Pozdravljeni!
Imam en problem in sicer: iščem stacionarne točke ( ter jih kvalificirat) funkcije z=x/y - ln(x) + y^2 -y
Ko naredim parcialne odvode, ugotovim, da sta mešana odvoda različna (d^2f)/(dxdy) ni enako kot (d^2f)/(dydx)
Kaj naj naredim sedaj?
funkcija več spremenljivk
Re: funkcija več spremenljivk
No, stran od singularnih točk analitična funkcija ne more imeti različnih mešanih odvodov (saj je vendar analitična, torej ima vse odvode definirane). Ta je vsota analitičnih funkcij, torej je tudi sama analitična (razen okrog y=0 in x=0).
\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{x}{y^2}+2y-1\)
Križno še enkrat odvajaš:
\(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{y^2}\)
\(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{y^2}\)
Pri x=0 in pri y=0 (torej, na obeh koordinatnih oseh) pa moraš stvar seveda obravnavat popolnoma drugače. Če hočeš ostat v realnem, potem na x<0 itak funkcija ni definirana. y=0 premica je pa pol. Ni ravno nekih stacionarnih točk tam.
\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{x}{y^2}+2y-1\)
Križno še enkrat odvajaš:
\(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{y^2}\)
\(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{y^2}\)
Pri x=0 in pri y=0 (torej, na obeh koordinatnih oseh) pa moraš stvar seveda obravnavat popolnoma drugače. Če hočeš ostat v realnem, potem na x<0 itak funkcija ni definirana. y=0 premica je pa pol. Ni ravno nekih stacionarnih točk tam.
Re: funkcija več spremenljivk
Hvala. Včeraj kar nisem in nisem mogel najti napakeRe: funkcija več spremenljivk
Pozdravljeni, eno vprašanje: Dolocite vse radialno simetricne harmonicne funkcije v ravnini in prostoru. Funkcija je radialno simetricna, ce je odvisna le od oddaljenosti r od izhodisca.
Re: funkcija več spremenljivk
Poglej si nabla operator v cilindričnih/sferičnih koordinatah in ga reši. Recimo v cilindričnih (2D):
\(\nabla^2 f(r)=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r}f(r))=0\)
integriraš... najprej enkrat:
\(r\frac{\partial }{\partial r}f(r)=C\)
\(\frac{\partial }{\partial r}f(r)=\frac{C}{r}\)
še enkrat:
\(f(r)=C\ln r+D\)
To je seveda tudi Greenova funkcija za prostor določenih dimenzij (potencial točkastega naboja za 3D itd...).
\(\nabla^2 f(r)=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r}f(r))=0\)
integriraš... najprej enkrat:
\(r\frac{\partial }{\partial r}f(r)=C\)
\(\frac{\partial }{\partial r}f(r)=\frac{C}{r}\)
še enkrat:
\(f(r)=C\ln r+D\)
To je seveda tudi Greenova funkcija za prostor določenih dimenzij (potencial točkastega naboja za 3D itd...).