Page 1 of 2

funkcija več spremenljivk

Posted: 13.6.2011 19:40
by sniper
Živjo!

Prosil bi vas za še za malo pomoči pri tejle nalogi:

Image

Nalogo sem rešil takole:

Image

Sedaj pa me zanima, zakaj v rešitvah piše, da ima funkcija še dva maksimuma, sam sem namreč prišel samo do minimumov. Torej kako izračunam, še maksimuma ?

najlepša hvala za pomoč!

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 13.6.2011 20:04
by problemi
Verjetno ni moje, da ti to govorim, amapak vseeno bi te spomnil, da se da matematiko tudi brati. Torej vzameš knjigo v kateri je govora o tej temi in si preberi kateri so tisti potrebni in zadostni pogoji, da ugotovimo ali ima funkcija kakšno stacionarno točko. Seveda je pri temu prvi pogoj, da znaš funkcije odvajati. Torej, začni matematiko tudi brati.

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 0:19
by shrink
sniper, probleme vezanih ekstremov se najlažje rešuje z metodo Lagrangeovih multiplikatorjev.

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 0:49
by problemi
sniper, jaz se ti iskreno opravičujem. Nisem dobro pogledal nick in sem mislil da zopet sprašuje sivec84. Moral bi bolje pogledati. :oops:

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 1:31
by sniper
shrink wrote:sniper, probleme vezanih ekstremov se najlažje rešuje z metodo Lagrangeovih multiplikatorjev.
am vem ja, samo pri takih preprostih primerih lahko funkcije dveh spremenljivk pretvorim na funkcijo ene spremenljivke pa potem samo tej funkciji določim stacionarne točke in nato ekstreme ?

drugače pa mislm, da je tako napaka v rešitvah. Maksimumov ni, sta samo minimuma v (0,2) in (0,-2)

problemi wrote:sniper, jaz se ti iskreno opravičujem. Nisem dobro pogledal nick in sem mislil da zopet sprašuje sivec84. Moral bi bolje pogledati. :oops:

nč hudga :)

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 2:35
by shrink
sniper wrote:
shrink wrote:sniper, probleme vezanih ekstremov se najlažje rešuje z metodo Lagrangeovih multiplikatorjev.
am vem ja, samo pri takih preprostih primerih lahko funkcije dveh spremenljivk pretvorim na funkcijo ene spremenljivke pa potem samo tej funkciji določim stacionarne točke in nato ekstreme ?
\(f(x,y)=\frac{x^2}{2}\) ni isto kot \(f(x)=\frac{x^2}{2}\). Zato bi moral poleg parcialnega odvoda po x-u \(\frac{\partial f}{\partial x}\) (in njegove ničle) poiskati še parcialni odvod po y-u \(\frac{\partial f}{\partial y}\)(in njegove ničle). Ugotovil bi, da je slednji vselej enak 0; dobil bi torej identiteto \(0=0\), s katero si ne moreš kaj dosti pomagati pri iskanju stacionarnih točk.

Lahko pa preideš v polarne koordinate (\(x=r\cos\varphi\), \(y=r\sin\varphi\)), kar ti da:

\(f(r,\varphi)=\frac{1}{2}r^2\cos^2\varphi\) z vezjo \(r^2=4\).

Iz vezi je jasno \(r=\pm 2\), ničle parcialnih odvodov pa dajo \(\varphi=0\) in \(\varphi=\frac{1}{2}\pi\), kar ti da seveda 4 stacionarne točke.
drugače pa mislm, da je tako napaka v rešitvah. Maksimumov ni, sta samo minimuma v (0,2) in (0,-2)
Rešitev je že pravilna; kot že rečeno, splača se uporabiti Lagrangeove multiplikatorje.

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 11:18
by Aniviller
Na zakljuceni zanki ne moreta biti dva maksimuma in nobenega minimuma, ker je med vsakima dvema maksimumoma en minimum.

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 14:23
by sniper
hm, jest sm delal po tej razlagi:


Image

ampak zgleda bo treba po metodi Lagrangeovih multiplikatorjev

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 16:05
by Aniviller
Za vezane ekstreme imas 3 moznosti.

1) Eliminacija spremeljivke
To se zelo redko da naredit. Ce je vez taka, da lahko eno spremeljivko eksplicitno izrazis, potem s tem eliminiras eno spremeljivko in dobis ekstremalni problem brez vezi in z eno dimenzijo manj. Ze pri kroznici recimo imas dve veji resitve \(\pm\sqrt{1-x^2}\): obravnavat moras vsako posebej in ekstremalni tocki sta singularni in ce je ekstrem tam ga ne mores dobit na ta nacin (to se je tebi zgodilo). Pa inverzne funkcije so ponavadi grde (koreni, arkus sinusi,...) ali celo niso analiticno izrazljive (ze polinomov 3. stopnje ni priporocljivo izrazat, nad 4. se pa sploh ne da).

2) Parametrizacija
To je malo boljse in bolj pogosto izvedljivo. Marsikatera krivulja se ne da lepo eksplicitno izrazit, da se pa parametrizirat. V primeru kroznice je to uvedba kota. Na ta nacin ravno tako nimas vec vezi in dobis nizjedimenzionalni ekstremalni problem. Prednost je v tem, da je v primeru lepe parametrizacije vse zvezno in ni singularnih tock, pa ponavadi je lazje odvajat ker ni treba iskat inverznih funkcij. Ta metoda je lahko celo bolj splosna kot multiplikatorji ker parametriziras lahko krivulje, ki niso regularne izohipse neke funkcije vec spremeljivk. Recimo kaksne neskoncne spirale, krivulje ki sekajo same sebe in podobno.

3) Lagrangeovi multiplikatorji
Vsaka implicitno podana vez se da upostevat z Lagrangeovimi multiplikatorji. S tem ohranis simetrijo (ne gres izrazat ene spremenljivke z drugo ampak jih pustis v implicitni obliki). Slaba stran pa je, da s tem postane ekstremalni problem visje dimenzije (uvedes se en dodaten parameter) in dobljeni sistem enacb ni nujno enostavno resljiv. Lagrangeov multiplikator ki ga dobis zraven ponavadi niti ni koristen podatek (razen v nekaterih primerih v fiziki).

V izrezku je opisana prva metoda, ki v tem primeru res deluje, saj gre za linearno vez.

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 17:01
by sniper
Hvala Aniviller za še eno super razlago. Ko bi le bilo tako razloženo še v kjnigi ali pa na predavanjih...

Mi lahko prosim samo še malo poveš, kako poteka pri tisti nalogi, ki ima za vez krožnico \(x^2+y^2=4\) uvedba kota ?

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 14.6.2011 17:08
by Aniviller
Postopek s kotom ti je povedal ze shrink, lahko pa povzamem.

Najprej parametriziras kroznico (izberes x(t) in y(t) da je vezi avtomatsko zadosceno). Imas kroznico s polmerom 2 in ce vzames obicajen polarni zapis, dobis
\(x=2\cos t\)
\(y=2\sin t\)
(seveda lahko izhodisce kota izberes tudi kje drugje).

Zdaj isces ekstreme po eni spremeljivki (kotu). Tvoja funkcija je \(f=\frac{x^2}{2}=2\cos^2 t\). Te niti ni treba odvajat ker je jasno kje ima ekstreme. Ko dobljene ekstremalne kote neses nazaj v x(t) in y(t) dobis koordinate ekstremov. Ekstermov po t-ju je pravzaprav neskoncno (na vsake 2pi se ponovijo) ampak te ponovitve pomenijo en in isti ekstrem, zato izberes samo eno ponovitev (en obhod kroga), recimo 0 do 2*pi.

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 24.10.2013 17:14
by subic.alja
Hej!

Potrebujem pomoč pri naslednji nalogi:

Dana je krivulja \(r(t)=(t+\frac{a^2}{t}, t-\frac{a^2}{t}, 2a\ln\frac{t}{a}), a>0\).

(a) Pokažite, da je krivulja določena s presekom ploskev \(x^2-y^2=4a^2\) in \(z=2a\ln \frac{x+y}{2a}\).
(b) Pokažite, da je dolžina loka dane krivulje od točke na osi \(x\) do poljubne točke sorazmerna s koordinato \(y\) te točke.

Lp Alja

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 24.10.2013 18:21
by Aniviller
a) Če hoče bit krivulja na obeh ploskvah, potem mora izpolnit enačbe ploskev. Torej samo x, y in z komponento krivulje vstaviš noter in pokažeš, da sta enačbi izpolnjeni.
b) Formalno gledano bi šla lahko računat krožni lok z integralom. Ampak lažje je, če stvar odvajaš. Torej, namesto
\(\int_a^t {\rm d}s=\int_0^t |\vec{r}'(t')|{\,\rm d}t'=t-\frac{a^2}{t}\)
to odvajaš:
\(|\vec{r}'(t)|=1+\frac{a^2}{t^2}\)
To pa lahko preveriš.

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 27.10.2013 14:47
by subic.alja
Torej, če prav razumem b) narediš tako, da najprej odvajaš \(r(t)\) in dobiš \(r'(t)=(1- \frac{a^2}{t^2}, 1+\frac{a^2}{t^2}, \frac{2a}{t})\) in nato dolžino tega enačiš s \(1+\frac{a^2}{t^2}\). Se pravi dobiš:

\(\sqrt{(1- \frac{a^2}{t^2})^2+(1+\frac{a^2}{t^2})^2+(\frac{2a}{t})^2} = 1+\frac{a^2}{t^2}\)

Je tako?
Hvala za pomoč

Re: funkcija več spremenljivk

Posted: 27.10.2013 15:01
by Aniviller
Tko ja. Tam se mi je vektorski znakec zlepil z odvajanjem... :)

Sej iščejo samo sorazmernost, ne enakost, tako da je vse ok.