Integral

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Uporabniški avatar
sniper
Prispevkov: 231
Pridružen: 30.10.2006 13:08

Integral

Odgovor Napisal/-a sniper »

Živjo!

Sam sem tale integral izračunal takole:

Slika

wolfram alpha pa ga izračuna takole:

Slika

Pa me zanima ali sem jest kje zamočil, ali alpha tukaj nekaj zakomplicira ?

Zajc
Prispevkov: 1099
Pridružen: 26.6.2008 19:15

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a Zajc »

Vse prav. Alpha komplicira.

Uporabniški avatar
sniper
Prispevkov: 231
Pridružen: 30.10.2006 13:08

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a sniper »

ker vidm da je v prvem postu zginla spodnja slika od alphe, tukaj še enkrat:

Slika

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a Jurij »

to se da še mal pokrajšat (sj ti alpha tud okrajšano različico izpiše malo nižje), sicer pa lahko na roke preveriš, da se
\(\arcsin x\) in \(2 \arcsin(\sqrt{\frac{1+x}{2}})\) razlikujeta le za konstanto.

Uporabniški avatar
sniper
Prispevkov: 231
Pridružen: 30.10.2006 13:08

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a sniper »

OK. Zanima me še, ali obstaja pri reševanju integralov kakšno pravilo, trik ali karkoli druzga, da bi hitro vedu, kako je najbolje rešit integral(uvedba nove spremenljivke, per partes... )

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

V splosnem samo izkusnje. Lahko se ucis na pamet razlicne oblike integralov in kako se jih resi ampak vedno dobis naslednjega ki ne spada v nobeno izmed tistih grup. Bistvo je, da si ustvaris idejo kaj HOCES dobit ko naredis substitucijo in potem pogledas ce se da. In ce se ne da, si izberes nov cilj. Pomaga to, da prepoznas kaksne simetrije ali druge lepe lastnosti.

Uporabniški avatar
sniper
Prispevkov: 231
Pridružen: 30.10.2006 13:08

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a sniper »

Bom kar v tej temi nadaljeval, ker se itak nanaša to na integrale. Ni mi jasno, kako se pri tem razstavlanju na parcialne ulomke dobijo tisti trije imenovalci, ki so obkroženi rdečo. Kako jih določiš ? Pod B in C mi je še jasno, samo zakaj je pod A x ?


Slika

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a shrink »

sniper napisal/-a:Bom kar v tej temi nadaljeval, ker se itak nanaša to na integrale. Ni mi jasno, kako se pri tem razstavlanju na parcialne ulomke dobijo tisti trije imenovalci, ki so obkroženi rdečo. Kako jih določiš ? Pod B in C mi je še jasno, samo zakaj je pod A x ?


Slika
Pri n-kratni ničli \((x-a)^n\) imaš \(n\) razcepov na parcialne ulomke z imenovalci: \((x-a), (x-a)^2 \ldots (x-a)^n\).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Mogoče še razlaga tega prijema: za nerazcepni kvadratni polinom v imenovalcu verjetno veš, da je nastavek tak da je v števcu polinom prve stopnje:
\(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\)
Tukaj je isto: če daš tvoj nastavek nazaj na skupni imenovalec dobiš
\(\frac{Ax+B}{x^2}+\frac{C}{x-2}\)
Splošno pravilo: števec mora biti stopnjo manjši od imenovalca, da imaš dovolj prostih parametrov.

Uporabniški avatar
sniper
Prispevkov: 231
Pridružen: 30.10.2006 13:08

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a sniper »

Kako bi se pa bilo najbolje lotit tega primera ?

Slika

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a shrink »

sniper napisal/-a:Kako bi se pa bilo najbolje lotit tega primera ?

Slika
Rahlo grd integral. Pri integriranju trigonometričnih funkcij je splošna substitucija (če vse drugo prej odpove - kot je že bilo povedano v podobnih temah) tangens polovičnega kota. Tudi v tem primeru bi šlo takoj s to substitucijo, vendar bi producirala racionalno funkcijo s polinomom 4. stopnje v imenovalcu. Zato se je bolje prej znebiti kvadrata sinusa z \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\), kar da:

\(\int\frac{2\,\mathrm{d}x}{7+3\cos 2x}\).

oz.

\(\int\frac{\mathrm{d}u}{7+3\cos u}\).

Sedaj uporabimo substitucijo s tangensom polovičnega kota:

\(t=\tan\frac{u}{2} \Rightarrow \mathrm{d}u=\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2}, \cos u=\frac{1-t^2}{1+t^2}\),

kar da (če se nisem kje zmotil):

\(\int\frac{\mathrm{d}t}{5-2t^2}\).

Dobljeno uženemo z razcepom na parcialne ulomke ali prevedemo na integral \(\int\frac{\mathrm{d}y}{1-y^2}\), katerega je moč najti v tabeli osnovnih intregralov.

Tasko
Prispevkov: 37
Pridružen: 10.3.2008 9:49

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a Tasko »

Živjo.

Meni pa ne gre tale integral:

Slika
Naj bi se reševalo z gama, beto funkcijo.

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a Jurij »

uvedeš substitucijo \(t=2x^2\)
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.

Tasko
Prispevkov: 37
Pridružen: 10.3.2008 9:49

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a Tasko »

Jurij napisal/-a: \(= 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
ko ni, na koncu, \(\frac{1}{2}\) odveč?

Tasko
Prispevkov: 37
Pridružen: 10.3.2008 9:49

Re: Integral

Odgovor Napisal/-a Tasko »

Jurij napisal/-a:uvedeš substitucijo \(t=2x^2\)
\(\int_0^{\infty} x^9 e^{-2x^2}\, dx = \int_0^{\infty} (\frac{t}{2})^{\frac{9}{2}} e^{-t}(2 \sqrt{2} t)^{-1}\, dt =\)
\(= 2^{-6} \int_0^{\infty} t^{\frac{9}{2}-1} e^{-t}\, dt = 2^{-6} \Gamma (\frac{9}{2}) = 2^{-6} \cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi}\)
Upam, da se nisem kje zmotil.
To, žal ne bo pravilno. Methematica izračuna, da je rezultat \(\frac{3}{8}\).

Mi je pa ratalo dobiti pravilen rezutat... :D juhu!

Slika

Odgovori