bilinearne forme

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
lukam0975
Prispevkov: 22
Pridružen: 1.9.2011 12:37

bilinearne forme

Odgovor Napisal/-a lukam0975 » 6.9.2011 18:11

Spet bi rabil pomoč... upam da ne težim preveč s temi dokazi :D

Pokaži da je množica Bil(U) vseh bilinearnih form na vektorskem prostoru U vektroski prostor za operacijo

(Q + P)(x,y) = Q(x,y) + P(x,y)

a ne sledi to že iz osnovne lastnosti bilinearnih preslikav:
Q(x+y,v) = Q(x,v) + Q(y,v)


pa še ena stvar me zanima (vendar se ne navezuje na to snov):

operator na unitarnem prostoru je normalen natanko tedaj, ko se da predstaviti v kaki ortonomirani bazi z diagonalno matriko

tu me zanima če je dovolj da to pokažeš za linearen operator ali bi moral do dookazovati z ivariantnimi prostori?


hvala že vnaprej za pomoč

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: bilinearne forme

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 6.9.2011 21:24

No ja itak je vse ocitno, samo zapisat moras. Iz sestevanja bilinearnih form moras preit na sestevanje vektorjev v bilinearni formi. Porabit moras dejstvo, da obstaja pri vsakem izbranem skalarnem produktu matricna reprezentacija bilinearne forme. Za matrike pa vemo da so vektorski prostor.

Za drugi dokaz je predvsem pomembno, da dokazes v obe smeri (iz normalnosti v diagonalizabilnost in obratno). Ce za vsak korak dokaza potrdis da velja v obe smeri potem zadostuje skupen dokaz.

Drugace je pa cisto odvisno od tega kako strog dokaz se pricakuje.

lukam0975
Prispevkov: 22
Pridružen: 1.9.2011 12:37

Re: bilinearne forme

Odgovor Napisal/-a lukam0975 » 6.9.2011 22:52

prvo sem sedaj vedel dokazat z matrikami

hvala za to opozorilo

drugo pa še vedno ne vem (v nobeno smer :) )

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: bilinearne forme

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 7.9.2011 11:22

Za operator N*N se da hitro pokazat, da ima ortogonalne lastne vektorje. Ce sta x in y lastna vektorja tega operatorja, velja
\(\lambda_x^\ast\langle x,y\rangle= \langle N^\ast N x,y\rangle=\langle x, N^\ast N y\rangle = \lambda_y \langle x,y\rangle\)
Ce sta lastni vrednosti razlicni, potem mora biti <x,y> enak 0. Ce sta enaki, potem se pa itak da vedno poiskat ortonormirano bazo celega podprostora.

Zgornje je enako tudi temu
\(\langle Nx,Ny\rangle\)
kar pomeni da je Nx ortogonalen na Ny ce je x ortogonalen na y. Se pravi N slika iz ortonormirane baze v ortonormirano bazo. Zdaj je treba pokazat samo se, da je to bazo slika kar samo vase in je to torej lastna ortogonalna baza.

Sele zdaj rabimo sploh dejstvo, da je operator N normalen. Ce je normalen, potem velja tale zveza:
\(N^\ast N (Nx)=N(N^\ast N)x\)
ker je x lastni vektor operatorja N*N, je to enako temule:
\(N^\ast N (Nx)=\lambda_x (N x)\)
To pomeni, da je Nx lastni vektor operatorja N*N, in to z isto lastno vrednostjo kot x. Se pravi sta x in Nx vzporedna in s tem je dokazano, da je lastna baza N*N enaka lastni bazi N in je ortogonalna.

lukam0975
Prispevkov: 22
Pridružen: 1.9.2011 12:37

Re: bilinearne forme

Odgovor Napisal/-a lukam0975 » 7.9.2011 12:40

prvi in drugi odstavek sta mi jasna

tudi tretji mi je jasen, vendar ne vidim kako lahko potem sklepaš da če je baza ortogonalna da se potem da operator predstaviti v diagonalni matriki... a ne bi morala biti baza ortonomirana da to velja.... oz. ne vidim iz česa se sklepa da je ortogonalna baza tudi ortonomirana

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: bilinearne forme

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 7.9.2011 14:58

Norme lastnih vektorjev so stvar okusa, ce je ortogonalna jo vedno lahko se normiras in s tem ne spremenis nicesar (operator je linearen in se ne briga na skalarni predfaktor). Smisel dokaza je v lastnih vektorskih podprostorih, lastni vektor je samo neka reprezentacija tega podprostora.

delta
Prispevkov: 420
Pridružen: 19.8.2009 14:16

Re: bilinearne forme

Odgovor Napisal/-a delta » 24.8.2017 15:18

Zanima me, kaj točno je bilinearna preslikava?...linearna preslikava pomeni, da je aditivna in homogena, kaj pa pomeni bilinearna? Hvala in lp :D

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 5 gostov