1.\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2(x^2+4)}\)
lotila sem se tako:
\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(z-i)^2(z+i)^2(z-2i)(z+2i)}\), upoštevam izrek o residuuih in dobim:\(\int{\gamma_{1}}+\int{\gamma_{2}}=2\pi i(\sum_{i}^{n}(f(z),a_{i}))\), pri čemer je pot \(\gamma_{1}\) na x osi od -R do R, pot \(\gamma_{2}\) pa predstavlja\(\int_{0}^{\pi}f(z)dz\), \(z=R e^{i \phi}\), ko gre \(R->\infty\) dobim \(\int{\gamma_{2}=0\).
Pola sta dva: \(z=i\) in \(z=2i\), drugi je 1. st. in ga lahko takoj izračunam(dobim \(\frac{1}{12i}\)), za \(z=i\) izr. tako:\(f(z)=\frac{g(z)}{(z-i)^2}\), \(g(z)\) lahko zapišem kot potenčno vrsto \(g(z)=a_0+a_1(z-i)+...\), željeni ostanek \(a_1\) dobim \(a_1=g'(0)=-\frac{i}{2}\), \(\int_{\gamma_{1}}=2\pi i(-\frac{i}{2}+\frac{1}{12i})=\frac{7\pi}{6}\) .
Pravilna rešitev naj bi bila:\(\frac{\pi}{9}\) . Je mogoče kje napaka v postopku?
2.\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4+6x^2+18} dx\) opazim, da je fja pod integralom soda, ne vem kako naj se naloge lotim, izgleda kot da polov sploh ni??
Pomembno vprašanje: Pri nalogah pri katerih si pomagamo s kompl. integracijo se večkrat zareže(npr. realno os), zakaj in kdaj točno je to potrebno narediti?
Če mi kdo lahko pri kateri pomaga bi bila vesela
