Integral s parametrom

[delta]

Izračunaj odvod integrala:
\(I(a)=\int_{1}^{e^\frac{1}{a}}\frac{\log (1+a \log x)}{x \log x}dx\)\(a>0\), da lahko odvod nesem pod integral sem preverila, dobim
\(I'(a)=\int_{1}^{e^ \frac{1}{a}}\frac{1}{x(1+a \log x)}dx=\int_{0}^{1/a} \frac{1}{1+au}du\) vzamem novo spr. \(u=\log x\), naprej \(=\frac{\log (1+au)}{a}=\frac{\log 2}{a}\), rešitev naj bi bila 0. Kaj ni prav?? Če kdo vidi, naj prosim pove, hvala

[shrink]

Če:

\(I(a)=\int_{1}^{e^\frac{1}{a}}f(a,x)\,dx\)

kjer je: \(f(a,x)=\frac{\log (1+a \log x)}{x \log x}\)

potem:

\(\frac{d}{da}\,I(a)
= f(a,e^\frac{1}{a})\,\frac{d}{da}\,(e^\frac{1}{a}) - f(a,1)\,\frac{d}{da}\,(1) + \int_{1}^{e^\frac{1}{a}} \frac{\partial}{\partial a}\, f(a,x)\; dx\,\)

Manjkata ti torej prva dva člena.

Prvi člen je \(-\frac{\log 2}{a}\), drugi \(0\), tretji pa \(\frac{\log 2}{a}\) (kar si že sama izračunala).

Sledi:

\(\frac{d}{da}\,I(a)=0\)

[delta]

Hm, kako pa vemo kdaj se ta dva člena spredaj dodata?, ker ni vedno tako.

[shrink]

Če dobro pogledaš, sta prva dva člena enaka 0, če meji nista odvisni od parametra (ker sta pač odvoda mej po parametru, ki nastopata v členih, enaka 0).

V splošnem pa je treba postopati tako, kot sem prej napisal, kar je sicer znano pravilo:

http://mathworld.wolfram.com/LeibnizIntegralRule.html

[Kardioida]

\(I(x) = \int_{0}^{\infty} {e^{-t^2} \sin{(xt)} dt}\)
Izračunaj \(I'(x)/I(x)\) in \(I(x)\).
Prosim za pomoč

[Aniviller]

Poskusi takole:

Najprej odvajas I(x) po x. Odvod neses v integral. Tisto kar dobis, se da per partes integrirat in dobis nazaj integral ki je iste oblike kot tole. Lahko da s tem dobis kaksen koristen podatek.

[delta]

Še nekaj v zvezi z odvodom:

imamo integral:
\(I(x)=\int_{0}^{x}(x+y)f(y)dy\) dobili smo: \(I'(x)=\int_{0}^{x}f(y)dy+f(x,x)x=\int_{0}^{x}f(y)dy+2xf(x)\) ne vem od kje \(x\) pri drugem členu??

[delta]

Pri predzadnji nalogi jaz dobim \(I'(x)=1/2(1-xI(x))\) kako računaš naprej pa ne vem...? Upam, da vsaj malo pomaga.lp

[Aniviller]

Še nekaj v zvezi z odvodom:

imamo integral:
\(I(x)=\int_{0}^{x}(x+y)f(y)dy\) dobili smo: \(I'(x)=\int_{0}^{x}f(y)dy+f(x,x)x=\int_{0}^{x}f(y)dy+2xf(x)\) ne vem od kje \(x\) pri drugem členu??

X je ze notri. Napaka je ker oboje oznacujes z f. Pri odvodu po integralski meji pride tisti clen cel integrand z vstavljeno zgornjo mejo. Se pravi (x+x)f(x).

[Aniviller]

Pri predzadnji nalogi jaz dobim \(I'(x)=1/2(1-xI(x))\) kako računaš naprej pa ne vem...? Upam, da vsaj malo pomaga.lp

To je diferencialna enacba za I(x). In to linearna. Lahko jo resujes tako, da najprej dobis resitev homogenega dela (s separacijo spremenljivk) in potem naredis variacijo konstante. Integracijsko konstanto dolocis iz zacetnih pogojev (pri x=0 dobis Gaussov integral ki je znan).

Homogeni del:
\(2I'=-xI\)
\(2\frac{dI}{I}=-xdx\)
\(2\ln I=-\frac{x^2}{2}+C\)
\(I=Ae^{-x^2/4}\)
Nehomogeni del, nastavek:
\(I=A(x)e^{-x^2/4}\)
\(2 (A'(x)e^{-x^2/4}+A(x)(-x/2 )e^{-x^2/4})=1-x A(x)e^{-x^2/4}\)
\(A'(x)=\frac{1}{2}e^{x^2/4}\)
To je precej grdo (error function pride).

Tudi I'(x)/I(x) tukaj ni kaj dosti smiseln. Mogoce je bilo misljeno izracunat integral ki ima namesto sinusa kosinus? Ker v tistem primeru nehomogenega clena in in dobis takoj I'(x)/I(x)=-x/2 in je resitev tisto kar je bil pri nas samo homogeni del.

[delta]

x pri prejšnji nalogi sem odkrila:)
Homogeni del: kako iz 1. vrstice v 2. namesto\(I\)dobimo \(dx\), kako naračunamo \(C\), \(A\). Vidim, da gre za diferencialno enačbo, ampak kaj je in kaj pomeni homogeni del in nehomogeni del, ne vem(se še nisem srečala s tem). Kolikor vidim je nastavek za nehomogeni del rezultat homogenega dela.?
Ali je mogoče \(I(x)\) izračunati ven iz \(I'(x)=-\frac{x}{2}I(x)\) še na drug način? lp

[Aniviller]

x pri prejšnji nalogi sem odkrila:)
Homogeni del: kako iz 1. vrstice v 2. namesto\(I\)dobimo \(dx\), kako naračunamo \(C\), \(A\).

Predlagam da si pogledas osnove diferencialnih enacb. Prvi dve vrstici sta samo premetavanje, da spravimo I na eno stran in x na drugo stran, da lahko integriramo:
\(2I'=2\frac{dI}{dx}=-xI\)

To je le eden izmed pristopov za resevanje diferencialnih enacb prvega reda, vecinoma se to ne da in moras resevat na druge nacine (zamenjave spremeljivk, nastavki, predelava na sistem enacb, uporaba znanih resitev,...).

C je le integracijska konstanta (kot pri vsakem nedolocenem integralu): za vsak C dobis drugo resitev enacbe. Resitev je neskoncno mnogo, ce ne ves o njih nic drugega. Ce poznas eno vrednost (pri nas I(0)), s tem lahko dolocis C (izberes resitev ki gre skozi znano tocko). A je samo predelava C-ja; konstanta je konstanta, ni vazno kaj noter postavis:
\(\ln I=-\frac{x^2}{4}+\frac{C}{2}\)
\(I=e^{C/2}e^{-x^2/4}\)

Vidim, da gre za diferencialno enačbo, ampak kaj je in kaj pomeni homogeni del in nehomogeni del, ne vem(se še nisem srečala s tem). Kolikor vidim je nastavek za nehomogeni del rezultat homogenega dela.?

Linearne diferencialne enacbe (take kjer neznana funkcija nastopa linearno), lahko razumemo v splosnem kot nekaj takega:
\(a(x) y+b(x)y'+c(x)y''+\cdots=p(x)\)
Ce je desna stran enaka 0, je enacba homogena. Posledica linearnosti je, da ce imas eno resitev, jo lahko pomnozis s katerokoli konstanto in se vedno resi enacbo (pri homogeni enacbi se konstanta enostavno izpostavi in pokrajsa). Prav tako je vsota dveh resitev tudi resitev enacbe. Zato lahko resitev zapises kot vsota resitve homogenega dela (ta ima poljubno konstanto, pri nas je to A) in partikularne resitve, ki nima prostih parametrov. Eden izmed nacinov kako dobit partikularno resitev je, da vzames homogeno resitev in predpostavis da je namesto konstante spredaj faktor, ki se z x spreminja. To seveda ni edini nacin, resevanje diferencialnih enacb je podobno kot integracija napol umetnost in potrebujes obcutek in izkusnje.

Ali je mogoče \(I(x)\) izračunati ven iz \(I'(x)=-\frac{x}{2}I(x)\) še na drug način? lp

Diferencialno enacbo je pac treba resit, tu ni kaj. Razen ce resitev najdes v tabelah ali ce jo uganes.

[delta]

Aha , najlepša hvala za razlago. Vendar kako pa pri integralu s kosinusom že takoj vidimo, da nehomogenega dela ni?

[Aniviller]

Ko naredis per partes, ti v nasem primeru zunaj ostane \(-\frac{1}{2}e^{-t^2/2}\cos xt\) kar moras vzet na zgornji (neskoncno) in spodnji (0) meji, kjer pride tista minus polovicka (lahko da ni cisto pravi clen ker pisem po spominu). Ce zamenjas sinus s kosinusom, bo po odvajanju iz njega nastal sinus, ki je pa pri t=0 niceln in ta clen izgine.

[vesoljka]

Živjo,

zanima me, kako se preveri, ali je formalni odvod integrala s parametrom a>0 F'(a) = 2a [integral od 0 do neskončno]du/((a^2+u^2)(1+u^2)) enakomerno konvergenten. Pravzaprav me zanima, če mora biti enakomerno konvergenten samo del z integralom, torej [integral od 0 do neskončno]du/((a^2+u^2)(1+u^2)) (v tem primeru pač veš, da je to manj od [integral od 0 do neskončno]du/(u^2*(1+u^2)), kar je manj kot neskončno), ali vse skupaj (torej [integral od 0 do neskončno]2a/((a^2+u^2)(1+u^2)) du).
Hvala!