Pomoč pri topologiji

[delta]

Vprašanje: Ali je prostor, ki je povezan s potmi tudi lokalno povezan s potmi?(nekje naj bi to veljalo drugje ne, tako da sem sedaj v dvomih)

Zanima me kako se rešijo naloge:
1.Podan je podprostor ravnine:\(X=\{(x,y)|xy=0\}\). Poišči primeren podprostor kakega evkl. prostora \(R^{n}\), ki je homeomorfen kompaktifikaciji z eno točko \(X^{+}\)

2.(zanima me samo kako smo dobili preslikavo in potem zapisali v kompleksnem)
Podan je podprostor ravnine:
\(X=(0,1)\)x\(\{1,2,3,4,5,...\}\)
Poišči primeren podprostor kakega evkl. prostora \(R^{n}\), ki je homeomorfen kompaktifikaciji z eno točko \(X^{+}\)

Nalogo smo rešili tako:
Y iz R^n, X=homeo.Y-{(0,0)}
Pri tej nalogi smo ugotovili \(Y=U_{n=1}^{\infty}\{(x,y);(x-\frac{1}{n})^2+y^2=(\frac{1}{n})^2\}\)
Potem smo zapisali preslikavo:
\(f(x,n)=(-\frac{1}{n}\cos{2\pi x}+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\sin{2\pi x})=-\frac{1}{n}\(e)^{i2\pi x}+\frac{1}{n}\)

3.Naj bo X podprostor evkl. prostora \(R^2\) in sicer,
\(X=U_{n}\{(x,y)|(x-n)^2+y^2=n^2\}\)
a) Ali je X povezan, povezan s potmi, lok. povezan, lok. povezan s potmi?
b) Ugotovi in pokaži, za katere točke T iz X je prostor X\{T} nepovezan

Zelo bi bila vesela, če bi lahko kdo razložil vsaj kakšno od nalog ,lp

[Zajc]

1. Prostor je unija krožnic \(\{(x,0,z)\in\mathbb{R}^3,\ x^2+(z-1)^2=1\}\) \(\cup\) \(\{(0,y,z)\in\mathbb{R}^3,\ y^2+(z-1)^2=1\}\), ustrezen homeomorfizem pa je restrikcija stereografske projekcije (je homeomorfizem, saj je restrikcija homeomorfizma \(S^2\backslash\{\infty\}\to\mathbb{R}^2\) na ti dve krožnici).

[Zajc]

3. a) je povezan s potmi (lahko se uporabi tisti izrek - unija s potmi povezanih prostorov, ki imajo neprazen presek, je s potmi povezan prostor) in tudi lokalno povezan s potmi (edini problem bi bil lahko v okolici točke \((0,0)\), tam pa očitno ni problemov - spet imamo unijo s potmi povezanih prostorov z nepraznim presekom)
b) za vse T je \(X\backslash\{T\}\) povezan, razen za \(T=(0,0)\), tam lahko npr. narediš separacijo
\(X\backslash\{(0,0)\}=(X\cap\{(x-1.5)^2+y^2<1.5^2\})\) \(\cup\) \((X\cap\{((x-1.5)^2+y^2>1.5^2\})\).

[delta]

Najlepša hvala za odgovor, me pa še nekaj zanima.

1. Do teh dveh krožnic sem tudi sama nekako prišla, vendar sedaj ne znam zapisati preslikave, da bi potem pokazala, da sta prostora(X+=Y) homeo., kako si pa lahko pomagamo s stereografsko projekcijo(ali potem ne rabimo iskat preslikave)? (podoben problem se mi je pojavil pri 2.-t.j.kako dobiti preslikavo?)

3. mi je jasno , hvala

[Zajc]

Stereografska projekcija sfere \(\{x^2+y^2+(z-1)^2=1\}\) na ravnino \(\mathbb{R}^2\) je definirana s predpisom
\((x,y,z)\mapsto\frac{2}{2-z}(x,y)\). Inverz te preslikave je \((x,y)\mapsto\frac{1}{x^2+y^2+4}(4x,4y,2(x^2+y^2))\).
(Mislim, da se lahko uporabi en izrek, da je vsaka vložitev v kompakten prostor, tako da je komplement slike ena sama točka, pa še nekaj mora biti (T2 + ...), kompaktifikacija z eno točko. Upam, da veš, kateri izrek mislim.)

[delta]

Še enkrat hvala , vprašala bi pa še, kako dobimo idejo za preslikavo v \(\mathbb{R}^2\), se to pač ve, ali je mogoče kako naračunati, videti?

[Jurij]

glede povezanosti s potmi oz. lok. povezanosti s potmi: prostor je lahko lok. povezan s potmi in ni povezan s potmi in obratno (skratka v nobeno smer ne moreš potegniti implikacije).
1. lahko bi za kompaktifikacijo vzela dve dotikajoči se krožnici v ravnini, če ti je ljubše ostati v 2D

[delta]

Hvala še enkrat ampak kako potem rešimo nalogo z dvema dotikajočima se krožnicama?

Potrebovala bi še malo pomoči:
2.1. Množico \(\mathbb{R}\) opremimo s topologijo T, katere baza je \(B=\{[a,b)|a,b \in \mathbb{R},a<b\}\)
a)Pokaži, da prostor \((\mathbb{R},T)\) ni povezan
b)Kaj so komponente za povezanost prostora \((\mathbb{R},T)\)?

2.2. \(P=\{(-\infty,a)|a \in\mathbb{R}\}\bigcup\{[b,\infty)| b \in \mathbb{R}\}\)
a) Pokaži, da množica [0,1] ni kompaktna v T.
b) Pokaži, da je mn. \(\{\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}\bigcup\{0\}\) kompaktna v T
(pokazati moram, da za vsako odprto pokritje obstaja neko končno pokritje, vendar kako se ta dva primera razlikujeta, da nekje je drugje pa ni kompaktno?)

2.3.Naj bo \(X=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|(x-n)^2+y^2=n^2\}\bigcup(\{0\}\times((-\infty,1)\bigcup[2,\infty))\)
Ugotovila sem, da je X povezan, da ni lok. kompakten in iz tega tudi, da ni kompakten, kaj pa lahko povemo o lokalni povezanosti in lok. povezanosti s potmi?

Če kdo zna kaj rešiti bi mi bilo v veliko pomoč, ,lp

[Jurij]

a, sori, sm mislu da je tvoja množica določena z xy=1 (ne pa z xy=0).

[Jurij]

2.1
oboje (a in b) sledi iz tega, da je tvoj prostor totalno nepovezan.
naj bo x iz tega prostora,njegova komponenta C pa naj vsebuje še element y, BŠS x<y. potem lahko C razcepimo kot
\(C=(C \cap (-\infty,\frac{x+y}{2})) \cup (C \cap [\frac{x+y}{2},\infty))\) (to je res razcep: množici sta odprti, disjunktni, neprazni).
to pa je protislovje, zato C={x}.

[Jurij]

2.2
A je P podbaza? v tem primeru dobiš Sorgenfreyevo topologijo.
a) za pokritje [0,1] vzamemo \(\{ [1-2^{1-n},1-2^{-n})|n \in \mathbb{N}\} \cup \{[1,2)\}\) ; to je res odprto pokritje, očitno pa nobena podružina ne pokrije danega intervala.
b) v splošnem velja, da je unija konvergentnega zaporedja in njegove limite (pazi, načeloma lahko jih ima tudi več) kompakten podprostor danega prostora (to sledi iz lastnosti zaporedja, verjetno ste na vajah dokazali), zato je dovolj da dokažeš, da je 0 limita zaporedja 1/n; to pa ni težko. je pa vredno spomniti, da na sorgenfreyevi premici 0 NI limita npr. zaporedja -1/n.

[delta]

Bolj jasno;)hvala, ampak...
2.1. Kje smo pa sploh upoštevali kaj je naša baza?

2.2. Nikjer ne piše, da bi to bila podbaza.
a) , mi je všeč
b) zakaj pa 0 ni limita zap. -1/n?

[Jurij]

2.1 to, kaj je baza, smo upoštevali pri tistem razcepu; zato sta tisti dve množici obe odprti (v npr. evklidski topologiji tista ta druga ne bi bila).
2.2 mislim, da je tista zadeva podbaza, ker ne izponjuje pogojev za bazo, še manj pa pogoje za topologijo; in pa še oznaka je sugestivna
b) 0 ni limita tistga zaporedja, ker odprta okolica [0,1) ne vsebuje nobenega člen zaporedja. ubistvu to zaporedje v sorgenfreyevi premici sploh ni konvergentno.

srečno jutr na izpitu

[delta]

Sedaj razumem, Jurij še 1x hvala , jutri pa drži pesti, ja


Popravljam:
2.3.Naj bo \(X=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|(x-n)^2+y^2=n^2\}\)\(\bigcup(\{0\}\times((-\infty,1)\bigcup[2,\infty)))\)
Ugotovila sem, da je X povezan, da ni lok. kompakten in iz tega tudi, da ni kompakten, kaj pa lahko povemo o lokalni povezanosti in lok. povezanosti s potmi?

[kren]

Pomoje 2.3 ni lokalno povezan s potmi (npr. okolica točke (0,2) nima lokalne baze s potmi povezanih okolic), lokalno povezan pa je (en izrek je, da je lokalno povezan <=> komponente odprtih podmnožic so odprte... pa to malo pogledaš).