Integral

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
sniper
Posts: 231
Joined: 30.10.2006 13:08

Integral

Post by sniper » 27.4.2011 14:05

Živjo!

Sam sem tale integral izračunal takole:

Image

wolfram alpha pa ga izračuna takole:

Image

Pa me zanima ali sem jest kje zamočil, ali alpha tukaj nekaj zakomplicira ?

Zajc
Posts: 1099
Joined: 26.6.2008 19:15

Re: Integral

Post by Zajc » 27.4.2011 15:35

Vse prav. Alpha komplicira.

User avatar
sniper
Posts: 231
Joined: 30.10.2006 13:08

Re: Integral

Post by sniper » 27.4.2011 15:43

ker vidm da je v prvem postu zginla spodnja slika od alphe, tukaj še enkrat:

Image

Jurij
Posts: 585
Joined: 27.2.2006 11:09

Re: Integral

Post by Jurij » 27.4.2011 16:43

to se da še mal pokrajšat (sj ti alpha tud okrajšano različico izpiše malo nižje), sicer pa lahko na roke preveriš, da se
\(\arcsin x\) in \(2 \arcsin(\sqrt{\frac{1+x}{2}})\) razlikujeta le za konstanto.

User avatar
sniper
Posts: 231
Joined: 30.10.2006 13:08

Re: Integral

Post by sniper » 29.4.2011 16:23

OK. Zanima me še, ali obstaja pri reševanju integralov kakšno pravilo, trik ali karkoli druzga, da bi hitro vedu, kako je najbolje rešit integral(uvedba nove spremenljivke, per partes... )

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Integral

Post by Aniviller » 29.4.2011 23:00

V splosnem samo izkusnje. Lahko se ucis na pamet razlicne oblike integralov in kako se jih resi ampak vedno dobis naslednjega ki ne spada v nobeno izmed tistih grup. Bistvo je, da si ustvaris idejo kaj HOCES dobit ko naredis substitucijo in potem pogledas ce se da. In ce se ne da, si izberes nov cilj. Pomaga to, da prepoznas kaksne simetrije ali druge lepe lastnosti.

User avatar
sniper
Posts: 231
Joined: 30.10.2006 13:08

Re: Integral

Post by sniper » 2.5.2011 13:47

Bom kar v tej temi nadaljeval, ker se itak nanaša to na integrale. Ni mi jasno, kako se pri tem razstavlanju na parcialne ulomke dobijo tisti trije imenovalci, ki so obkroženi rdečo. Kako jih določiš ? Pod B in C mi je še jasno, samo zakaj je pod A x ?


Image

User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Integral

Post by shrink » 2.5.2011 21:19

sniper wrote:Bom kar v tej temi nadaljeval, ker se itak nanaša to na integrale. Ni mi jasno, kako se pri tem razstavlanju na parcialne ulomke dobijo tisti trije imenovalci, ki so obkroženi rdečo. Kako jih določiš ? Pod B in C mi je še jasno, samo zakaj je pod A x ?


Image
Pri n-kratni ničli \((x-a)^n\) imaš \(n\) razcepov na parcialne ulomke z imenovalci: \((x-a), (x-a)^2 \ldots (x-a)^n\).

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Integral

Post by Aniviller » 3.5.2011 9:21

Mogoče še razlaga tega prijema: za nerazcepni kvadratni polinom v imenovalcu verjetno veš, da je nastavek tak da je v števcu polinom prve stopnje:
\(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\)
Tukaj je isto: če daš tvoj nastavek nazaj na skupni imenovalec dobiš
\(\frac{Ax+B}{x^2}+\frac{C}{x-2}\)
Splošno pravilo: števec mora biti stopnjo manjši od imenovalca, da imaš dovolj prostih parametrov.

User avatar
sniper
Posts: 231
Joined: 30.10.2006 13:08

Re: Integral

Post by sniper » 10.5.2011 1:22

Kako bi se pa bilo najbolje lotit tega primera ?

Image

User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Integral

Post by shrink » 10.5.2011 9:10

sniper wrote:Kako bi se pa bilo najbolje lotit tega primera ?

Image
Rahlo grd integral. Pri integriranju trigonometričnih funkcij je splošna substitucija (če vse drugo prej odpove - kot je že bilo povedano v podobnih temah) tangens polovičnega kota. Tudi v tem primeru bi šlo takoj s to substitucijo, vendar bi producirala racionalno funkcijo s polinomom 4. stopnje v imenovalcu. Zato se je bolje prej znebiti kvadrata sinusa z \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\), kar da:

\(\int\frac{2\,\mathrm{d}x}{7+3\cos 2x}\).

oz.

\(\int\frac{\mathrm{d}u}{7+3\cos u}\).

Sedaj uporabimo substitucijo s tangensom polovičnega kota:

\(t=\tan\frac{u}{2} \Rightarrow \mathrm{d}u=\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2}, \cos u=\frac{1-t^2}{1+t^2}\),

kar da (če se nisem kje zmotil):

\(\int\frac{\mathrm{d}t}{5-2t^2}\).

Dobljeno uženemo z razcepom na parcialne ulomke ali prevedemo na integral \(\int\frac{\mathrm{d}y}{1-y^2}\), katerega je moč najti v tabeli osnovnih intregralov.

Tasko
Posts: 37
Joined: 10.3.2008 9:49

Re: Integral

Post by Tasko » 14.5.2011 18:47

Živjo.

Meni pa ne gre tale integral:

Image
Naj bi se reševalo z gama, beto funkcijo.

Jurij
Posts: 585
Joined: 27.2.2006 11:09

Re: Integral

Post by Jurij » 14.5.2011 19:52

uvedeš substitucijo \(t=2x^2\)
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.

Tasko
Posts: 37
Joined: 10.3.2008 9:49

Re: Integral

Post by Tasko » 15.5.2011 12:20

Jurij wrote: \(= 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
ko ni, na koncu, \(\frac{1}{2}\) odveč?

Tasko
Posts: 37
Joined: 10.3.2008 9:49

Re: Integral

Post by Tasko » 15.5.2011 13:27

Jurij wrote:uvedeš substitucijo \(t=2x^2\)
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.
To, žal ne bo pravilno. Methematica izračuna, da je rezultat \(\frac{3}{8}\).

Mi je pa ratalo dobiti pravilen rezutat... :D juhu!

Image

Post Reply