Naloga: vektorji

[dioniz]

Še ena naloga, ki je ne znam rešit:S
Trikotnik ABC ima kot pri oglišču B enak 60 stopinj, dolžini stranic IABI in IBCI pa sta v razmerju 1 : 3. Točka T razpolavlja
stranico AC, točka V pa leži na stranici BC tako, da je daljica AV višina trikotnika, točka S pa je presečišče
daljic AV in BT.
(a) Izrazite vektor AV z vektorjema AB in BC
(b) Izračunajte razmerji IASI : ISVI in IBSI : ISVI (op. AS, SV, BS imajo vektorski znak)

...sem poskušala da bi vektor SV izrazla na dva načina in ven dobila, toda ne gre...razen če je treba kaj z vektorskim in skalarnim produktom??
Hvala za odgovor!:) Lp

[shrink]

(a) AVB je pravokoten pri V (ker je AV višina ABC), zato lahko uporabiš kotne funkcije, da dobiš razmerje med BV in AB in ker je znano razmerje med AB in BC, iz obojega sledi razmerje med BV in BC.

(b) Postopaš standardno. Izbereš si dva linearno neodvisna vektorja (recimo AB=a in BC=b), ki bosta tvorila bazo v ravnini in s katerima lahko izraziš vse ostale vektorje. Za izhodišče nato vzameš nek vektor, npr.: AC. Tako imaš:

AC=a+b (izražen z baznima vektorjema)

AC=2AT=2(AS+ST)=2(sAV+tBT) itd. Cilj je, da spet dobiš izraz zgolj z baznima vektorjema.

Nato izraza izenačiš in dobiš enačbo:

αa+βb=0.

Ker sta a in b linearno neodvisna, je edina možna rešitev (trivialna kombinacija):

α=0
β=0

To je sistem dveh enačb za s in t, ki je del rešitve (razmerje med AS in SV). Drugo razmerje izhaja iz dobljenih razmerij.

[dioniz]

OK, hvala. samo zanima me, če so potem te rešitve prave: pod a) AV = a + 1/6b?
pod b) IASI : ISVI = 6 : 1 ; IBSI : ISTI = 3 : 5?

[shrink]

(a) je prav, (b) nisem šel računat do konca.

[anjaD]

Pozdravljeni!

Tudi jaz imam eno nalogo, za katero ne vem kako se je lotiti :/

V prostoru so dane točke A(1, 0, 0), B(0, 5, 1) in C(1,−1, 1).
(a) Poišči takšno točko D, da bodo A,B,C in D določale paralelogram, v
katerem je AB ||CD in AD||BC.
(b) Izračunaj kosinus notranjega kota pri oglišču A in ploščino paralelograma.

Hvala za odgovore

[shrink]

Pozdravljeni!

Tudi jaz imam eno nalogo, za katero ne vem kako se je lotiti :/

V prostoru so dane točke A(1, 0, 0), B(0, 5, 1) in C(1,−1, 1).
(a) Poišči takšno točko D, da bodo A,B,C in D določale paralelogram, v
katerem je AB ||CD in AD||BC.
(b) Izračunaj kosinus notranjega kota pri oglišču A in ploščino paralelograma.

Hvala za odgovore

Par namigov:

(a) Seštevanje vektorjev po paralelogramskem pravilu.

(b) Skalarni produkt, vektorski produkt.

[anjaD]

Jaz še vedno ne znam izračunati točke D :/

[Aniviller]

Znacilnost paralelograma je, da sta nasprotni stranici vzporedni in enako dolgi: D-A=C-B. Izrazi D in je naloga resena.

[anjaD]

Aaaaaa tako gre to torej ubistvu čisto preprosto

Hvala

[Aniviller]

Seveda, z vektorji se celotna geometrija poenostavi v rutinsko racunanje.

[anjaD]

Kako pa to narediš v pravilnem šestkotniku ABCDEF? Če imaš podane A,B,C točke in moraš izračunati ostale:D,E,F.
S tem da AB||ED, BC||EF, CD||AF.

[anjaD]

Sem že ugotovila

[anjaD]

Res se opravičujem, ampak bom vprašala kako se reši eno lahko nalogo, vendar nimam več volje ne moči, da bi jo rešila :/

Točko T(1, 1, 1) prezrcali čez premico p: x/2 = y-3 = z/2

Verjetno gre s pravokotno projekcijo, vendar pojma nimam kako.

[Aniviller]

Razstavis na pravokotno projekcijo in preostali del (ki je razlika celega vektorja in pravokotne projekcije). Cel vektor je torej vsota projeciranega dela in ostalega dela. Zrcaljenje samo zamenja predznak preostalemu delu.

V nasem primeru moras prej se prestavit da gre premica skozi izhodisce.1

Zapisi premico v obliki r=r0+s*t (r,r0 in s so vektorji).

Potem
1) odstejes r0:
T'=T-r0
2) razstavis na projekcijo in ostalo
T'=T'p+T'o (pri tem je T'p=(T'*s)*s/|s|^2: pravokotna projekcija)
3) zrcaljenje T v nek X.
X'=T'p-T'o
4) nazaj prestavis za r0
X=X'+r0

[anjaD]

V tem primeru je potem T'o začetni T? ali pa je T', ki smo ga izračunali iz T'=T-ro?