Naloga z matriko (lastna vrednost)

[sniper]

Živjo!

Imam nasledno nalogo:

Preverite, da je število -2 lastna vrednost matrike: Pa imam podano matriko.

Pa me zanima, a se to tako rešuje, da poiščem pač vse lastne vrednosti matrike in vidim, če je med njimi -2 ali je kakšna druga pot ?


Hvala za pomoč

[Motore]

Ni potrebno poiskat vseh lastnih vrednosti, samo vstavi lastno vrednost \(\lambda = -2\) pa izračunaj determinatno katera mora prit 0 (\(det(A - \lambda I) = 0\)). -2 je lastna vrednost tudi kadar matrika \(A-\lambda I\) ni obrnljiva

[sniper]

aha ok super

hvala

[kosho99]

zdravo racunal sem matriko P lastnih vrednosti, najprej sem izracunal nicle karakterističnega polinoma: \(\lambda_1=1; \lambda_2=-1; \lambda_3=2\)

za \(\lambda_1\) sem dobil:

\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\\end{bmatrix}\)

za \(\lambda_2\) sem dobil:

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 0 \\0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\\end{bmatrix}\)

za \(\lambda_3\) sem dobil:

\(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -6 & 0 \\0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\\end{bmatrix}\)

kako zdaj zapišem matriko lastnih vektorjev?

[Aniviller]

Sklepam da so to matrike (A-lambda*I) ? Ce je to to, potem moras to resit da dobis lastne vektorje. Recimo prvi sistem enacb pravi

x1-x2+x3=0
x3=0
od koder lahko izluscis, da je resitev
x1=x2 in x3=0, oziroma lastni vektor (1,1,0).
Potem ga je dobro se normirat (resitev enacbe je itak tole krat poljubna konstanta).

Tako lahko razresis vse tri, edino nekaj ne izgleda prav - kaze kot da sta dva lastna vektorja enaka. Se malo preveri tele matrike, sigurno niso prav.

[kosho99]

za \(\lambda_3\) sem dobil:

\(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -6 & 3 \\0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\\end{bmatrix}\)

zdaj zapišem tako:
\(x_1-2x_2+x_3=0\)
\(-6x_2+3x_3=0\) \(\Rightarrow\) \(6x_2=3x_3\) \(\Rightarrow\) \(x_2=\frac{1}{2}x_3\) -->to vstavim v prvo enačbo, dobim:
\(x_1=0\)

\(x=\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{2}x_3 \\ x_3 \\\end{bmatrix}\)

kako pa vem s katero neznanko moram izraziti vse ostale?

[Aniviller]

Ni vazno, itak dobis razliko samo za konstantni faktor, na koncu normiras in gre vse stran. No, popolne izbire ponavadi nimas, ce ima vektor komponento 0, s tisto spremenljivko ne mores izrazit, sploh ne dobis priloznosti ker takoj izgine iz enacb.