Povezanost

[Kardioida]

Naj bo \(X=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|(x-n)^2+y^2=n^2\}\)
Kako dokažem, da so posamezne krožnice povezane s potmi oz. kako skonstruiram tisto funkcijo \(\gamma\)?
Potem lahko uporabim, da so vse krožnice povezane s potmi in v preseku imajo \((0,0)\), torej je \(X\) povezan, ne?

[Jurij]

Da je krožnica s potmi povezana, je očitno (tega ti ni treba dokazovat); potem pa res uporabiš tisto trditev in dobiš, da je X s potmi povezan.

[Kardioida]

Aja sem mislila da moram to tudi dokazati.. Najlepša hvala
Če se ti da, bi mi mogoče lahko odgovoril še na prejšnje vprašanje? Tisto z bazo topologije?

Pa še to me zanima če je prav:
\(\forall x \in X\) obstaja baza okolic: za bazo okolic vzamemo \(K_{\infty} (x,\frac{1}{n}) \cap X, n>1, \quad \Rightarrow X\) lokalno povezan?

[Jurij]

glede lokalne povezanosti: take okolice so v redu za točko (0,0), za ostale pa vzameš take okolice od nekega \(n_0\) dalje; npr. za točko
\((2-\sqrt{2},\sqrt{2})\) okolica \(K_{\infty}((2-\sqrt{2},\sqrt{2}),1) \cap X\) ni povezana, ker ne vsebuje 0, vsebuje pa del krožnice z radijem 1, ta pa je z 2. krožnico povezana le prek 0. Zato moraš vsaj z besedami utemeljiti, da vzameš dovolj velik n.

glede tiste topologije: a je bila to letošnja naloga? \((a,b) \cup [c,d)\) so v topologiji, če je c celo št. A tiste rešitve si gotovo prav prepisala?

[Kardioida]

Ja, to je letošnja naloga.. Poglej si na učilnici, res je tko napisal, da niso noter.. :S

Aha, najlepša hvala.

[Kardioida]

Ups, v bazi niso, v topologiji pa pol so verjetn, ojoj :S

[Jurij]

ja, taki niso v bazi, v topologiji pa so poljubne unije, torej tud taki.

[delta]

Še en izziv:)
\(a \in (0, \infty)\) podprostor ravnine \(\mathbb{R}^2\) je
\(X_a=(\{0\} \times[0,a])U ([0,1] \times\{0\})U \bigcup_{n=1}^{\infty}(\{\frac{1}{n}\} \times[0,1])\) tisti U-ji so unije.
Kako pokažemo, da za \(a<1\) ni lok. kompakten? kakšen je postopek?

[Jurij]

Naj bo \(U\) poljubna okolica za \((0,a)\); potem obstaja tak \(\epsilon >0\): \(V:=K_\infty(a,\epsilon) \cap X_a \subset U\) (ta \(V\) je bolj obvladljiv kot \(U\)). Ker dokazuješ lok. kompaktnost, moraš poiskati neko zaporedje v \(X_a\), ki ni v množici \(U\).
\(h:=min\{a+\frac{\epsilon}{2},1 \}\); Zaporedje \(x_n = (1/n,h)\) bo očitno vsebovano v \(V\) od nekega člena dalje, po drugi strani pa njegova limita \((0,h)\) ni vsebovana v \(\bar{V}\). Torej nobena okolica \(U\) za \((0,a)\) ni relativno kompaktna.

[delta]

Ali nimamo pri moji 2.3. nalogi v točki \(2\) podobnega problema? Zato mislim, da ni lokalno kompakten.

[Zajc]

Ja, sem se zmotu. V primeru \([2,\infty)\) ni lokalno kompakten, v primeru \((2,\infty)\) pa je. Nisem dobre slikce narisal (samo par krožnic) pa sem pozabil, da se v resnici krožnice približujejo y osi ...

[delta]

1.Naj bo \(X=\cup_{n \in \mathbb{N}}\{(x,y) \in \mathbb{R}^2\}| (x-n)^2+y^2=n^2\)

a) Ali je prostor X povezan, povezan s potmi, lok. povezan, lok. pov. s potmi?
b) Ugotovi in pokaži, za katere točke \(T \in X\) je prostor X\{T} nepovezan?

Dobim tole:
a) Prostor je povezan s potmi, saj je unija množic povezanih s potmi z nepraznim presekom spet povezana s potmi. Torej je prostor tudi povezan.
Lok. povezanost: v limiti dobimo premico \(x=0\), če bi naša množica vsebovala kakšno točko iz te premice, prostor ne bi bil lokalno povezan(v točki (0,0) pa ni težav), tako pa je lok. povezan.
Lok. povezanost s potmi, je tudi(zelo podobno pokažemo kot za lok. pov.)
b) Točka (0,0)
Zanima me, če je to vredu in če je ustrezno utemeljeno.?Lp

2.Naj bo \(B=\{\{2k-1,2k\}|k \in \mathbb{N}\}\) baza topologije na \(\mathbb{N}\)
a) Določi notranjost in zaprtje mn. \(\{1,3,4\}\).
Dobim: najprej moram iz baze narediti topologijo, vzamem unijo vseh bazičnih in dobim vsa \(\mathbb{N}\), torej so edine odprte \(\mathbb{N}\) in \(\emptyset\). \(IntA=\emptyset\), \(ClA=\mathbb{N}\). Je to res?

3. Naj bo prostor \(\mathbb{R}\) opremljen s topologijo končnih kompl., \(\mathbb{R}^2\) pa z evklidsko top. Pokaži, da je preslikava \(f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}\), definirana s predpisom f(x,y)=x+y zvezna, ni pa odprta niti zaprta.
Lotim se tako: \(f:(\mathbb{R}^2,T_e)->(\mathbb{R},T_e)\), če v ciljnem prostoru topologijo zmanjšamo t.j.\(f:(\mathbb{R}^2,T_e)->(\mathbb{R},T_k)\), je presl. zvezna, ni pa odprta in zaprta. Pokazati moram, da \(T_k<T_e\), če npr. vzamem odprt interval, ki je odprt v evklidski ni odprt v \(T_k\), saj komplement ni končna, ali že iz tega sledi, da je \(T_k<T_e\)? In kako se točno zapiše evkl. topologijo?(\(T_k=\{U \subseteq \mathbb{R}, U^c\) končna ali \(U= \emptyset\}\)) Kako pa zapišemo za evklidsko?

Lepo prosim za popravke ,lp

[Zajc]

1. OK. Ne pozabi pri b) utemeljiti, zakaj je X\(0,0) nepovezan.

2. Ni OK. Odprte množice so poljubne unije baznih (posebej, bazične množice so odprte). Notranjost je {3,4}, zaprtje pa {1,2,3,4}.

3. Očitno je \(T_k\subseteq T_e\), saj je vsaka množica, ki ima končen komplement, unija odprtih intervalov (torej odprta v evklidski topologiji). To pomeni, da je \(f\) avtomatično zvezna (saj je \(f:(\mathbb{R}^2,T_e)\to(\mathbb{R},T_e)\) zvezna). \(f\) ni odprta, saj \(f((0,1)\times(0,1))=(0,2)\) ni odprta v \((\mathbb{R},T_k)\). \(f\) ni zaprta, saj \(f([0,1]\times[0,1])=[0,2]\) ni zaprta v \((\mathbb{R},T_k)\).

Opis evklidske topologije je ponavadi podan z bazo. Baza pa so odprti intervali.

[Zajc]

Pokazati moram, da \(T_k<T_e\), če npr. vzamem odprt interval, ki je odprt v evklidski ni odprt v \(T_k\), saj komplement ni končna, ali že iz tega sledi, da je \(T_k<T_e\)?

Ne. S tem bi pokazala, da je \(T_e\nsubseteq T_k\).

[delta]

2. Aha, notr. mi je jasno, kako pa pokažemo, da je \(\{1,2,3,4\}\) zaprta?
3.

Ne. S tem bi pokazala, da je \(T_e\nsubseteq T_k\).

Ali niso samo tri možnosti:\(T_e \subset T_k\), \(T_k \subset T_e\) in \(T_k = T_e\)?

Očitno je T_k\subseteq T_e, saj je vsaka množica, ki ima končen komplement, unija odprtih intervalov

, ne razumem kaj končen, v komplementu so lahko točke, zaprti intervali, zakaj pa niso odprti, zakaj je zaprt interval končen, odprt pa ne? je odg. zato, ker se zaprt konča pri krajnih točkah, odprt se pa ne? gledamo tako?
ostalo razumem, najlepša hvala za pomoč