funkcija več spremenljivk

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
pikm5
Posts: 11
Joined: 24.1.2013 20:11

Re: funkcija več spremenljivk

Post by pikm5 » 19.11.2013 23:41

Pozdravljeni!

Imam en problem in sicer: iščem stacionarne točke ( ter jih kvalificirat) funkcije z=x/y - ln(x) + y^2 -y
Ko naredim parcialne odvode, ugotovim, da sta mešana odvoda različna (d^2f)/(dxdy) ni enako kot (d^2f)/(dydx)
Kaj naj naredim sedaj?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: funkcija več spremenljivk

Post by Aniviller » 20.11.2013 0:01

No, stran od singularnih točk analitična funkcija ne more imeti različnih mešanih odvodov (saj je vendar analitična, torej ima vse odvode definirane). Ta je vsota analitičnih funkcij, torej je tudi sama analitična (razen okrog y=0 in x=0).

\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{x}{y^2}+2y-1\)

Križno še enkrat odvajaš:
\(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{y^2}\)
\(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{y^2}\)

Pri x=0 in pri y=0 (torej, na obeh koordinatnih oseh) pa moraš stvar seveda obravnavat popolnoma drugače. Če hočeš ostat v realnem, potem na x<0 itak funkcija ni definirana. y=0 premica je pa pol. Ni ravno nekih stacionarnih točk tam.

pikm5
Posts: 11
Joined: 24.1.2013 20:11

Re: funkcija več spremenljivk

Post by pikm5 » 20.11.2013 8:46

:oops: Hvala. Včeraj kar nisem in nisem mogel najti napake

Dynamo
Posts: 22
Joined: 26.12.2013 18:04

Re: funkcija več spremenljivk

Post by Dynamo » 27.12.2013 13:16

Pozdravljeni, eno vprašanje: Dolocite vse radialno simetricne harmonicne funkcije v ravnini in prostoru. Funkcija je radialno simetricna, ce je odvisna le od oddaljenosti r od izhodisca.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: funkcija več spremenljivk

Post by Aniviller » 27.12.2013 14:04

Poglej si nabla operator v cilindričnih/sferičnih koordinatah in ga reši. Recimo v cilindričnih (2D):
\(\nabla^2 f(r)=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r}f(r))=0\)
integriraš... najprej enkrat:
\(r\frac{\partial }{\partial r}f(r)=C\)
\(\frac{\partial }{\partial r}f(r)=\frac{C}{r}\)
še enkrat:
\(f(r)=C\ln r+D\)

To je seveda tudi Greenova funkcija za prostor določenih dimenzij (potencial točkastega naboja za 3D itd...).

Post Reply