Tto tazadno nalogo imamo mi isto.. kk dobiš prehodno matriko? Tisto pol pomnožiš z leve inverz z desno navadno in dobiš matriko A.. a mi lahk še en pove za jedo pa sliko kk računaš to?
hvala vsem za pomoč
Linearna algebra
Re: Linearna algebra
B je ze prehodna matrika (po stolpcih transformiranke baznih vektorjev standardne baze).
Re: Linearna algebra
Ko določim kateri vektorji so v Im(A), kako naj
se potem lotim ortogonalenga komplementa?
Ali je ortogonalni komplement kar skalarni produkt z določenima slikama?
Je slika sploh določena vredu?
Hvala!
P.S. Z določenima slikama mislim kar stolpična vektorja v A.
se potem lotim ortogonalenga komplementa?
Ali je ortogonalni komplement kar skalarni produkt z določenima slikama?
Je slika sploh določena vredu?
Hvala!
P.S. Z določenima slikama mislim kar stolpična vektorja v A.
- Priponke
-
Re: Linearna algebra
To sem jst delo na tak način.. maš dva vektorja (1,1,0,0),(0,1,1,0) in si izbereš nek poljuben vektor x=(a,b,c,d) potem pa narediš skalarni produkt med poljubnemo s prvim vektorjem in enačiš z 0, torej <(a,b,c,d), (1,1,0,0)>=0 in dobiš a+b=0 -> a=-b;
Isto narediš za drugi vektor <(a,b,c,d),(0,1,1,0)>=0 in dobiš b+c=0; c=-b.
Za b vzameš neko novo neznanko..rečmo b=l in dobiš potem bazo V={ (-l,l,-l,0); l el R} .. poljubna vstaviš za l je 1 in dobiš (-1,1,-1,0) ..
Nism pa ziher da je tk prau..
Isto narediš za drugi vektor <(a,b,c,d),(0,1,1,0)>=0 in dobiš b+c=0; c=-b.
Za b vzameš neko novo neznanko..rečmo b=l in dobiš potem bazo V={ (-l,l,-l,0); l el R} .. poljubna vstaviš za l je 1 in dobiš (-1,1,-1,0) ..
Nism pa ziher da je tk prau..
Re: Linearna algebra
Hvala!
Torej je slika določena pravilno?
LP!
Torej je slika določena pravilno?
LP!
Re: Linearna algebra
Ti maš tam izbrano x2=x1+x3..zei to v moji rešitvi dobiš 1=-2 in ni glih isto..
Re: Linearna algebra
Ja... bolj kompaktno temu recemo gram-schmidtov algoritem. Vzames poljuben set linearno neodvisnih vektorjev in jih ortogonaliziras (od vsakega odstejes projekcije na vse prejsnje). V tem primeru si moras 3. in 4. izmislit (samo toliko da nista linearno odvisna z ostalimi, vse ostalo opravi gram-schmidt).
V nasem primeru najprej ortogonaliziras ta dva (ker nista ortogonalna). En element ortogonalnega komplementa je itak ociten (0,0,0,1). Za drugega pa vzames pac nekaj (recimo (1,0,0,0)) in nadaljujes postopek.
V nasem primeru najprej ortogonaliziras ta dva (ker nista ortogonalna). En element ortogonalnega komplementa je itak ociten (0,0,0,1). Za drugega pa vzames pac nekaj (recimo (1,0,0,0)) in nadaljujes postopek.
Re: Linearna algebra
Živjo!
Še jaz imam eno vprašanje iz algebre in sicer iz sistemov linearnih enačb.
Naloga: Obravnavaj sistem enačb v odvisnosti od parametra b:
x+y+z+bu=2b
2x+2y+2z+bu=4
2x+2y+2z+2b=4b
x+by+z+u=2
Iz sistema dobim razširjeno matriko in po premetavanju zgleda takole?
1 1 1 b I 2b
0 b-1 0 1 I 2b-2
0 0 0 -b I 4-4b
0 0 0 0 I 0
In potem obravnavaš b-je:
1) b=1
dobim matriko:
1 1 1 1 I 2
0 0 0 1 I 0 +dve vrstici ničel ;
iz matrike sledi, da je rang A(osnovna matrika)=2 in rang [A | C](razširjena matrika)=1 , iz tega potem sledi, da je sistem za b=1 rešljiv in rešitev ni enolična. (Imam prav?)
Zanima me predvsem kako potem napišeš to rešitev? Jaz bi naredila, da je u=0 (zaradi druge vrstice) in potem, x+y+z=2 pri čemer so x,y,z poljubni. Je to približno prav?
2)analogno potem za b=o dobim matriko:
1 1 1 0 | 0
0 -1 0 1 | -2
0 0 0 0 | 4 + vrstica ničel
iz tega spet sledi, da je rang A=2, vendar je rang [A | C]=3 in iz tega vidimo, da za b=0 sistem ni rešljiv..?
3) za b=/1 in b=/0 vidim da je rang A=3 in rang [A | C]=3, iz tega sledi, da je enolična rešitev za vsak b?, kako bi potem določili te rešitve?
Upam da ni preveč zmedeno napisano! Lp
Še jaz imam eno vprašanje iz algebre in sicer iz sistemov linearnih enačb.
Naloga: Obravnavaj sistem enačb v odvisnosti od parametra b:
x+y+z+bu=2b
2x+2y+2z+bu=4
2x+2y+2z+2b=4b
x+by+z+u=2
Iz sistema dobim razširjeno matriko in po premetavanju zgleda takole?
1 1 1 b I 2b
0 b-1 0 1 I 2b-2
0 0 0 -b I 4-4b
0 0 0 0 I 0
In potem obravnavaš b-je:
1) b=1
dobim matriko:
1 1 1 1 I 2
0 0 0 1 I 0 +dve vrstici ničel ;
iz matrike sledi, da je rang A(osnovna matrika)=2 in rang [A | C](razširjena matrika)=1 , iz tega potem sledi, da je sistem za b=1 rešljiv in rešitev ni enolična. (Imam prav?)
Zanima me predvsem kako potem napišeš to rešitev? Jaz bi naredila, da je u=0 (zaradi druge vrstice) in potem, x+y+z=2 pri čemer so x,y,z poljubni. Je to približno prav?
2)analogno potem za b=o dobim matriko:
1 1 1 0 | 0
0 -1 0 1 | -2
0 0 0 0 | 4 + vrstica ničel
iz tega spet sledi, da je rang A=2, vendar je rang [A | C]=3 in iz tega vidimo, da za b=0 sistem ni rešljiv..?
3) za b=/1 in b=/0 vidim da je rang A=3 in rang [A | C]=3, iz tega sledi, da je enolična rešitev za vsak b?, kako bi potem določili te rešitve?
Upam da ni preveč zmedeno napisano! Lp
Re: Linearna algebra
Živjo,
rešujem nalogo, pa ne vem, če sem se je prav lotila:
Pokaži, da je matrika A, ki pripada v standardni bazi prostora R^3 vektorskemu množenju z danim vektorjem a iz R^3, antisimetrična. Pokaži, da velja tudi obratno: ta vsako realno antisimetrično 3x3 matriko obstaja tak vektor a iz R^3, da je A matrika, ki pripada vektorskemu množenju x --> a x(vektorsko) x v standardni bazi prostora R^3.
Skratka, pri prvem delu naloge sem z vektorjem a=(a1, a2, a3) vektorsko pomnožila standardno bazo prostora R^3:
a x (1, 0, 0) = (0, a3, -a2);
a x (0, 1, 0) = (-a3, 0, a1);
a x (0, 0, 1) = (a2, -a1, 0)
in prepisala v matriko:
0 -a3 a2
a3 0 -a1
-a2 a1 0
ki je očitno antisimetrična. Je to dovolj?
Pri drugem delu naloge sem napisala splošno antisimetrično matriko
0 b1 b2
-b1 0 b3
-b2 -b3 0
in na podlagi prvega dela naloge "uganila", da moramo vektor a' iz prostora R^3, če želimo, da je A' matrika, ki pripada vektorskemu množenju x --> a' x(vektorsko) x v standardni bazi prostora R^3, definirati kot a' = (-b3, b2, -b1). Na koncu sem še preverila, da je matrika, ki pripada v standardni bazi prostora R^3 vektorskemu množenju z a', res A' (na enak način kot sem v prvem delu naloge dokazala(?), da je dobljena matrika antisimetrična).
Je to prav?
Najlepša hvala za odgovor!
rešujem nalogo, pa ne vem, če sem se je prav lotila:
Pokaži, da je matrika A, ki pripada v standardni bazi prostora R^3 vektorskemu množenju z danim vektorjem a iz R^3, antisimetrična. Pokaži, da velja tudi obratno: ta vsako realno antisimetrično 3x3 matriko obstaja tak vektor a iz R^3, da je A matrika, ki pripada vektorskemu množenju x --> a x(vektorsko) x v standardni bazi prostora R^3.
Skratka, pri prvem delu naloge sem z vektorjem a=(a1, a2, a3) vektorsko pomnožila standardno bazo prostora R^3:
a x (1, 0, 0) = (0, a3, -a2);
a x (0, 1, 0) = (-a3, 0, a1);
a x (0, 0, 1) = (a2, -a1, 0)
in prepisala v matriko:
0 -a3 a2
a3 0 -a1
-a2 a1 0
ki je očitno antisimetrična. Je to dovolj?
Pri drugem delu naloge sem napisala splošno antisimetrično matriko
0 b1 b2
-b1 0 b3
-b2 -b3 0
in na podlagi prvega dela naloge "uganila", da moramo vektor a' iz prostora R^3, če želimo, da je A' matrika, ki pripada vektorskemu množenju x --> a' x(vektorsko) x v standardni bazi prostora R^3, definirati kot a' = (-b3, b2, -b1). Na koncu sem še preverila, da je matrika, ki pripada v standardni bazi prostora R^3 vektorskemu množenju z a', res A' (na enak način kot sem v prvem delu naloge dokazala(?), da je dobljena matrika antisimetrična).
Je to prav?
Najlepša hvala za odgovor!
Re: Linearna algebra
To je dovolj ja. Za nazaj je tudi dovolj, da pokažeš, da je iste oblike. Če preslikuješ 3 komponente v 3 komponente na ta način, ni nobene kombinacije, ki se jo ne bi dalo preslikat.
Re: Linearna algebra
Živjo, tale naloga mi dela težave:
Na prostoru M kvadratnih realnih 3x3 matrik je dan skalarni produkt <A,B> = sled(A krat transponirana matrika B).
a) Pokaži, da je pravilo skalarni produkt.
b) Naj bo D vektorski podprostor diagonalnih matrik. Poišči kakšno bazo in razsežnost njegovega ortogonalnega komplementa.
Če prav razumem, je tako definiran skalarni produkt ravno:
prva vrstica matrike A krat prva vrstica matrike B + druga vrstica matrike A krat druga vrstica matrike B + tretja vrstica matrike A krat tretja vrstica matrike B.
Aksiomov za skalarni produkt potem ni težko dokazat.
Pri b) delu sem pa izračunala zgoraj definirani skalarni produkt poljubne diagonalne matrike D (po diagonali ima d11, d22, d33) s poljubno matriko A in predpostavila, da mora biti enak 0. Iz tega pa sem dobila samo pogoj za en element matrike A, to pa bi pomenilo, da bi bil ortogonalni komplement D dimenzije 8, kar pa ne gre, glede na to, da je dimenzija D 3.
Na prostoru M kvadratnih realnih 3x3 matrik je dan skalarni produkt <A,B> = sled(A krat transponirana matrika B).
a) Pokaži, da je pravilo skalarni produkt.
b) Naj bo D vektorski podprostor diagonalnih matrik. Poišči kakšno bazo in razsežnost njegovega ortogonalnega komplementa.
Če prav razumem, je tako definiran skalarni produkt ravno:
prva vrstica matrike A krat prva vrstica matrike B + druga vrstica matrike A krat druga vrstica matrike B + tretja vrstica matrike A krat tretja vrstica matrike B.
Aksiomov za skalarni produkt potem ni težko dokazat.
Pri b) delu sem pa izračunala zgoraj definirani skalarni produkt poljubne diagonalne matrike D (po diagonali ima d11, d22, d33) s poljubno matriko A in predpostavila, da mora biti enak 0. Iz tega pa sem dobila samo pogoj za en element matrike A, to pa bi pomenilo, da bi bil ortogonalni komplement D dimenzije 8, kar pa ne gre, glede na to, da je dimenzija D 3.
Re: Linearna algebra
b) skalarni produkt mora biti enak 0 za vsako kombinacijo d11,d22,d33, to so 3 pogoji. Lahko kar izbereš *neko* bazo (recimo diag(1,0,0), diag(0,1,0), diag(0,0,1) in zahtevaš ortogonalnost na te 3).
Re: Linearna algebra
Pozdravljeni, imam dve nalogi, ki ju ne znam rešit in bi prosil za pomoč.
1. Preslikava A:P(R^3)->P(R^2) je odvajanje, preslikavi B:P(R^2)->P(R^2) pa glede na bazo {x^2+2x-1,2x^2+5x+1,3x^2+7x+1} pripada matrika \(\begin{bmatrix}
1 &-1 &1 \\
0& 2 &0 \\
1&1 &1
\end{bmatrix}\). Katera matrika ustreza preslikavi BA v standardnih bazah?
2. Preslikava T:R^3->R^3 je kompozitum pravokotne projekcije na ravnino x+y+z=0 in vrtenja v tej ravnini za kot 30 stopinj v eno od smeri. Določi matriko, ki pripada preslikavi T v standardni bazi prostora R^3.
Tu sploh ne vem a si lahko izberem recimo za bazo vektorje (1,1,1)-normala in pa recimo a=(1,-1,0), b=(1,0,-1) - oba ležita v ravnini in sta linearno neodvisna. Vendar potem ne vem kako naprej. Za drugi del(rotacijo) pa tudi ne znam napisat matrike.
Hvala za pomoč,
Lep pozdrav
1. Preslikava A:P(R^3)->P(R^2) je odvajanje, preslikavi B:P(R^2)->P(R^2) pa glede na bazo {x^2+2x-1,2x^2+5x+1,3x^2+7x+1} pripada matrika \(\begin{bmatrix}
1 &-1 &1 \\
0& 2 &0 \\
1&1 &1
\end{bmatrix}\). Katera matrika ustreza preslikavi BA v standardnih bazah?
2. Preslikava T:R^3->R^3 je kompozitum pravokotne projekcije na ravnino x+y+z=0 in vrtenja v tej ravnini za kot 30 stopinj v eno od smeri. Določi matriko, ki pripada preslikavi T v standardni bazi prostora R^3.
Tu sploh ne vem a si lahko izberem recimo za bazo vektorje (1,1,1)-normala in pa recimo a=(1,-1,0), b=(1,0,-1) - oba ležita v ravnini in sta linearno neodvisna. Vendar potem ne vem kako naprej. Za drugi del(rotacijo) pa tudi ne znam napisat matrike.
Hvala za pomoč,
Lep pozdrav
Re: Linearna algebra
1. Standardna baza za polinome bo kar 1,x,x^2,x^3 in v tej bazi je trivialno zapisat odvajanje, samo na eni obdiagonali imaš naravna števila po vrsti. Potem moraš samo še zapisat B v standardni bazi, kar lahko narediš tako, da zapišeš prehodno matriko med {1,x,x^2} in podano bazo. Matriko potem znaš transformirat (množiš s prehodno z obeh strani).
Matrika BA je seveda dimenzije 3x4, saj slika iz P[R^3] v P[R^2].
2. S tvojim postopkom se da pridet do konca... sicer je bolje, da izbereš dva ortogonalna vektorja v ravnini, recimo a=(1,-1,0) in b=(1,1,-2) in seveda vse tri normiraš. Potem je tudi rotacijska matrika enostavna, saj gre \(\vec{a}\mapsto \vec{a}\cos\phi+\vec{b}\sin\phi\) in podobno za b (seveda po normalizaciji). Smer kota lahko še izbiraš očitno. Kompozitum s projekcijo enostavno pomeni, da gre tretja komponenta v 0. Torej veš kaj matrika naredi na 3 vektorjih, kar jo povsem določa. V bazi (a,b,n) je matrika
\(\begin{bmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0 -\sin\phi & \cos \phi & 0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}\)
kar spraviš v standardno bazo z enostavno prehodno matriko.
Je pa celo stvar mogoče zapisat brez izbire baze, ampak izraziš z vektorji. Za zapis projekcije res ne rabiš nič drugega kot normalo. Gre namreč le za odštevanje projekcije na normalo:
\(T=I-\vec{n}\otimes\vec{n}\)
kjer je normala seveda normirana. Za rotacijo pa se da z osjo in kotom napisat preko Rodrigove formule:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues% ... on_formula
Matrika BA je seveda dimenzije 3x4, saj slika iz P[R^3] v P[R^2].
2. S tvojim postopkom se da pridet do konca... sicer je bolje, da izbereš dva ortogonalna vektorja v ravnini, recimo a=(1,-1,0) in b=(1,1,-2) in seveda vse tri normiraš. Potem je tudi rotacijska matrika enostavna, saj gre \(\vec{a}\mapsto \vec{a}\cos\phi+\vec{b}\sin\phi\) in podobno za b (seveda po normalizaciji). Smer kota lahko še izbiraš očitno. Kompozitum s projekcijo enostavno pomeni, da gre tretja komponenta v 0. Torej veš kaj matrika naredi na 3 vektorjih, kar jo povsem določa. V bazi (a,b,n) je matrika
\(\begin{bmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0 -\sin\phi & \cos \phi & 0 \\ 0&0&0\end{bmatrix}\)
kar spraviš v standardno bazo z enostavno prehodno matriko.
Je pa celo stvar mogoče zapisat brez izbire baze, ampak izraziš z vektorji. Za zapis projekcije res ne rabiš nič drugega kot normalo. Gre namreč le za odštevanje projekcije na normalo:
\(T=I-\vec{n}\otimes\vec{n}\)
kjer je normala seveda normirana. Za rotacijo pa se da z osjo in kotom napisat preko Rodrigove formule:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues% ... on_formula