Rač. realnih integralov s pomočjo kompl. integracije

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rač. realnih integralov s pomočjo kompl. integracije

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ne me za besedo drzat, nisem probal... ampak najbrz bi moralo delovat, da integral interpretiras kot del integrala po zakljuceni zanki, ki gre po enem ogromnem krogu okrog neskoncnosti. S tem lahko izrazis integral z residui v neki polravnini. Od predznaka eksponenta je odvisno, na kateri polravnini ti za kompleksne x funkcija eksponentno pojema namesto narasca, in torej zato izberes vedno tisto, ki je temu primerna. Seveda moras pazit na obrat predznaka, ce gres po spodnji polravnini, saj imas cirkulacijo v negativni smeri. Integracija gre tocno cez pol 1/x v izhodiscu, zato moras tam naredit eno tako izogibajoco zanko, in tista zanka ti bo dala nekako pol residua v nicli. Celoten izraz, ki si ga imel prej, je sestavljen iz vsote dveh delov, in od kombinacije predznakov bo odvisno kako se vse skupaj sesteje.

Dainne
Prispevkov: 3
Pridružen: 17.6.2013 16:22

Re: Rač. realnih integralov s pomočjo kompl. integracije

Odgovor Napisal/-a Dainne »

Živjo! Jaz sem pa naletela na dokaj trd oreh pri sledečem integralu:
\(\int_{0}^{2\pi}\frac{dx}{1-2rcos\phi+r^2}\),
pri čemer je \(r^2\neq1\). Vedno se mi nekako uspe zaračunat in pride na koncu obupno grd rezultat, ki ni niti blizu pravilnemu. Zna kdo pomagat? :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rač. realnih integralov s pomočjo kompl. integracije

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Kot prvo lahko reces 2*integral do pi (zaradi simetrije), pa se kaksnim tezavam z menjavo spremenljivk se izognes (za menjavo spremenljivk rabis monotono funkcijo na integracijskem intervalu). Potem pa na polovicne kote (univerzalna trigonometricna substitucija). Doloceni integral bo lazji kot nedoloceni, ker so lepe meje.

sanej
Prispevkov: 71
Pridružen: 25.8.2010 18:00

Re: Rač. realnih integralov s pomočjo kompl. integracije

Odgovor Napisal/-a sanej »

pozdravljeni?

\(\int_0^{2\pi} \sin(5t)/sin(t) \mathrm{d} t\)

Kako naj izračunam ta integral s kompleksno integracijo. Ponavadi se za to uporabi
\(z = e^{i\phi}\) in izrazi sin ali kosinuse. Ampak ne vidim kaj narediti ker nista enaka argumenta ?
kakšna substitucija ?

Hvala za pomoč

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Rač. realnih integralov s pomočjo kompl. integracije

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Saj to bo kar slo:
\(\sin 5t=\frac{e^{5it}-e^{-5it}}{2i}\)
\(\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\)
Zdaj se pa lahko pretvarjas, da je tvoj integral v resnici po enotski kroznici, in lahko poisces residue znotraj, pri cemer zdaj pises
\(\int_0^{2\pi}\frac{\sin 5t}{\sin t}dt=\)\(\oint_{|z|=1}\frac{z^5-z^{-5}}{z-z^{-1}}(-iz^{-1})dz\)
kjer sem uposteval
\(z=e^{it}\)
\(dz=ie^{it}dt=iz\,dt\)
Zdaj pa pac poisces residue, saj imas racionalno funkcijo.

Odgovori