Page 1 of 1

končne vrste

Posted: 18.11.2010 15:50
by jurekuhar
zdravo! za nalogo smo v šoli (pri višjemu nivoju matematike) dobili sledeči končni vrsti:

1^2 +2^2 +3^2 +4^2 + .... +n^2

1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+ .... +(1+3+5+7+ .... +2n-1)

Naloga se glasi:
zapiši vrednost končnih vrst! pri vsaki vrsti zapiši nekaj členov zaporedja delnih vsot S1, S2, S3,...! Nato pa iz zaporedja ugani obrazec za Sn! Domnevo za Sn dokaži s popolno indukcijo!

zanima me kako lahko dobim obrazec za vsoto končnih vrst.

Naloga je vzeta iz Zbirke vaj iz aritmetike, algebre in analize za IV. razred srednjih šol, avtor pa je Ivan Štalec. naloga je na strani 11.

Hvala za pomoč

Re: končne vrste

Posted: 18.11.2010 16:50
by Jurij
v splošnem so končne vrste precej zakomplicirana stavr in nimajo vse lepe zaprte formule za vsoto, kot npr. 1+2+...+n=n(n+1)/2

za preproste vrste se da uganit in pol dokažeš, 1+4+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6. je pa res, da sta tvoji vrsti enaki, in če želiš sistematično poiskat vsoto kvadratov, se poslužiš ravno tega, da je n-ti kvadrat vsota prvih n lihih števil.
označiš f(n)=1^2+2^2+...+n^2
potem pa:
f(n)=
=1^2+2^2+3^2+...+n^2=
=1+(1+3)+(1+3+5)+...+(1+3+...2(n-1)+1)=
=1*n+3*(n-1)+5*(n-2)+...+(2(n-1)+1)*1=
=(2*0+1)*n+(2*1+1)*(n-1)+(2*2+1)*(n-2)+...+(2(n-1)+1)*1=
=2*(0+1+2+...+n-1)*n+(1+...+1)*n-(0+1+...+n-1)-2*(0^2+1^2+...+(n-1)^2)=
=(n-1)n^2+n^2-(n-1)n/2-2*f(n-1)

tako vidimo, da f(n) = n^3 - (n-1)n/2 - 2f(n-1), potem pa uporabimo še zvezo f(n-1)=f(n)-n^2 (to je očitno po definiciji f) in izrazimo ven f(n); dobimo že navedeni rezultat.