

[Kosho]

kako se razresi ta integral: \(\int (1 + lnx) dx\) ?

[Aniviller]

Enko znas integrirat. Logaritem pa per partes.

[Kosho]

se pravi \(\int (1 + lnx) dx = \int dx + \int lnx dx\), pri cemer \(lnxdx\) integriram per partes? to bi slo

[Aniviller]

Seveda. Vsota in konstante gredo itak lahko vedno ven iz integrala.

Integral logaritma je pa tudi znana zadeva (ga imas v vseh tabelah). Per partes je pa tudi najbolj enostaven kolikor je lahko, ker nic ne ostane.