Računanje pretokov

[nuggi]

Imam problem pri dveh nalogah in prosim za pomoč, če kdo zna.

1. Pri tej nalogi mi je a del popolnoma jasen, zatakne pa se pri b delu. Prosim če mi kdo razloži kaj točno vstavim, da lahko naprej računam - vem kakšna je formula, vendar imam očitno probleme z vstavljanjem, ker mi ne pride prav. In kaj vstavim recimo v primeru, da je F=(x, xy, z^2)??




2. Ne vem niti, kako naj se je lotim. Verjetno je potrebno izračunati rotor...to znam, naprej ne.



Prosim za pomoč!

[Aniviller]

1)
Pretok je integral skalarnega produkta z normalo po povrsini. Torej
\(\int \vec{F}\cdot \vec{n}\,{\rm d}S\)
dS je tisti klasicni dS za povrsine (tisto z EG-F^2) in n je normala, ki jo dobis z normiranim vektorskim produktom med dFi/du in dFi/dv (bazna vektorja povrsine). Potem se norma pokrajsa s tistim clenom v dS ki stoji zraven du*dv in dobis
\(\int \vec{F}\cdot {\rm d}\vec{S}\)
kjer je \({\rm d}\vec{S}=\frac{\partial \Phi}{\partial u}\times\frac{\partial \Phi}{\partial v} {\rm d}u\,{\rm d}v\).
Ta druga varianta je itak tisto kar se ponavadi uporablja.

2)
Uporabis stokesov izrek: integral po krivulji je enak pretoku rotorja skozi objeto ploskev. Nekako moras parametrizirat ploskev. Jaz bi sel v polarne koordinate, kjer imas
\(x=r\cos\phi\)
\(y=r\sin\phi\)
\(z=1-x-y\) (to pride iz tega, da si na ravnini!)

Normala te ploskve je itak enaka normali ravnine, ki je (1,1,1). Potem integriras po istem postopku kot pri prvi.