Povezanost

[delta]

Od kje pa vemo, da vsebuje tudi levo krajišče? tega nisem vedela

[Zajc]

\((0,0)\in X\subseteq X_A\)

[delta]

c) ja, butasto vprašanje, če upoštevam, da je \((0,0)\) zraven, mi je sedaj tudi za 2. in 3. očitno.

Glede odprtih sem malo zmedena

Če imamo odprto neprazno U in jo separiramo z odprtima V_1,V_2, potem nista nujno V_1 in V_2 disjunktni

Če nista disjunktni to sploh ni separacija, ali nismo rekli tako?

Zaprte:zakon
Am, še en detajl: kaj če imamo notri eno samo točko. Če malo pogledamo ta prostor ugotovimo, da je \(T_1\), torej so točke zaprte, ker je zaprta bi morali pokazati, da je nepovezana. To pa nekako zgleda nemogoče, pa saj točke ne moreš separirati. čudno,...

[Zajc]

Če nista disjunktni to sploh ni separacija, ali nismo rekli tako?

Ne. Najprej sem tudi jaz pomislil na to, ampak ni res. Množici \(V_1,V_2\) lahko predstavljata separacijo množice \(A\) tudi če se sekata, samo ne smeta se sekati znotraj \(A\). Ker potem sta \(V_1\cap A\) in \(V_2\cap A\) disjunktni in odprti v relativni topologiji v \(A\), torej predstavljata separacijo množice \(A\).

Am, še en detajl: kaj če imamo notri eno samo točko. Če malo pogledamo ta prostor ugotovimo, da je T_1, torej so točke zaprte, ker je zaprta bi morali pokazati, da je nepovezana. To pa nekako zgleda nemogoče, pa saj točke ne moreš separirati. čudno,...

Mja, zgleda da je malo nenatančno navodilo. Singletoni (za katere se da preveriti, da so zaprti) so očitno povezani (vsak singleton v kateremkoli top. prostoru je povezan). Poleg tega sta tudi množici \(\mathbb{N}\) in \(\emptyset\) zaprti in povezani. Vse ostale zaprte množice pa so nepovezane.

[delta]

To z odprtimi sedaj razumem, tisto s singeltoni tudi.

Najlepša hvala za pomoč lp

[delta]

Komponente za povezanost v splošnem niso zaprte:primer: Varšavski lok ima dve komponenti za povezanost od katerih je le ena zaprta. \(L: f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}}\) za \(x \in [-1,0)\).\(L\)zaprtje\(=L \bigcup (0\times[-1,1])\). Zaprta je najbrž zaprt interval\((0\times[-1,1])\), \(L\) pa je homeomorfen intervalu \([-1,0)\) ta pa ni zaprt? Pokazati moram, da komponente za povezanost niso nujno zaprte.(ali je zgoraj opisano dovolj?)
Kako se dokaže, da zaprtje povezane pa je zaprto?

Lepo prosim, če kdo ve kaj o tem:) ,lp

[Zajc]

Komponente za povezanost so vedno zaprte. Varšavski lok je povezan prostor.

[delta]

Ah, zmotila sem se

dve komponenti za povezanost od katerih je le ena zaprta

komponenti za povezanost s potmi

Pokazati moram, da komponente za povezanost niso nujno zaprte

spet isto: komponente za povezanost s potmi

Moje pravo vprašanje:Kako se pokaže, da je zaprtje povezane množice povezana množica?
Se opravičujem za napake.

[Zajc]

Aha, potem pa je tvoj primer OK.

Zaprtje povezane je povezana:
Recimo, da zaprtje množice \(A\) ni povezana množica. Potem obstajata odprti množici \(U,V\), da je \(\overline{A}\subseteq U\cup V\), \((U\cap\overline{A})\cap(V\cap\overline{A})=\emptyset\) in \(U\cap\overline{A},V\cap\overline{A}\ne\emptyset\). Tedaj \(U,V\) separirata \(A\). Res, \(A\subseteq U\cup V\), \((U\cap A)\cap(V\cap A)=\emptyset\) je očitno. Pokazati moramo še \(U\cap A,V\cap A\ne\emptyset\). Ker je \(U\cap\overline{A}\) neprazna, obstaja neka točka \(x\) v tej množici. Vzamemo okolico \(U'\) točke \(x\), da velja \(U'\subseteq U\). Potem \(U'\) seka \(A\), saj je \(x\in\overline{A}\). Torej je \(U\cap A\ne\emptyset\). Simetrično tudi \(V\cap A\ne\emptyset\). Torej je \(A\) nepovezana.

[delta]

Zaprtje povezane razumem.

[-1,0) ta pa ni zaprt

ali ni zaprt, ker gledamo to v \(\mathbb{R}\) in pač ni zaprt interval?

[delta]

2.3.Naj bo \(X=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|(x-n)^2+y^2=n^2\}\)\(\bigcup(\{0\}\times((-\infty,1)\bigcup[2,\infty)))\)

O tej nalogi se je enkrat že govorilo(8.2.Pomoč pri topologiji), se mi pa pojavi vprašanje, če bi v primeru, da bi imeli \((-\infty,1) \bigcup (2, \infty)\) torej da \(2\) ni zraven, ali bi potem \(X\) pa bil lokalno kompakten.?(da pokažemo, da ni lokalno kompakten moramo najti zaporedje, katerega limita nam pade ven iz okolice, zato ta okolica ni zaprta in ni kompaktna. V tem primeru ne vidim, da bi se dalo najti takšno zaporedje) ali pač?

[Zajc]

Prostor \(X\) je lokalno kompakten, v obeh primerih.

[delta]

Jaz mislim, da v prvem primeru ne more bit lokalno kompakten, ker vse točke \({0} \times [2,\infty)\) delajo probleme, saj si lahko izberem zaporedje katere limita pade ven. Kako pa pokažemo, da v drugem primeru je lokalno kompakten?

[Zajc]

Kaj zate pomeni lokalno kompakten?

[Kardioida]

Ne, množica \([0,1)\cup[2,3)\) npr. je tudi odprta.

Zanima me zakaj je tukaj takšna množica tudi v topologiji, ko smo pisali test iz topologije smo imeli pa nalogo:
Baza topologije je bila:
\(B = \{ (a,b); a,b \in \mathbb R, a<b \} \cup \{ [n,d); n \in \mathbb Z, d\in \mathbb R, n<d \}\)
Potem pa je v rešitvah asistent zapisal, da množice oblike \((a,b) \cup [c,d)\) niso v topologiji za \(c>b\).
Kako vem, kdaj je kaj v topologiji? Sem že mislila da razumem, pa očitno še vedno ne.. :S