Kompleksna števila

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
rutar7
Posts: 5
Joined: 30.10.2010 13:38

Kompleksna števila

Post by rutar7 » 30.10.2010 16:01

Pozdravljeni... imam eno prošnjo...če bi mi lahko kdo prosim pomagal rešiti ta primer, namreč sem ga poskusil sam vendar dobim a+b=0 in ne vem kaj naj s tem naredim :P

Naloga pa je:
Določite vsa kompleksna števila z, ki zadoščajo enačbi:

Im((z/z konjugirano)+i)=0

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Kompleksna števila

Post by Aniviller » 30.10.2010 17:37

Ja to je ze resitev. a+b=0 so vsa kompleksna stevila ki lezijo na simetrali sodih kvadrantov (premica a+b=0).

p.s. moderatorji, latex ne dela.

rutar7
Posts: 5
Joined: 30.10.2010 13:38

Re: Kompleksna števila

Post by rutar7 » 30.10.2010 19:02

ooo super super najlepša hvala. Nekaj bi pa še dodal...dobil sem rezultat (a+b)^2=0 in nato korenil obe strani in dobil a+b=0. Ali sem to pravilno naredil ali ne bi smel koreniti? Imam pa še eno vprašanje oz nalogo, katero bi bilo lažje zapisati z latex-om vendar ker trenutno ne deluje bom poskusil kar takole:

Določite vsa kompleksna števila z, ki zadoščajo pogojema:

abs((z+1)/(z-1))=1, z=2i(z konjugirano)
Last edited by rutar7 on 30.10.2010 19:12, edited 1 time in total.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Kompleksna števila

Post by Aniviller » 30.10.2010 19:12

Absolutna vrednost se prenese v mnozenje/deljenje. To je torej
|z+1|=|z-1|
(mnozica tock, ki so enako oddaljene od 1 in -1, torej navpicna premica pri x=0)

Pri drugi lahko das z=x+iy in ugotovis zakaj se gre, vendar lahko ze prej ugotovis nekaj, ce pogledas kar absolutne vrednosti:

|z|=2|z|
(i in konjugacija ne vplivata na absolutno vrednost). Temu zadosca samo z=0.

rutar7
Posts: 5
Joined: 30.10.2010 13:38

Re: Kompleksna števila

Post by rutar7 » 30.10.2010 19:35

aha aha...kaj potem to pomeni da ni rešitve ali da je to točka v koord. izhodišču? Ker pač če je z=0 potem je tudi a=0 in b=0...

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Kompleksna števila

Post by Aniviller » 30.10.2010 19:38

Koordinatno izhodisce je resitev.

rutar7
Posts: 5
Joined: 30.10.2010 13:38

Re: Kompleksna števila

Post by rutar7 » 30.10.2010 19:41

super super...to je vse..

najlepša ti hvala :)

anjaD
Posts: 81
Joined: 23.8.2010 13:04

Re: Kompleksna števila

Post by anjaD » 27.1.2011 10:40

Tudi jaz imam eno nalogo pri kateri rabim pomoč:

Reši enačbo:

(2+5i)*z^3 - 2i + 5 = 0
sem rešila in dobila da je z^3 = i mi smo se tako učili da potem to izenačiš z w da se izogneš korenom. Samo pri formuli w=r(cos fi + isin fi) lahko določimo samo r = |z|= koren iz (x^2 + y^2) in v našem primeru je r= 1 ko pa moraš zračunati kot fi se pa ustavi. kot se izračuna z formulo tg fi = y/x = Im/Re in v našem primeru pride to tg fi = 1/0 to pa ni možno. Zanima me če kdo zna to rešit.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Kompleksna števila

Post by Aniviller » 27.1.2011 13:15

Ne na slepo racunat arkus tangensa - za i itak ves kaksen argument ima: fi=pi/2. Tangens ima pri tem kotu seveda pol. Pazljivost je potrebna tudi v 3. in 4. kvadrantu ker ti arkus tangens ne loci med fi in fi+pi.

ljupsi
Posts: 2
Joined: 26.8.2011 15:20

Re: Kompleksna števila

Post by ljupsi » 26.8.2011 17:00

Živjo,
Prosil bi za pomoč pri tej nalogi.
Zanima me, če sem prav rešil nalogo. Moji rezultati: omega^27=1 z=-2-3i
Image

Hvala :)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Kompleksna števila

Post by Aniviller » 26.8.2011 17:43

Ni prav.
\(w=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=e^{-\pi/3i}\)
kar je na enotski kroznici navzdol pod kotom 60 stopinj.
\(w^{27}=e^{-27\pi/3i}=e^{-9\pii}=-1\)

Ce vstavis v glavno enacbo z=a+bi, dobis
\(a^2-b^2+2abi+2ai-2b=a^2+(b+2)^2-3i\)
Realni del te enacbe se preoblikuje v
\(b^2+3b+2=0\)
ki ima resitvi b=-1 in b=-2.

Imaginarni del enacbe se glasi
\(2ab+2a=-3\)
\(a=\frac{-3}{2(1+b)}\)
Pri b=-1 a ni definiran. b=-2 da resitev
\(z=a+bi=\frac{3}{2}-2i\)

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Kompleksna števila

Post by sanej » 23.8.2012 11:57

živjo, zanima me sledeči problem.

Dokaži, da je f: kompleksnih -> realna št definirana s predpisom \(\[ f(x + iy) = \sqrt{ |x||y|} \]\), v točki 0 zadošča Chauchy-Riemanovem pogoju, pa vendar tam ni holomorfna. Kako lahko to razložimo??

vse skupaj sem vstavil v cauchy riemanovi enačbi \(\[ u_x=v_y\]\) in \(\[ u_y=-v_x \]\) in v točki nič zadostim tem pogojem

zanima me če je to vredu dokaz? in pa kako to lahko razložimo ??

Jurij
Posts: 585
Joined: 27.2.2006 11:09

Re: Kompleksna števila

Post by Jurij » 23.8.2012 13:05

Poglej si npr. http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphi ... Definition; če je funkcija holomorfna, reši CR enačbe, obratno pa ni res (zahtevati je potrebno še zveznost prvih parcialnih odvodov, to pa v tvojem primeru verjetno odpove).

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Kompleksna števila

Post by sanej » 24.8.2012 14:56

hvala

Ali bi znal kdo rešiti sledeči integral v kompleksnem jordanova krivulja gre po enotski krožnici |z|=1

\(\[ \oint \frac{1}{\sin(4z)} \mathrm{d}z \]\)

probal sem razviti spodaj v laurentovo vrsto in iz tega dobiti residuume..pa nekako ne gre bi znal kdo??

Jurij
Posts: 585
Joined: 27.2.2006 11:09

Re: Kompleksna števila

Post by Jurij » 24.8.2012 21:05

Residuume v enostavnih polih (to velja za tvoj primer) lahko računaš tudi tako:
\(Res(f,z_0)=\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)\);
v posebnem primeru, ko je \(f=\frac{f_1}{f_2}\), kjer sta \(f_1, \ f_2\) holomorfni in ima \(f_2\) enostavno ničlo v \(z_0\), iz zgornje formule dobiš
\(Res(\frac{f_1}{f_2},z_0)=\lim_{z \to z_0} (z-z_0)\frac{f_1(z)}{f_2(z)}=\frac{f_1(z_0)}{f_2'(z_0)}\),
s tem bo pa verjetno šlo.

Post Reply